Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 16
Текст из файла (страница 16)
При повороте координатной системы как целого аксиальные векторы ведут себя в точности так же, как и полярные векторы, При инверсии координатных осей компоненть> полярных векторов заме>м>ют знаки, в то время как компоненты аксиальных векторов оста>отея неизменнь>ми. Можно было бы обойтись и без введения аксизльных векторов. Но тогда не все формулы имели бы один и тот же вид в правых и левых координатных системах.
Например, если бы в правых системах координат мы опреде,тили тройку чисел 5„, 5,, 5, формулами (7.2), а в левых — теми же формулами, но с измененными знаками, то такая тройка чисел образовывала бы полярный вектор. Аксидльные векторы для того и вводятся, чтобы все формулы имели совершенно одинаковый вид в правых и левых системах координат.
Аналогично наряду с истинными скалярам и вводятся тдк называемые псевдоскаляры. Скаляр, или инвариант, есть число, остающееся неизменным во всех системах координат, как правых, так и левых. Псевдоскаляр, или псевдоинвариант, остается неизменным при переходит от правых систем координат к правым же или от левьсх к левым же. При переходе от правой системы к левой или наоборот псевдоскаляр меняет знак, оставаясь неизменным по абсолютной величине. Произведение псевдоскаляра на полярный вектор есть век>пор аксиальный. Произведение псевдоскаляри ни аксиальный вектор есть вектор полярный. Если пользоваться одними только правыми или одними только левыми системами коордннзт (г> в физике, как уже упоминалось, применяется почти исключительно правая система), то отпадает необходимость разделения векторов на полярные н аксидльные, з скдляров — на истинные скзляры и псевдоскдляры.
Операция сложения двух векторов имеет смысл только т<>гда, когда склидываемые векторы оба полярныг или оба аксиальпые. Сумма а+ Ь не имеет смысла, если один нз векторов полярный, а другой — акснальный. Сумма такого рода не преобразов>явзлась бы по правилу преобразования полярного или аксиального вектора, а потому она не могла бы быть нн тем, нн другим, 11. Частным случаем вектора, представляющего площадку илн поверхность, является так называемое векторное произведение двух векторов а н Ь. Оно определяется как вектор площади параллелограмма, построенного на векторах а и Ь.
Чтобы ориентировать этот параллелограмм, надо обходить его периметр от начала вектора а к его концу, затем от конца вектора а параллельно вектору Ь и т. д., пока при таком обходе мы не вернемся в исходную точку (рнс. 18). Короче говоря, первый вектор а надо проходить в прямом, а второй вектор Ь вЂ” в обратном направлениях. В согласии с изложенным выше векторное произведение можно изобразить стрелкой, направленной о вкктогях и сложении движвний з 7] бз Рис. ! 8 ЗАДАЧИ 1. Доказать, что если а и Ь вЂ” два полярных или два аксиальных вектора, то в прямоугольных системах координат выражение а,Ь, + а,Ь + а Ь есть инвариант. (Это выражение называется екаллрльсм произведением векторов а и Ь и обозначается символом (аЬ) или аЬ.) Указа и не. Воспользоваться инвариантами аз+ аз+ аз, Ь~+ Ь~+ Ьз и (а,+Ь,)'+ (аз+ Ь )'+ (а. +Ь )'.
2. Доказать, что скалярное произведение полярного вектора на аксиальный есть псевдоскаляр (псевдовариант). 3. Доказать, что скалярное произведение любых двух векторов а и Ь представляется выражением (аЬ) = аЬ соз 6, гдето — угол между этими векторами. До к а за тел ь от в о. Направим ось Х вдоль вектора а. Тогда ат = а.
= О, Ь, = Ь сов Ь. Так как скалярное произведение (аЬ) м аЬ, + а Ьт+ абв есть инвариант, то (аЬ) = а,б, = аЬ сов Ь. 4. Скалярное произведение вектора а на векторное произведение других векторов ]Ьс) называется смешанным произведением трех векторов а, Ь, с и обозначается как (а[Ьс]). Показать, что опо является псевдоскаляром, если один из этих векторов или все три полярные. Если же полярных векторов два или совсем нет, то смешанное произведение будет скалярам (инвариантом). Показать, что смешанное произведение численно равно объему параллелепипеда, построенного на векторах а, Ь, с. Пользуясь этим, доказать, что (а[Ьс!) = (Ь[са!) = (с[аЬ!) = — (а[сЬ!) = — (Ь[ас]) = — (с[Ьа!), (7.3) перпендикулярно к плоскости параллелограмма и находящейся в нужном винтовом соотношении с направлением обхода периметра параллелограмма.
Длина стрелки численно равна площади l параллелограмма, т. е. аЬ з]п б, где б— ь угол между векторами а и Ь, Векторное произведение мы будем а обозначать символом с = [аЬ], т. е. будем заключать [аЬ] векторы а и Ь в квад- Левая система употребляется также косой крест: с = а х Ь. Если векторы а и Ь— полярньсе, то векторное произведение их будет вектором аксиальным. Векторное произведение полярного вектора на аксиальный есть вектор поллрный.
Векторное произведение двух аксиильных векторов есть также пксиальный вектор. б4 [гл. 1 кинемлтикл т. е. сл!еищнное произведение не л!еняещся ири любой Виклической пересщановке леремножаемых векгпоров, а при нарушении цикличности меняет знак. 5. Доказать формулу [а [ Ьс] ] = (ас) Ь вЂ” (аЬ) с.
(7.4) Доказательство. Представим вектор а в виде а = а[[+ а, где а]— составляющая вектора а вдоль вектора г) ы ! Ьс], а а — составляющая, перпендикулярная к г[. Тогда [а,д] [а[Ьс]] га ]аг]] = ]а,г]]. Три вектора а„, Ь, с лежат в одной аг плоскости. Примем ее за плоскость рисунка (рис. !9). Вектор й перпендикулярен к этой плоскости, его длина равна Ьс йп а, сели и — угол между векторами Ь и с.
Поэтому длиРнс 19 на вектора [а г[! будет а Ьс сйп а. Поскольку этот вектор лежит в плоскости рисунка, его можно разложить по векторам Ь и с, т. с. представить в виде [а,г)] = хЬ+ ус. Неизвестные числа х и у найдутся с полющью теоремы синусов: хЬ з[п В ус з!в т а„Ьс Нв а Ня а' а,Ьс з[п а з1в а' Отсюда х = а, с ып [( = а, с соз (а „, с) = (а, с) = (ас), у=а,Ьз!и 1= — а,Ьсоз (а„Ь) = — (а„Ь) = — (аЬ). б.
Доказать формулу ([аЬ] [сг]]) = (ас) (Ьг)) — (аг[) (Ьс]. 7. Показать, что векторное произведение [аЬ! можно записать в виде символического определителя 1 1 [г а ага Ь, Ь,. Ь, [аЬ! = (7.5) А, Ат А, В,В (7.б) (А]ВС!) = если условиться разлагать его по элементам первой строки, состоящей из единичных векторов 1, 1, К вдоль координатных осей прямоугольной системы координат. Запись справедлива и в правых, и в левых системах координат. Компоненты векторного произведения определяются одними и теми же формулами, независимо от то!'о,какие (прямоугольныс) системы координат !используются. С этим и связано го обстоятельство, ччо векторное произведение — аксиальный вектор.
6. Доказать, что в прямоугольной системе координат 65 1 8] стгпени свОБОды и ОБОшценные кООРдинлты 9. ПУСЗЬ Ен Ег, Ез — ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ВЕКТОРЫ, НЕ ЛЕжаЩИЕ В ОДНОЙ НЛО- скости. Векторы [е,е,1 , (е,е,] „ [е,е,1 (7.7) (е,[е,е,1)' г (е,[е,е,1)* з (е,[е,е,]) называются по отношению к ним взаимными. Очевидно. что они также лежат в одной плоскости. Показать, что [е*,е",1 [е,е",1 [е,е,*1 (7.8) Показать, далее, что (7.9) (е,е,') = б,„, где Ьи — символ Кронекера, т. е. Ь, = 1 при г = Е и Ь, = О при г ~ Е.
Пусть А и  — произвольные векторы. Представим их в виде А — А,е, + Агег+ Азез*  — Ь",ег + Вгег + тзз~з. Показать, что (7.10) (АВ) = АЗВ1 + АЗВг + АзВЗ В 8. СТЕПЕНИ СВОБОДЫ И ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ 1. Положение точки в пространстве можно задать тремя прямоугольными координатами х, у, ж Но это можно сделать и иначе. Например, вместо прямоугольных можно взять полярные или какие- либо другие координаты.
Существенно, однако, что при любом выборе число независимых координат, требующихся для однозначного определения положения точки, которая может перемещаться в пространстве как угодно, равно трем. Про такую точку говорят, что она обладает тремя степенями свободы.
Может случиться, что перемещение точки в заданных условиях не может быть каким угодно. Рассмотрим, например, маленький шарик, привязанный к концу нерастяжимой нити, другой коней которой закреплен (математический маятник). Если нить натянута, то шарик может перемещаться только по поверхности сферы с центром в точке закрепления. Можно привести много других примеров, в которых материальная точка все время вынуждена находиться на какой-либо заданной поверхности. В подобных случаях говорят, что на ее движение наложены связи.
Координаты х, у, е такой точки должны удовлетворять соотношению вида У[х, у, з) = О, которое является уравнением рассматриваемой поверхности. Ввиду этого независимыми остаются только две координаты, например х и у. Третья координата з может быть вычислена из уравнения связей 7"(х, у, г) = О. В этих случаях говорят, что такая точка обладает двумя степенями свободы. ьб кинвчлтикл Если точка может перемешаться только вдоль какой-либо заданной кривой, то число независимых координат, требующихся для определения ее положения, снижается до одного. За координату можно принять, например, расстояние материальной точки от какой-либо точки рассматриваемой кривой, отсчитанное вдоль этой кривой. В таких случаях говорят, что точка обладает одной степенью свободы. 2.
Все сказанное без труда обобщается на случай механической системы, состоящей из произвольного числа и материальных точек. Если эти точки могут перемешаться без всяких ограничений, то для определения мгновенного положения их надо задать Зп координат (по три координаты для каждой точки). В этом случае говорят, что система обладает Зп степенями свободьь В некоторых задачах, однако, свобода перемещения материальных точек ограничена, На Зп координат налагаются дополнительные условия, называемые связями. Для однозначного определения положения всех материальных точек системь1 достаточно знать меньшее число координат. Обозначим его через г. Остальные Зп — у координат могут быть вычислены из уравнений связи.
Не обязательно в качестве независимых координат брать прямоугольные координаты. Для этой цели могут быть использованы любые г' величины дн аз, ..., ау, заданием которых положение материальных точек системы определяется однозначно. Такие величины называются обобщенными координатами. Движение системы определится полностью, если обобщенные координаты будут найдены как функции времени. Производные обобщенных координат по времени ао аз, ..., а, называются оообщенными скоростями, Так, при вращении материальной точки по окружности ее положение можно задать значением центрального угла у, который радиус-вектор вращающейся точки образует с положением его в некоторый момент времени (например, в момент ~ = О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
