Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 11
Текст из файла (страница 11)
г кинемьтикл зом, в общем случае ускорение а можно представить н виде геометрической суммы тангенциального и нормального ускорений: а =а„+ав. (4.14) Таиге~щиальное ускорение меняет скорость только по .чодулю, нормальное ускорение меняет ее только по направлению.
Рисунок 1! поясняет разложение полного ускорения на тангенцнальное и нормальное. Пусть ч — скорость материальной точки в момент времени ц когда она на- М ч ходилась в положении М. Обозначим через ч, = у + Лу скоч, рость той же точки в момент Г+ ЛГ, когда она переместилась в положение М, (не обозначенРис. 11 нос на рисунке). Отложим оба вектора у и у, нз одной и той же точки М и разложим приращение Лу скорости на две составляющие: составляющую Лу, вдоль вектора ч и составляющую Лч„, перпендикулярную к этому вектору. При уменьшении Л1 оба отно- Ла, Гга„ щения — ' и —" будут стремиться к определенным пределам, Пер- йг йг вый из них есть тангенциальное, а второй — нормальное ускорение. При вычислении скорости точки бесконечно малую дугу траектории можно аппроксимировать бесконечно коротким прямолинейным отрезком, направление которого совпадает с направлением касательной к траектории.
При определении ускорения такая аппроксимация уже не годится. Однако, как видно из рассуждений настоящего параграфа, при вычислении ускорения бесконечно малую дугу траектории молгно аппроксимировать дугой окружности, плоскость которой совпадает с соприкасающейся плоскостью, а радиус равен радиусу кривизны траектории в рассматриваемой точке. Но и такая аппроксимация оказалась бы недостаточной, если бы потребовалось вычислить производные радиуса-вектора более высокого порядка: г, г и т, д, ЗАДАЧИ 1. Шарик, которому сообщена горизонтальная скорость и, нвдвег нв горизонтальную плиту е высоты и.
При каждом ударе о влиту теряется часть скорости (отношение вертикальной составляющей скорости после удара к ее значению до удара постоянна н равна а). Определить, нв каком расстоянии к от места бросания отскоки шарика прекратятся. Считать, что трение отсутствует, твк что горизонтальная составляющая скорости шарика и не меняется. ГгЬ~ )Ь О тв ет: х = о)~ — —. 1 — а б 4] скОРОсть и УскОРение НРи криВОлинейнОм ДВижении 45 2. Точка движется в плоскости, причем ее прямоугольные координаты определяются уравнениями х=Асовсо(, у=Вэ!псо(, (4.15) где А, В, со — постоянные.
По какой траектории движется точка? Вычислить ее ускорение. Решен не. Исключая время ( из уравненисл (4.15), находим х у — + — = 1. А' Вс Точка движется по эллипсу. Ее радиус-вектор г = хс+ у1, а ускорение а = х] + у), Дифференцирование дает х = — о<А з!и о</, х = — о<~А соз ос/ = — <о х, у = <оВ соз ос/, у = — со В в!и ос! = — <о у. Следовательно, а = — <о~(х! + У]) = — юзг. (4.!6) Ускорение направлено к центру эллипса и пропорционально г. В частном случае А =  — эллипс вырождается в круг, а формула (4.16) переходит в известную формулу для цептростремнтелыюго ускорения при равномерном вращении по кругу.
3. Точка с постоянной по модулю скоростью о движется гю эллипсу с полуосями А и В. Найти се ускорение в вершинах эллипса. Р е ш е н и е. В вершинах эллипса ускорение <олька нормальное. Его можно найти по общей формуле (4.13) и притом в любой точке эллипса. Однако в вершинах эллипса поучительно получить решение, воспользовавшись тем обстоятельством, что эллипс может быть получен однородным растяжением или сжатием круга.
Возьмем круг радиуса г = В и равномерно растянем его параллельно оси Х (рис. 11а) в А/В раз. Получится эллипс с полуосью А, параллельной оси Х. Бесконечссо малая дуга Р! Е! Е СЕ/) круга перейдет в дугу С ЕоО эллипса. Время движения точки вдоль этих дуг будет одно и то же. Одинаковы будут и скорости точки в положениях Е и Е'. Однако нормальное смещение ЕЕ перейдет в ЕЕ', т.
е. увеличится в А/В раз. В Рис. 11а такое же число раз увеличится нормальное ускорение. В точке Е оно будет а = (оз/г) А/В = Аоз/Вт. Сжимая круг радиуса А вдоль оси У, таким же путем получаем ускорение в точке пересечения эллипса с малой осью. Оно равно а = В<В/А~. 4. Установить связь между звездными и средними солнечными сутками. Звездный год, т.
е. промежуток времени, в течение которого Солнце совершает свой видимый путь по небесной сфере относительно звезд, составляет 365,2564 средних солнечных суток. (Звездный год следует отличать от сиропи- 46 !гл, ! кинвмлтикл четкого года, который соответствует периоду смены времен года и составляет 365,2422 средних солнечных суток.) Решен ис. Пусть в положении ) (рис. 12) плоскость зсмного меридиана АВ проходит через центр Солнца С и какую-либо (бесконечно удален- ную) звезду О. Когда Земля в своем орби- В тальном движении перейдет в положение 2, ! плоскость того же меридиана повернется относительно направления на звезду на угол ! а, а относительно направления на центр ! Солнца — на угол р.
Углы а и !) могут превышать 2н, но они всегда связаны соотношением а = б + (, где у — угол между паправ- С пениями на центр Солнца в положениях ! и 2. Спустя звездный год, когда Земля вернется в исходную плоскость )СО, угол у примет значение 2л, а потому в этом положении а = ~ + 2н. За это время пройдет В л(„= а!2н звездных и Ф „= )ч2л средних А г солнечных суток. Поэтому М„= М „+ !.
л Если Ть, и Т,„, — продолжительность звсздРис. 12 пых и средних солнечных суток, то очевид- но, что 1(.,Т., = М„,Т„в, так как оба эти выражения представляют одно и то жс время — звездныи год. Используя соОтНОШЕНИя ЛГь, = М,„~+ 1, НаХОдИМ Ю,„„ ьь )у !. 1 ьол Подставив сюда Т„,ч = 24 60 60 = 86 400 с, М,„, = 365,2564. получим Твм — Т = 325,9003 с 236 с, Т„ 86 164 с.
Заметим, что при решении мы не вводили предположения, что Земля по своей орбите движется равномерно. 5. Определить скорость, с которой движется тень Луны по земной поверхности во врсмя полного солнечною затмения. Р е ш сн ис. Для простоты примем, что затмснис наблюдастся на экваторе и что земная ось псрпсндикулярна плоскостям солнечной и лунной орбит. Скорость света будем считать бесконечно болыпой по сравнению со всеми остальными скоростями, входящими в задачу. Пусть в рассматриваемый момент времени прямая Солнце — Луна перпендикулярна к земной повсрхности в точке наблюдения А (рис.
13). Поверхность Земли в окрестности той же точки можно считать плоской. При решении выберем сначала систсму отсчета, в которой Земля покоится. Пусть шс и шт! — угловые скорости вращения Солнца и Луны вокруг центра Земли, Яс и )(л — расстояния их от того же центра, г — радиус Земли. За ! с Солнце и Луна переместятся с востока на запад на расстояния СС' = а~гйс и Л)7 = сот!)(!!. Соединив новые положения Солнца и Луны прямой линией, найдем, что за ! с 5 51 ГРАницы пРимтниыостн клАссическОГО спОсОБА 47 г'раница лунной тени переместится по земной поверхности с запада на во- сток на расстояние ~ = АА . Это расстояние и есть скорость движения тени Луны.
Из рис. 13 видно, что в х х ЫЯГ ОС Я. так как расстояние до Луны пренебрежимо мало по сравнению с расстоя- нием до Солнца, и можно принять ОС = Яс. Та- ким образом, г = юсх. Для нахождения л со- ставляем пропорцию "'слс СС ОС ы„Я, ЛЛ' ОКТ Полагая в ней ОС = Яс, ОЛ = Ял — х — г. гюлучим уравнение для нахождения х. Оно дает ыс г"х х= 'Я вЂ” г. л с Следовательно, скорость движения лунной тени с запада на восток будсз Во г = сгсх = (сгс, — шл) Ял — юг.г.
Здесь с с = Т =86400 ных суток, а 2л)Т,.„юг. — оггг — — 2лгТмья где Рнс. 13 с — продолжительность солнечТм„= 29,6 Т „— продолжительность месяца. Используя зти и подставляя числовые значения Ял — — 3,8 1Оз км, получим соотношения г = 6400 км, 2хдв 2 тг г = „— —,, 0,47 км/с. 'Г„Т,, т (4.17) 8 5. ГРАНИЦЫ ПРИМЕНИМОСТИ КЛАССИЧЕСКОГО СПОСОБА ОПИСАНИЯ ДВИЖЕНИЯ В классической механике состояние движения частицы в любой момент времени характеризуется положепием (координатой х при одномерном движении) и скоростью ч.
Вместо скорости можно поль- Смысл последней формулы легко уяснить, перейдя в систему отсчета, в которой Солнце покоится. Считая Солнце бесконечно удаленным, можно отвлечься от движения центра Земли, приняв во внимание лишь вращение Земли вокруг своей оси, а также движение Луны по сс орбите вокруг Земли. Луна движется по орбите с запада на восток со скоростью ол — — 2лял)Т вг Если бы Земля не вращалась, то с той же скоростью и в том же направлении по ее поверхности бежала бы лунная тень.
Но из-за вращения Земли экваториальные точки последней движутся с запада на восток со скоростью н = 2лг)Т . Для нахождения скорости лунной тени эту величину надо вычесть нз гч, что и сделано в формуле (4.!7). 4З !гл. ! кинвмдтикл зоваться также импульсом, т. е. величиной р = тч, равной произведению л!ассы частиц т на ее скорость в). Образом частицы является геометрическая точка, описывающая с течением времени непрерывную траекторию. В квантовой механике показано, что такой способ описания движения имеет принципиальные границы применимости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
