Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 44
Текст из файла (страница 44)
= т[гу[, то 1. = 2гпБ. (31.2) При нерелятивистских движениях масса т постоянна, а потому момент импульса Ь пропорционален секториальной скорости 3. 2. Если сила, действующая на материальную точку, центральная и ее направление проходит через полюс О, то вектор 1. не будет меняться во времени. В случае нерелятивистских движений не будет меняться и секториальная скорость Б.
В этом случае закон сохранения момента импульса переходит в закон плои1адей: 8 = сопя!. (31.3) Из этого уравнения вытекают два следствия. Во-первых, плоскость, в которой лежат векторы г и у, перпендикулярна к направлению вектора 3. А так как последнее направление остается неизменным, то будет неизменной и указанная плоскость. Это значит, что траектория льятериальной точки в поле центральных сил есть плоская кривая. Во-вторых, из постоянства длины вектора Б следует, что в равные времена радиус-вектор,натериильной точки описывает одинаковые по размеру плои1ади.
Это положение часто называют законом алаи[адей. Мы предпочитаем, однако, придавать закону площадей более широкий смысл, характеризуя площадь не только размером, но и ее ориентацией в пространстве. 1зг ~гл. ч мОмент импульсА Справедливо и обратное утверждение. Если траектория магпериальной точки — плоская кривая и радиус-вектор, проведенный из неподвижного полюса О, в равные времена описывает одинаковые площади, то направление действующей силы все время прахом дит через полюс О. Действительно, условие теоремы эквивалентно утверждению, что секториальная скорость Б есть постоянный вектор.
Будет постоянен и момент импульса 1., Поэтому на основании (30г1) 1. = М = 1гР) = О. Отсюда следует, что вектор Р коллинеарен радиусу-вектору г, а следовательно, его направление все время проходит через точку О, Последняя является, таким образом, силовым центром, из которого должны исходить силы притяжения или отталкивания, действующие на материальную точку. 3. Теорема плошадей справедлива не только в случае неподвижного силового центра. Пусть две материальные точки взаимодействуют между собой центральными силами.
Применяя понятие приведенной массы, можно свести задачу об их относительном движении к задаче о движении одной точки в силовом поле неподвижного силового центра (см. з 20). В качестве такого силового центра можно принять любую из рассматриваемых материальных точек, относительно которой движется другая точка. Тогда радиус-вектор, проведенный от первой точки ко второй, будет в относительном движении описывать в равные времена равные площади. ф 32. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА И МОМЕНТ СИЛ ОТНОСИТЕЛЬНО НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ 1. Векторное уравнение (30.5) эквивалентно трем скалярным уравнениям ~4~., ~ — Мвнеы ш ч'с, — '=М ч'г х (32.2) которые получаются из уравнения (30.5) путем проецирования на неподвижные оси декартовой системы координат.
Индекс «внешчь указывающий на то, что при вычислении момента сил внутренние силы могут не приниматься во внимание, в дальнейшем обычно будет опускаться. Таким образом, под М в уравнении моментов всегда будет подразумеваться момент внешних сил. Величины Ех и М„называются соответственно моментами импульса и сил огпносительно оси Х. Аналогично говорят о моментах импульса и сил относительно координатных осей у' и у, Вообше, моментами Е и Мк импульса и сил, огпносительно произвольной оси Х называют проекции векторов 1.
и М на эту ось в предположении, что начало О лежит на рассматриваемой оси. Уравнение МОМЕНТ ИМ11УЛЬСА И МОМЕНТ СИЛ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ 1ВЗ называется урашзением моментов относительно неподвижной оси Х. Когда момент внешних сил относительно какой-либо неподвижной оси равен нулю, то момент импульса системы относительно той же оси остается постоянным, Это —,закон сохранения импульса относительно неподвижной оси.
2. Чтобы выяснить геометрический смысл момента М„представим векторы г и Р в виде г=г, +г(р Р=Р, +Р)р Здесь ㄠ— составляющая вектора г, перпендикулярная к оси Х, а г~~ — составляющая того же вектора, параллельная этой оси. Аналогичный смысл имеют векторы Р2 и Р~р Используя эти разложения, можно написать М = ]гР] = ]г „Р„] + ]]г,Р~~] + ~г~~Р,]] + ~г~~Р~~].
Последний член как векторное произведение параллельных векторов равен нулю. Сумма, заключенная в фигурные скобки, есть вектор, перпендикулярный к оси Х, При проецировании на эту ось он даст нуль. Таким образом, составляющая вектора М, параллельная оси Х, равна М~~ — — (г,Р ]. Только эта составляющая и играет роль при нахождении момента М, относительно оси Х. Аналогично при нахождении проекции Ся ДОСтатОЧНО ПРОЕЦИРОВатЬ ТОЛЬКО ПаРаЛЛЕЛЬНУЮ СЛаГаЕМУЮ ВЕК- тора йл 4.~~ — — ]г р ].
Изложенное тривиальным образом обобщается на случай системы нескольких сил и системы нескольких материальных точек. Назовем плечом силы относительно некоторой оси кратчайшее расстояние между осью и линией действия силы. Тогда момент силы относительно той же оси может быть определен как взятое с надлежащим знаком произведение перпендикулярной составляющей силы на соответствующее пле- Е2 чо. Такое определение момента дается в элементарной физике. Так как точку приложения силы можно перемещать произвольно вдоль линии ее действия, то это т определение согласуется с определением, которое было приведено выше.
Это видно из рис. 58, где предполагается, что ось пер- О т, пендикутярна к плоскости рисунка и проходит через полюс О. >з4 1гл. у МОМЕНТ ИМПУЛЬСА Аналогично момент импульса материальной точки относител>вн> оси можно определить как взятое с надлежащим знаком произведение слагающей импульса, перпендикулярной к этой оси, на соответствующее плечо. й 33. УРАВНЕНИЕ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА ДЛЯ ВРАЩЕНИЯ ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ 1. Применим уравнение моментов относительно осн к рассмотрению вращательного движения.
За неподвижную ось моментов удобно выбрать ось враи1ения. Если материальная точка вращается по окружности радиуса г (рис. 59), то момент ее импульса относительно осн вращения О равен 1, = тьг. Пусть щ — угловая скорость вращения, тогда и = ь>г, и, следовательно, 1,= гпгзи>. Если вокруг осн О вращается система материальных точек с одной н той же угловой скоростью ь>, то 1. = ~Х тгзщ, где суммирование производится по всем материальным точкам системы. Величину щ как одинаковую для всех материальных точек можно вынести из-под знака суммы. Тогда получится (33.1) где 1=1 тгз.
(33.2) Величина 1, равная сумме произведений масс материальных точек на квадраты расстояний нх до оси вращения, называется моментом илериии системы относительно этой оси. Уравнение (33.1) показывает, что при вращении систе,иы момент ее импульса аппп>сительно оси вращения равен произведению момеюпа ипер>4ии атпосительно той же оси >ш угловую скорость.
Если на вращательное движение системы материальных точек накладывается еще радиальное движение их, а также движение параллельно оси, то наличие таких движений не отразится на справедливости формулы (33.1). Это следует из того, что мол>ент импульса л>агпериальной точки зависит от ее скорости у линейно. Когда же скорость у направлена по радиусу или параллельно оси вращения, то момент импульса относительно этой оси равен нулю. Поэтому такие движения непосредственно не сказываются на виде связи между моментом импульса системы относительно осн вращения и ее угловой скоростью. Их влияние косвенное и состоит в том, что момент инерции 1 перестает быть постоянной величиной, а меняется во времени в соответствии 135 ВРАЩЕНИЕ ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ Е 331 с изменением мгновенной конфигурации системы.
В этом случае уравнение (32.2) принимает внд — (1ш) = М, (33. 3) где М вЂ” момент внешних сил относительно оси вращения. Это основное уравнение динамики вращательного движения вокруг неподвижной оси, Она напоминает уравнение Ньютона для движения материальной точки. Роль массы играет момент инерции 1, роль скорости — угловая скорость со, роль силы — момент силы М, роль импульса — момент импульса Е.
Момент импульса Е часто называют врищательпым импульсол) системы, Пользуясь этой терминологией, можно сказать, что производная вращательного импульса системы по времени равна моменту внешних сил относительно оси вращения. Если люмент внешних сил М относительно оси вращения равен нулю, то вращательный импульс 1ш сохраняетсяа 2. Важным частным случаем является вращение неизменяемой системы материальных точек или твердого тела вокруг неподвижной оси.
В этом случае момент инерции 1 при вращении остается постоянным, и уравнение (33.3) переходит в (33.4) Произведение моменти инерции твердого тела относителыю не- Г(Е2 подвижной оси вращения на угловое ускорение — равно моменту д( внешних сил относительно той же оси. Для лучшего уяснения уравнения (33.4) приведем другой се вывод, основанный непосредственно на уравнении движения материальной точки. Последнее в случае вращения материальной точки вокруг неподвижной оси Ве ИМЕЕТ ВНД т — = Рс ГДЕ Р, — тантсвцнаЛЬааа СЛаГаЮЩаЯ ДейСтВУЮШЕй Сит лы. Так как о = е22к то, умножая прсдыдушео уравнение на г, получим пш — = гуго Напишем такие соотношения для каждой материальной точки, 2 вм га а затем сложим их.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
