Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Не возникает вопроса, чтб следует считать направлением смещения, скорости или ускорения точки, а также направлением силы, на нее действующей. Однако не очевидно, что следует считать за направление угловой скорости или геометрической поверхности, в особенности, когда последняя изогнута. Наконец, точное определение вектора необходимо дать для того, чтобы обобщить это понятие на случай многомерных пространств. Чтобы прийти к такому определению, рассмотрим сначала простейший вектор, а именно геометрический прямолинейный отрезок, на котором установлено определенное направление, Такой направленный отрезок будем изображать стрелкой а.
Возьмем какую-либо произвольнуго прямоугольную или косоугольную систему координат и спроецируем отрезок а на координатные оси Х, У, г.. Проецирование будем производить плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Например, чтобы получить проекцию на ось Х, надо через концы отрезка а провести плоскости, параллельные координатной плоскости Ух. Эти плоскости и отсекут на оси Х отрезок а,, являющийся проекцией отрезка а на рассматриваемую ось.
Аналогично получаются проекции аг и а„. Обычно рассматривают прямоугольные координатные системы. Тогда а„., а, а. будут прямоугольнв~лш, или ортогоналвными, проекциями отрезка а. Если проекции а,, а, а известны в какой-либо системе координат В, то их можно найти и в любой другой координатной системе Б', оси которой произвольным образом повернуты относительно системы Б.
Для зтого по проекциям а„а, а, в системе В надо восстановить отрезок а как диагональ параллелепипеда, построенного иа отрезках а„, а,„ а„. Затем следует, спроецировать этот отрезок на оси Х, У, г, новой системы координат Б . Получится тройка чисел ах„ а,„а,„которые и являются проекциями отрезка а в новой системе координат. Теперь мы даем следующее определение вектора. Вектором а называется упорядоченная тройка чисел а„агн а„ заданная в каждой системе координат.
(Упорядочение состоит в том, что первое число а, приводится в соответствии оси Х, второе число а — оси У, третье число а, — оси г..) Эти числа называются у проекциями вектора а на соответствующие координатные оси. Их называют также составляющими, или компонентами, вектора. При переносе начала и повороте координатных осей составлягои]ие а,, а,, а, преобразуются по правилу преобразования проекций геометрических отрезков. Короче, вектором называется упорядоченная тройка чисет, заданная в каждой системе координат, которые при переносе начала бб 1гл.
1 кингчлтикл н повороте координатных осей преобразуются как разности координатных концов направленного геометрического отрезка. Отложив эти числа вдоль координатных осей Х, У, Л, мы отсечем на них три отрезка. Если на таких трех отрезках как ребрах построить параллелепипед, то его диагональ можно рассматривать как направленный отрезок, служащий наглядным изображением вектора. Этот отрезок получится одним н тем же, какую бы систему координат мы не использовали при его построении. В этом проявляется инвариинтный характер вектора, т. е, независимость его от системы координат, использованной для его представления, Компоненты вектора а,, и,„ а в разных системах координат разные, но самый вектор а один и тот же.
Векторное равенство а = Ь, записанное в координатной форме, равносильно трем равенствам а, = Ь, (1= х, у, з). Прн переходе к другой (штрихованной) системе координат обе части этих равенств преобразуются одинаково. Поэтому в новой системе координат онн сохраняют прежний вид, т. е. аг = ди (Р = .х', у', з').
Уравнения, обе части которых при переходе к другой системе координат преобразуются одинаково н благодаря этому сохраняют свой внд во всех координатных системах, называются ковариантпьши или инвариантными по отношению к рассматриваемому преобразованию координатных систем. Мы видим, что векторное уравнение а = Ь инвириап та о по отношению к переносу ничала и повороту координитпых осей. Ввиду этой ипвариаптпости уравнения, вырижиющие физические законы в векторной форне, пе завипип от выбора осей координат.
С помощью векторов физические законы формулируются в простой н обозримой форме, которая не сохраняется, если выразить их через проекции векторов в какой-либо системе координат. Заметим, что координатные оси Х, У, к, не обязательно должны поворачиваться вместе подобно повороту твердого тела. Определение предусматривает и такие случаи, когда оси Х, У, е, поворачиваются независимо. Путем поворотов такого типа может быть совершен переход от любой прямолинейной системы координат к другой прямолинейной системе — правой илн левой, оси которой ориентированы совершенно произвольно.
В частности, такими поворотами может быть осуществлена инверсия осей, т. е. одновременное изменение на противоположные положительных направлений всех трех осей. Если обе координатные системы прямоугольные, то формулы преобразования проекций имеют следующий вид: (7.1) а,, = а,,а + а.,„их + а,, а„ где и,,„, а,, „... — косинусы углов между соответствующими координатными осями обеих систем координат. Например, а,, означает косинус угла между положительными направлениями осей У и е.. 57 О ВЕКТОРАХ И СЛОЖЕНИИ ДВИЖЕНИЙ й 7] 4. Аналогично скалярам или инварианто.ч называется число, заданное в каждой системе координат, причем при переносе начала и повороте координатных осей это число остается неизменным.
Таким образом, как и определение вектора, это определение предусматривает только перенос начала и поворот координатных осей. Оно предполагает, что обе координатные системы должны оставаться неподвижными одна относительно другой. Примерами скаляров являются время, масса, электрический заряд и пр. Абсцисса х неподвижной точки не является скаляром, так как ее числовое значение в разных системах координат разное.
Скаляры можно образовывать из векторов, Например, скаляром является длина вектори или ее квадрит, который в прямоугольной системе координат представляется выражением аз + а~+ а~, Скаляром является скилярное произведение двух векторов а и Ь, >и. е. величина (аЬ) = иЬ соз д, где д — угол между этими векторами. В прямоугольной системе координат, как известно, скалярное произведение представляется вырал1ением (аЬ) = ахЬ„+ а,ЬР + а Ь. (см. задачи ] и 3 к этому параграФу). 5.
На основании изложенною ясно, что для доказательства векторного характера той или иной направленной физической величины надо только установить, как определяются ее составляющие вдоль координатных осей и как они преобразуются при переходе от одной координатной системы к любой другой, оси которой повернуты относительно осей первоначальной системы.
При этом имеются в виду координатные системы, неподвижные одна относительно другой, Например, двум векторам а и Ь с составляющими а>н а,, а и Ь,, Ь„Ь, можно сопоставить в каждой системе координат упорядоченную тройку чисел с, = ак + Ь„с, = а + Ь,, с. = а, + Ь,. Легко видеть, что такая тройка чисел образует вектор, так как эти числа подчиняются тем же правилам преобразования, что и составляющие векторов а и Ь. Вектор с(с„, с„, с ) называется суммой векторов а и Ь. Легко доказать, что он может быть получен из векторов а и Ь геометрическим построением по правилу параллелограмма. Аналогично определяется и вычитиние векторов.
Разность двух векторов а и Ь есть вектор ]], определяемый упорядоченной тройкой чисел и>к = а„— Ь,, г1Е = и — Ь, г>', = а, — Ь,. Для его построения надо изменить на противоположное направление вектора ]> (получаемый таким путем вектор обозначают — Ь), а затем на векторах а и — Ь построить параллелограмм. В таком смысле сложение и вычитание векторов вводится путем математического определения. Над векторами можно производить и другие операции, вводимые таким же путем, например умножение вектора на скаляр или скалярное и векторное перемножение двух векторов.
Все операции такого типа мы называем математическими. Их свойства устанавливаются соответствующими математическими теоремами. Не имеет смысла ставить вопрос об опытной 5з 1гл. 1 кингмлтикл проверке результатов, получаемых с помощью таких математических операций. Например, о сложении векторов, как оно только что определено, мы будем говорить как о математическом сложении или сложении в математическом смысле. Но когда векторами изображают различные физические величины, часто в их сложение или вычитание вкладывается какой-то другой смысл.
А именно для получения суммы или разности векторов над ними надо произвести какие-то 1хотя бы мысленные) Физические операции. Сложение и вычитание в таком смысле мы условимся называть Физическими. Будет ли какое-либо конкретное физическое сложение совпадать с математическим 1т. е. с правилом параллелограмма) и будет ли в результате такого сложения получаться вектор — это требует дополнительного исследования, в частности опытного. 6. Поставим, например, такой вопрос, Точка перешла из положения А в положение В вдоль прямолинейного отрезка АВ (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
