Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Здесь преждевременно вдаваться в подробное обсуждение этого вопроса. Достаточно ограничиться предварительным сообщением основного результата, не касаясь его обоснования, Согласно квантовой механике состояние частицы в каждый молтент времени нельзя характеризовать точныл!и значениями ее координаты и импульсом в этот момент времени. Если в каком-либо состоянии координата известна с неопределенностью Ьх, а импульс— с неопределенностью Ьр, то обе эти величины одновременно не могут быть сделаны сколь угодно малыми. Они связаны соотношением б бр~6, (5.1) где Ь вЂ” универсальная постоянная, называемая постоянной Планка в честь немецкого физика-теоретика Макса Планка (1858 — 1947). Она играет основную роль во всех квантовых явлениях. Ее числовое значением равно й = 6,626171 10 ы эрг.с.
Соотношение (5,1) называется принципал! неопределенностей Гайзенберга по имени немецкого физика-теоретика Вернера Гайзенберга (1901 — 1976). Это соотношение определяет принципиальный предел точности одновременного измерения координаты и импульса частицы, который не может быть превзойден никаким усовершенствованием приборов и методов измерения. Дело здесь не в ошибках измерений. Такова уж природа реальных частиц, что мгновенные состояния их движения не могут быть охарактеризованы классически — точными значениями координат и импульсов. Частицы ведут себя более сложно, чем материальные точки классической механики. Классическая картина движения по непрерывным траекториям лишь приближенно соответствует законам природы.
Границы ее применимости определяются соотношением неопределенностей (5.1). Из него следует, что мгновенное состояние движения частицы нельзя также характеризовать абсолютно точными значениями координаты и скорости. Неопределенности этих величин должны удовлетворять условию ах. 6 ~й. (5.2) Для макроскопических тел практическая применимость классического способа движения не вызывает сомнений. Допустим, например, что речь идет о движении шарика с массой т = 1 г. Обычно положение шарика практически может быть определено с точностью *) !'!оиятия массы и импульса вводятся и подробно обсуждмотся в б !О.
О смысле пРОизводнОЙ и интегРЛДА Т б! до десятой или сотой доли миллиметра. Во всяком случае, вряд ли имеет смысл говорить о погрешности в определении положения шарика, меньшей размеров атома. Положим поэтому Ьх= 1О "см. Тогда из соотношения неопределенностей (5.1) найдем Ь ~ б,бз !оси =10-мем/с 1О-" Одновременная малость величин Ьх и Ьо и является доказательством практической применимости классического способа описания движения для макроскопических тел. Не так обстоит дело, когда речь идет об атомных явлениях — явлениях, происходящих с частицами очень малой массы в очень малых объемах пространства. Рассмотрим, например, движение электрона в атоме водорода.
Масса электрона ис = 9,11 10 ж г, Погрешность в положении электрона Ьх во всяком случае не должна превышать размеры атома, т. е. погрешность Ьх должна быть < 10 "см. Но тогда из соотношения неопределенностей получаем б бб2 1О Ьи = = * 7 !Оз см/с. »сбх ОЛ! 1ООИ 1О-' Эта величина не меньше, а даже больше самой скорости электрона в атоме, которая по порядку величины равна 10" см/с, При таком положении классическая картина движения теряет всякий смысл. Й6. О СМЫСЛЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ИНТЕГРАЛА В ПРИЛОЖЕНИЯХ К ФИЗИЧЕСКИМ ВОПРОСАМ 1.
Процесс предельного перехода (3.4), с помощью которого определяется производная, называется дифференссирс1ваниехс. Понятие производной широко используется в механике и во всех других разделах физики. Именно задача об определении скорости произвольного движения привела к этому понятию Ньютона, который, наряду с Готфридом Лейбницем (1646 †!6), является основоположником дифференциального и интегрального исчислений, Обозс1х начение — для производной принадлежит Лейбницу. На символ гс и'х — в математике следует смотреть как на единое целое, а не как на с!1 отношение двух «бесконечно малых» приращений бсх и всб Смысл сгх производной х = — точно определен соотношением (3.4).
Сначала ссС бх надо образовать отношение конечных приращений —, предполагая, лс* что Ьг не равно нулю. Затем путем преобразований этого отношения или каким-либо иным способом следует совершить переход к пределу. Но ни в коем случае нельзя представлять себе, что сначала 50 кингчлтнкл совершен какой-то предельный переход от Лх н Лг к «бесконечно малым» величинам Ых и г!1, называемым дифферендиалггми функции х и аргумента 0 а затем взято отношение этих дифференциалов Нх —.
Такой взгляд на производную существовал в начальной стадии ш развития дифференциального исчисления. Однако он несовместим с требованием математической ясности понятий, да и вообще лишен смысла. Правда, можно так определить дифференциалы Ат и Ж, что их отношение сделается равным производной х. В математике дифференциал г!Г определяется как произвольное приращение аргумента 0 а дифференциал Ых — с помощью соотношения г!х= хЖ. Но теперь в утверждении, что производная есть отношение двух конечных величин г!х и Ж, нет ничего удивительного, это — простая тавтология, иной способ выражения.
Первичным по-прежнему является понятие производной, а не дифференциала. Однако в приложениях математики к физике надо считаться с тем, что физические величины получаются в конце концов в результате конкретных измерений, а все измерения сопровождаются погрешностями и вносят искажения в естественный ход явлений. Это обстоятельство, строго говоря, делает невозможным предельный переход Лг- О, Лх- О, вводимый в математике при определении производной. Допустим, например, что измеряется скорость движущейся пули в воздухе. Задача сводится к измерению расстояния Лх и промежутка времени Лц за который пуля проходит это расстояние. Если время Лг взять очень большим, то за это время скорость пули может заметно Лх уменьшиться из-за сопротивления воздуха. Отношение — в этом слу- Ы чае может оказаться заметно меньше скорости пули в рассматриваемый момент времени.
Уменьшая время Лб мы заметим, что начиная Лх с определенного момента отношение — ' в пределах доступной точнолг сти изменяется, если отвлечься от случайных погрешностей, сопровождающих каждое измерение. Дальнейшее уменьшение Лг бессмысленно. Оно может только ухудшить дело, так как при дальнейшем ьх уменьшении ЛГ отношение — ' начинает изменяться снова и притом лг все более и более нерегулярно. Оно принимает различные значения от очень больших до очень малых. Это обусловлено тем, что точность любого измерения тем меньше, чем меньше измеряемая величина. Не представляет, например, особо большого труда измерить длину в 1 м с погрешностью до 1 мм, т.
е. с относительной точностью 1/1000. Но измерить с такой же относительной точностью длину в 1 мм значительно труднее. Чем меньше Лб тем больше погрешность, с которой Лх мы вычисляем отношение — '. Если Лг уменьшать оеспредельно, то Л~' ;ха вычисленные значения отношения — ' не оудут стремиться нн к како- Л! му определенному пределу. Это показывает, что в рассматриваемом О смысле НРОизводнОЙ и интегРАлА 51 примере из-за погрешностей измерений предельный переход к Ь1- 0 не может быть осуществлен в строго математическом смысле. Вычислить истинную скорость или производную и = х из физических измерений можно лишь приближенно, отождествляя ее с отношением Ьх конечных приращений —.
Оптимальное значение времени Ь1, при Ь1' котором точность вычисления истинной скорости максимальна, определяется конкретными условиями. Малые, но конечные приращения Ьх и Ь1, отношение которых с достаточной точностью аппраксимирует производную х, физик называет бесконечно малым или, полнее, Физически бесконечно малылш величинами. Он обозначает их через ах и а1 и обращается с ними как с математическими дифференциалами, Таким образом, в Физике производная выступает как отношение конечных, но достаточно малых приращений Функции и аргумента, а не как предел этого отношения, Однако не только погрешности измерений могут сделать невозможным практическое выполнение предельного перехода в строго математическом смысле.
Такая невозможность может быть и принципиальной, обусловленной самой природой физических величин и физических законов. Так, точное выполнение предельного перехода невозможно из-за соотношения неопределенностей (5.1). Действительно, если промежуток времени Ь1 стремится к нулю, то при этом будет стремиться к нулю и проходимое расстояние Ьх. Неопределенность Ьх в измерении проходимого расстояния не должна превосходить Ьх.
Иначе вычисление средней скорости по формуле и,„= — потеряло бы всякий смысл. Таким образом, при Ь1 — »О Ьх должна стремиться к нулю и неопределенность в координате Ьх. Но тогда, согласно соотношению (5.1), неопределенность скорости Ьи будет стремиться к бесконечности. Это значит, что погрешность, возникающая при вычислении скорости о по формуле (3.3), сколь угодно велика по сравнению с самой скоростью о. 2.
Изложенные выводы относятся не только к производной координаты, но и к производным всяких физических величин. Допустим, например, что требуется определить плотность вещества в какой-либо точке пространства. С этой целью можно поступить следующим образом. Окружим рассматриваемую точку замкнутой поверхностью, ограничивающей объем ЬИ. Обозначим через Ьт массу вещества, содержащегося в этом объеме. Отношение 1гР Ьу называется средней плотностью вещества в объеме ЬУ. Средняя плотность, вообще говоря, зависит от объема ЬУ, внутри которою находится рассматриваемая точка, а также от его формы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
