Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Эта часть энергии в конце концов переходит в тепловую (внутреннюю) энергию. Она может быть очень малой и в предельном случае идеально упругих шаров обращается в нуль. 3. Скорости шаров после столкновения н, и пг легко найти из законов сохранения импульса тела и энергии: т~ю1 + тгюг = т1П1 + туг, (28.1) — тг г+ — т иг — тгг+ — тгг 1, 1, 1 1 г 1~ г гг 159 АБСОЛЮТНО УПРУГИЙ УДАР 9 281 т1(и! — 0!) = тг(иг иг) т1(01 — 0,) = тг(иг иг ). Так как 17, — и! и иг — 02 не Равны нрлю, то УРавнениЯ можно по- делить почленно.
Это дает 17! + !'! !'2 + !72' В результате задача сводится к решению системы двух линейных уравнений. Решая их, найдем единственное решение !И !0! -1- 01202 И'! = — 01+ 2 7И! -!.И12 70,01-1-70,02 иг= иг+2 7И! -! И12 (28.2) удовлетворяющее условию задачи. 4. Полезно привести другой способ решения той же задачи. Он сокращает вычисления и лучше выявляет структуру окончательных формул. Рассмотрим процесс удара сначала в системе центра масс, т.
е. в такой системе отсчета, в которой центр масс неподвижен, Относительно неподвижной системы отсчета (ее называют лабораторной) центр масс движется со скоростью 0110! + 70202 (28. 3) 70! Гтг Скорости в системе центра масс будем обозначать прежними буква- ми, но с индексом О. Полный импульс в системе центра масс равен нулю, и законы сохранения импульса и энергии в такой системе за- пишутся в виде 7"!о!о+ тгиго Гн!и!о+ тгего О, г ! г 1 г ! г г т1~10 + г 7н21720 г т1010 + г 7И2!720' (28.4) Так как одно из этих уравнений квадратное, а другое — линейное, то система (28.!) должна иметь два решения относительно неизвестных и, и иг. Одно из этих решений можно указать сразу, а именно 0, = и„ог = гг.
Но это решение не удов7тетворяет условию задачи. Ему соответствует случай, когда скорости шаров не изменились, т. е. шары не претерпели столкновения. Существование такого решения неизбежно. Действительно, законы сохранения импульса и энергии можно написать для двух любых состояний системы, разделенных каким-то промежутком времени Л!. Но в самих законах сохранения еще не заложено условие, что столкновение произошло. Это условие должно быть указано дополнительно. Если столкновение не произошло, то скорости шаров не могли измениться, и мы получаем решение И! = Ио Иг= ог, указанное выше. Чтобы получить решение, относящееся к столкновению, очевидно, надо потребовать, чтобы скорости шаров изменились, т.
е. чтобы о', ~ гн 02 ~ 02. Заметив это, перепишем уравнения (28.!) в виде !гл, ш РАБОТА и энеРГия Эта система уравнений имеет два решения, которые могут быть указаны без вычислений. Первое решение о10 и10 020 1120 не удовлетворяет условиям задачи, Годится только второе решение, а именно и!0 010 огв 020. Мы видим, что в системе центра масс столкновение приводит просто к изменению знака каждой вз скоростей. Перейдем теперь к лабораторной системе отсчета. Очевидно, иш — — 0, — Р, 00! — — 0! — Ф' и т. Д.
ПоэтомУ 10! ~) 101 у)~ (02 ~) (02 ~) откуда Г28.5) и! —— — 01+ 2Р, иг — — — иг+ 2Е. 21и, и = и. г — Р и! т — т Ю г 01! ! П!2 Если пг! > тг, то первый шар будет двигаться в первоначальном направлении . При и ! < шг он отскочит в противоположном направлении. При пг! = тг первый шар остановится, а второй пойдет вперед со скоростью первого.
Вообще, при т! = тг из формул (28 .2) получаем 0! — 02 и2 111' т. е. при столкновении двух одинаковых абсолютно упрутик шаров они просто обмениваготсл скоростями. Рассмотрим рад соприкасающихся одинаковых абсолютно упругих шаров, центры которых расположены вдоль одной и той же прямой линии ~рис. 49). В соответствующем демонстративном опыте шары подвешиваются на нитях, а не располагаются на поверхности стола, чтобы не возникало вращение их из-за трения между шарами и поверхностью стола. Отклоним в сторону шар 1. Ударившись о шар 2 со скоростью и, он передаст ему эту скорость, а сам остановится. С шаром 2 произойдет то же самое — при ударе о шар 3 он остановится, а шар 3 придет в движение со скоростью и.
Этот процесс будет повторяться с каждым впереди находящимся шаром. В конце концов последний шар отскочит со скоростью и, а все прочие шары останутся в состоянии покоя. Подставив сюда значение для Р нз (28.3), придем к прежним формулам (28.2). 5. Допустим, что второй шар вначале бь!л неподвижным (02 = 0). Тогда )б! АБСОЛЮТНО УПРУГИЙ УДАР Отклоним теперь два шара. При возвращении в нижнее положение они приобретут одну и ту же скорость и и, двигаясь с такой ско- 2 3 4 5 ! 2 3 4 5 Рис. 49 ростью, ударят впереди находящийся шар (рис, 50), Оказывается, что в результате удара отскочат двп последних шара со скоростью и, а все остальные шары останутся в покое, Явление можно объяснить следующим образом. Шар 2 ударяет в шар 3.
В результате этого шар 2 останавливается, а шар 3 приобретает скорость и. Однако шар 2 сразу же подвергается удару со стороны шара 1 и снова приобретает преж- ООО ООО Рис. 50 нюю скорость и. Таким образом, шар 1 придет в состояние покоя, а шары 2 и 3 будут двигаться вместе со скоростью и. Повторяя это рассуждение, найдем, что затем остановится шар 2, а начнут двигаться шары 3 и 4 и т. д.
В конце концов скорость и приобретут два последних шара, а все остальные шары придут в состояние покоя. Вместо двух можно отклонить три, четыре и т. д. шара, сообщив им одну и ту же скорость ш После удара отскочит такое же количество шаров, остальные же шары останутся неподвижными. б. Рассмотрим теперь нг иснтролвный удар твердых упругих шаров. Так называется столкновение. когда в момент удара началь- Рис.
51 ные скорости шаров не совпадают по направлению с линией центров. Разложим в момент столкновения начальную скорость каждого шара на нормальную ив и тангенциальную и, составляющие, т. е. составляющие вдоль линии центров и перпендикулярно к нсй (рис. 5! ). Так же поступим с конечными скоростями шаров в момент начала их разлета. Тогда законы сохранения импульса тела и энергии запишутся в виде 11 1 + !2 2 !1 1» + 12 2 ' 1п1ив + !пт!'ь — — т,и1, + газ!те (28.6) — и!1)и! + 11!] + — и!т(из + "т~) = — 1и1)!!! +!'! ) + 2 ™з)па~+ !'т!). Получилось всего три уравнения для определения четырех неизвестных гьв 1'и, !то итг ЧтОбЫ НаннеатЬ НСДОС1аЮЩЕЕ УРаВНСНИЕ, ВВСДСМ ПРЕДПОЛОжсине, 1б2 (гл, ГУ РАБОТА И энеРГия по при столкновении ~паров пе аозникпют тангенлиильные силы. В сущности, ввести такое предположение вынуждает нас закон сохранения энергии, уже использованный при написании наших уравнений.
Действительно, если бы тангенциальные скорости сталкивающихся шаров были одинаковы (ви = в,), то рассматриваемый случай сводился бы к случаю центрального удара, уже разобранному выше. Для этою достаточно было бы перейти в систему отсчета, в которой вп = .з,. Поэтому без ущерба для общности мы будем предполагать, что 1 и и вп. По тогда, если бы при столкновении развивались тангенциальные силы трения скольжения, механическая энергия не могла бы сохраняться.
Поэтому, предполагая удар идеально упругим, мы должны считать сами шары идеольно гладкими. При их столкновении тангенциальные силы не возникают. Если так, то не происходит гакже изменения тангенциальных скоростей, и к уравнениям (28.6> следует присоединить уравнения о„= вщ вз = вп. Тогда останутся только уравнения для нормальных скоростей, отличающиеся от уравнений (28.1> лишь обозначениями. В результате мы приходим к следующему заключению. При столкновении глидких идеально упругих широв их ьнангенчиольные скорости не изменяются. Пор иоланте же скорости из,неняюьпся так же, как и скорости при Петпральноп ударе.
В частности, при столкновениях не изменяются состояния вращения шаров. Это бьшо бы возможно только при наличии тэнгснциальных сил. Если итры одинаковы, то нри сгполкновении они облениваюп1ся норхитьныни скоростяэш, тангенчипньные скорости их осгппются неизиенньспи. 7. Отметим случай, когда масса одного из шаров бесконечно велика.
В этом случае скорость большего шара при столкновении вообще не изменится. Устремляя радиус этого шара к бесконечности, в пределе придем к задаче о столкновении гладкого упругого шара с гладкой плоской стенкой. Если связать систему отсчета с такой стенкой, то можно сказать, что при столкновении с ней тангенциальная скорость шара не меняется, а нормальная меняет знак. Это значит, что шар отражается от стенки «зеркалшьо»: его скорость по модулю ие изменяется, а угол пздения равен углу отражения. Удар под углом о массивную стенку сообщает ей конечный импульс, в то время как кинетическая энергия, приобретаемая стенкой, пренебрежимо мала.
Например, если удар нормальный, то скорость шара о после удара становится равной — и, а импульс шара получает приращение — 2то. Чтобы общий импульс ие изменился, стенка должна воспринять импульс Муг = 2то, проявляющийся в конечной силе удара, действующей на стенку. Прн этом стенка получает сколы рость уг = 2 —, которая для массивной стенки бесконечно мала. ВесМ' конечно мала и кинетическая энергия, приобретаемая стенкой.
Дейк( 1' 1' ствительно, ее можно представить в виде = МР' —, т. е. в виде 2 2' произведения конечного импульса МР" на половину бесконечно малой скорости 1г/2. 163 8 28) АБСОЛЮТНО УПРУГИЙ УДАР зд дд чи 1. На ~ладком горизонтальном столе лежит шар массой пгн соединенный с пружиной жесткости )г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
