Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 15
Текст из файла (страница 15)
14). Затем нз положения В она перешла в С вдоль отрезка ВС. Вдоль какого прямолинейного отрезка должна перемещаться точка, чтобы из А попасть в С? Ясно, что таким отрезком является отрезок АС. Его можно рассматривать как геометрическую сумму отрезков АВ и ВС. Сложение пел С ремещений в таком понимании производится по правилу параллелограмма, т, е. совпадает с математическим сложением векторов.
Тому же правилу подчиняется и сложение скоростей в следующем смысле. Точка в течение секунды перешла из А в В, двигаясь равномерно со скоростью чи Затем также в течение секунды она А перешла из В в С с постоянной скоРис. 14 ростью чп С какой постоянной скоростью и должна двигаться точка, чтобы в одну секунду перейти из А в С'? Но в сложение скоростей обычно вкладывается другой смысл, разъяснимый на следующем примере. Точка перешла из А в В вдоль прямолинейного отрезка на палубе корабля, двигаясь равномерно со скоростью чн За то же время сам корабль переместился относительно берега на отрезок ВС, двигаясь с постоянной скоростью чп С какой скоростью ч двигалась точка относительно берега? Здесь сложение движений и их скоростей понимается в другом смысле. Оба движения рассматриваются в разных системах отсчета, движущихся одна относительно другой.
Одной системой является корабль, н скорость ч, измеряется с помощью линеек н часов в этой системе. Другой системой является берег, и скорости чз и ч измеряются с помощью линеек и часов этой системы. На вопрос о результате сложения в таком смысле должен в конце концов ответить опыт. Дорелятнвистская кинема- 59 о вкктогкх и сложвнии движений й 7] тика утверждала, что по своему результату сложение движений во втором смысле не может отличаться от сложения в первом смысле. Это происходит потому, что в дорелятивистской физике длины отрезков и промежутков времени не зависят от того, в какой системе отсчета они измеряются. Сложение скоростей и во втором смысле в дорелятивистской кинематике происходило по правилу параллелограмма, т. е, совпадало с математическим сложением векторов.
В релятивистской кинематике это уже не так. Сложение скоростей во втором смысле не подчиняется правилу париллелограмма. Это правило приближенно верно только в пределе, когда обе складываемые скорости очень малы по сравнению со скоростью света. 7. Каждому вектору а(а„а, а ) и скаляру Х можно аксиоматически сопоставить объект Ха, задаваемой упорядоченной тройкой чисел как, г.а, Ха,.
Легко убедиться, что такой объект будет вектором. Он называется произведением скапнра Х на вектор а. Бесконечно малое приращение вектора аа само является вектором. Бесконечно малое приращение любого скаляра 7 есть также скаляр аб ! йв Этим двум величинам можно сопоставить вектор — аа = —, назыч'г ваемый производной вектора а по скаляру и 8. Теперь мы в состоянии доказать векторную природу многих физических величин, с которыми имеет дело механика. Прежде всего, смещение точки из какого-либо положения А в другое положение В вдоль соединяющего их прямолинейного отрезка АВ есть вектор, Это очевидно, так как по самому определению при смещении начала и повороте координатных осей компоненты вектора должны преобразовываться так же, как проекции направленного отрезка.
Обозначим рассматриваемый отрезок через г. Продифференцируем этот отрезок по времени г в предположении, что начальная иг точка его закреплена. Производная — будет вектором, так как врей мя — скаляр. Но такая производная есть скорость точки ч. Таким образом, скорость ч также есть вектор. Дифференцируя ч снова по и'ч ], найдем другой вектор — ускорение точки а = —,. Масса точки т является скалярам. Умножая его на скорость ч, получаем вектор р = тч, называемый импульсом точки.
Дифференцируя его по врейр мени, получаем силу Р = -~-, действующую на точку. Таким обра- зом, сила есть вектор. 9. Приведем несколько более сложные примеры векторов. Возьмем в пространстве какой-либо ориентированный контур Х„т. е. не самопересекающуюся замкнутую кривую, проходимую в каком-то опредленном направлении. Спроецируем этот контур на координатные плоскости прямоугольной системы координат Хуг,. Получим три ориентированных плоских замкнутых контура Е„Е, й., лежа- бо 1гл. 1 КИНВМАТИКА ших в координатных плоскостях Ух„ хХ, ХУ соответственно (на рис.
15 контур Ь не изображен, изображены только его проекции). Обозначим через 5„, 5и 5 площади, ограниченные замкнутыми контурами Е,„Е„Ем Эти величины будем считать положительными, если контуры Е„Е, Ь обходятся в положительных напривлениях, и С~ отрицательными — в противопоЗв ложном случае. Положительные наЕч правления обхода контуров Еа, Ег, Е задаются по-разному в зависимо- О сти от того, какая используется си- Ы стема координат — правая или левая. В правой системе координат Х Е направления обхода контуров Е», Ех, Ев считаются положительными, если они находятся в правовинтовом соотношении с положительными направлениями координатных осей Х, У, х соответственно, а в левой системе — в левовинтовом.
Это значит, например, что в правой системе координат вращение ручки буравчика с правой нарезкой в положительном направлении контура Еа приводит к поступательному перемешению буравчика в положительном направлении оси е, В левой системе будет то же самое, если взять буравчик с левой нарезкой, При таком соглашении о знаках площади 5а, 5, 5, представляются интегралами 5в = ~ у с1з, 5г = ~ з ах, 5, = ~ х сну, (7.2) е, Правая сисгсиа взятыми по контурам Еа, Е, Еа, независимо от того, применяется ли правая или левая система координат. Мьг утверждаем, что тройка чисел 5„ 5,„ 5, образует вектор, с одной оговоркой, о которой будет сказано ниже.
Для доказательства рассмотрим сначала частный случай, когда контур Е плоский. Вдоль нормали к плоскости контура отложим е л А направленный отрезок А, длина которого численно равна площади 5, ограниченной й Г~%;Д контуром Е, а направление находится в правовинтовом соотношении с направлеЛсвая систина нием обхода по контуру, если использует- ся правая система координат, и в левоРис.
1б винтовом соотношении, если использует- ся левая система координат (рис. 16). Сначала будем пользоваться системами координат только какого- либо определенного типа: либо только одними правыми, либо только одними левыми. Построенный нами отрезок А совершенно не зави- й 7] о ввктоглх и сложвнии движгний сит от выбора координатных осей, а потому является вектором. В самом деле, его проекции на координатные оси равны ЛиЛ сох(АХ)ЛуЛ сов(АУ)ЛЛ сов(А,У) С другой стороны, по известной геометрической теореме 5,=5соз1А,Х), 57=5соз(А,У), 5,=5соз(А,У). Так как длину А мы выбрали численно равной 5, то в любой системе координат 5к = Л„5у = Л,, 5, = Л,. Отсюда следует, что при вращении координатной системы 5„5,, 5.
преобразуются так же, как компоненты вектора А. Поэтому 5„, 5,„ 5, образуют вектор. Его мы будем обозначать буквой 3 и называть вектором площади, ОграничЕннОй ОриЕнтирОванным 1.1. 1 ~ 1 ф ф 1 ф ф контуром 1.. В этом смысле говорят, что площадь является вектором. Это утверждение доказано нами для плоских контуров и плоских площадей. Обобщение на случай неплоских контуров и плошадей не представляет затруднений. Пусть Рис. 17 1, — такой контур.
Натянем на него совершенно произвольную поверхность и разобъем ее на достаточно большое число п малых ориентированных областей, как указано на рис. 17. Проецируя их на координатные плоскости, получим и и и 5к ~' 5гх' 5у ~' 51у' 5г ~' 5юул !=1 г=! г=1 где 5;,, 5;у 5;„— проекции на те же плоскости 1-й элементарной области. Число п можно взять сколь угодно большим и рассматривать каждую малую область 51 как плоскую. Тогда на основании доказанного можно утверждать, что 5но 5ко 5„образуют вектор.
Будет образовывать вектор и тройка чисел 5„ 5 „ 5„ так как эти числа получаются путем сложения компонентов векторов 31 10. В одном отношении, однако, тройка чисел 5„ 5, 5 отличается от вектора. Эти числа преобразуются так же, как компоненты вектора при вращении координатной системы как целого, когда система координат все время остается либо правой, либо левой. Однако они ведут себя существенно иначе при переходе от правой системы координат к левой или наодуурот, например при инверсии координатных осей. В этом случае для нахождения направления $ надо перейти от одного винта к другому. Если в правой системе координат величину 5 изобразить стрелкой, то при переходе к левой б2 кинвмлтикл направление стрелки надо изменить на противоположное. Величины такого типа называются псевдовекторачи, или аксиильными векторами, в отличие от полярных вектг>ров, которые мы рассматривали до сих пор.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
