Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Тогда мы снова придем к уравнению (33.4>. Прн этом асе внутренние силы исключаются, так что под М а уравнении (33.4) следует понимать момент одних только внешних снл, Этот элементарный вывод обладает, однако, тем недостатком, что он дает уравнение вращательного движения не в общей форме (33.3), а только в частной форме (33.4>. 3. Аналогия между движением материальной точки и вращением твердого тела относительно неподвижной оси может быть прослежена дальше. Если материальная точка вращается по окружности, то элементарная работа при повороте на угол г(р равна г(А = г дх = гг 21 р = М д р. Такое же выражение получится и для твердого тела, так как его можно рассматривать как систему материальных точек, вращающихся с обшей угловой скоростью со. Внут- ~гл.
у мОмент импульсА ренине силы исключатся, так как в случае твердого тела, как было показано в з 24, они работы не совершают. Итак, для твердого тела И=44ар. (33.5) Роль силы играет момент внешних сил, роль линейного перемещения — угловое перемещение. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела представляется в виде К = — ~~ тгз = — ~ ~т(гвг)2 = — ~~' пи 2, или г г 2 2!' (33.6) Эти выражения напоминают соответствующие выражения для кине- тической энергии материальной точки.
Они получаются из послед- них формальной заменой т- 1, г- и, р- 1.. 8 34. ПРИМЕРЫ НА ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ВРАЩА1ЕЛЬНОГО ИМПУЛЬСА 1. Поучительные демонстрационные опыты на закон сохранения момента импульса можно осуществить с помощью скамьи Жуковского (по имени русского ученого Н. Е. Жуковского (1847 — 1921)). Скамья Жуковского представляет собой угол, сидение которого имеет форму диска. Диск может свободно вращаться вокруг вертикальной оси на шариковых подшипниках. Во время опыта демонстратор садится или становится на скамью Жуковского и, отталкиваясь от пола, может приводить ее во вращение. После прекращения толчка единственными внешними силами, которые могут создавать момент относительно оси вращения, являются силы трения и сопротивления воздуха. Силы трения благодаря шариковым подшипникам очень малы, а сопротивление воздуха может не приниматься во внимание, пока число оборотов скамьи невелико. Поэтому момент импульса системы, состоящей из скамьи и демонстратора, относительно оси вращения не может меняться во времени, если система представлена самой себе.
Демонстратор на скамье Жуковского, оттолкнувшись ногою от пола, приводит ее во вращение. Вместе со скамьей вращается и он сам. Во время вращения вращательный импульс системы будет оставаться постоянным. Какие бы внутренние движения ни совершались в системе — внутренние силы не могут изменить вращательный импульс. Если демонстратор разведет руки в стороны, то он увеличит момент инерции системы 1, а потому угловая скорость вращения ю должна уменьшиться, чтобы остался неизменным вращательный импульс 1ш. Если демонстратор сводит руки к оси вра- 1вт б зм 3АкОн сОхРАнгния ВРА!пАТРльного импульсА 1" шения, то момент инерции У уменьшается, а угловая скорость увеличивается.
Для усиления эффекта демонстратор держит в руках тяжелые гири. При максимальном удалении гирь от оси вращения момент инерции увеличивается в несколько раз. В такое же чис- м1 ло раз уменьшается угловая скорость врашения (рис. 60), 2. Когда балерина делает пируэт, она врашается на носке, вокруг вертикальной О оси. Ноги и руки при этом максимально приближены к оси вращения, и угловая скорость максимальна. Для замедления вращения и остановки балерина разводит руки и отводит ногу в сторо- Рис. бО ну. Наоборот, для сообщения своему телу быстрого вращения балерина отталкивается от пола, получая вращательный импульс, когда момент инерции ее тела максимален.
Затем она соответствующим движением уменьшает момент инерции в несколько раз и тем самым увеличивает угловую скорость вращения. Таким образом, она управляет скоростью вращения путем изменения момента инерции своего тела. В сущности, она делает то же самое, что и демонстратор на скамье Жуковского. Тем же самым приемом поль- и зуется гимнаст, выполняющий упражнение на перекладине. 3. Прыгун, чтобы сделать сальто, отталкивается от трамплина и тем самым сообШает своему телу врашательный импульс. Этот импульс сохраняется при дальнейшем движении прыгуна в воздухе.
Вначале тело прыгуна вьпяну- Рис. Ш то и момент инерции велик. В некоторый момент прыгун свертывается клубком (рис. 61), уменьшая момент инерции в три и большее число раз. Угловая скорость возрастает во столько же раз. С этой угловой скоростью прыгун выполняет один, два и даже три полных оборота. В нужный момент прыгун снова выпрямляет тело и с ма- 1ВВ ~гл. у МОМЕНТ ИМПУЛЬСА лой угловой скоростью становится на землю или погружается в воду. Приведя этот пример, мы несколько забежали вперед, так как здесь ось, вокруг которой вращается тело прыгуна, не неподвижна, а движется в пространстве. Однако если движущаяся ось вращения проходит через центр масс прыгуна, то вращение совершается по тем же законам, что и вращение вокруг неподвижной оси (см.
з 37). 4. Земля при вращении вокруг собственной оси ведет себя подобно скамье Жуковского. Всякое перемещение масс внутри Земли (выпадение осадков, вулканическая деятельность, горообразование и пр.) меняет момент инерции, а с ним и угловую скорость вращения Земли.
Это является причиной нерегу,тярных колебаний продолжительности суток. Экспериментально обнаружены периодические колебания продолжительности суток с основным периодом в один год и с амплитудой около 0,001 с. Земля подвержена также регулярным внешним воздействиям, прежде всего силам приливного трения, связанным с гравитационным притяжением Луны и Солнца. Благодаря этому средние солнечные сутки увеличиваются примерно на 1,б40 10 з с в столетие. Как уже говорилось в й 1, неравномерность вращения Земли можно наблюдать с помощью кварцевых, атомных или молекулярных часов.
Ход таких часов управляется колебаниями кристаллической решетки кварца, а также внутриатомными и внутримолекулярными колебаниями при излучении спектральных линий. Указанные колебания обладают значительно большей стабильностью, чем вращение Земли вокруг собственной оси или вокруг Солнца.
Это и является причиной, почему в настоящее время эталон времени — секунда — устанавливается именно с помощью таких колебательных процессов, а не с помощью вращения Земли вокруг своей оси или Солнца, как это делалось до недавнего времени (см. з 1). 5. Вернемся к опыту со скамьей Жуковского. При уменьшении момента инерции вращающегося тела его кинетическая энергия увеличивается (при условии, что момент внешних сил равен нулю). Это непосредственно видно из формулы (33.б), так как в рассматриваемом случае вращательный импульс системы г,= 1ш не изменяется.
Изменение кинетической энергии системах может происходить только за счет работы каких-то сил. Такими силами в нашем примере являются внутренние силы, действующие в системе. Они не могут изменить момент импульса системы. Однако совершаемая ими работа, вообще говоря, отлична от нуля и идет на изменение кинетической энергии вращения системы.
демонстратор на скамье Жуковского должен развить определенную мускульную силу, чтобы удержать вращающиеся гири на их круговых траекториях. Сила, с которой он действует на гирю, есть центростремительная сила Г = тшзг, где т — масса гири, а г — расстояние ее от оси вращения. Когда демонстратор приближает гирю к оси вращения, сила г совершает положительную работу. За счет этой работы и происхо- 190 1гл. у МОМЕНТ ИМПУЛЬСА тельных сил на гири действуют силы бокового давления со стороны рук демонстратора.
Эти силы не изменюот угловуго скорость вращения гирь. Гири, и свою очередь, оказыван1т боковое давление на руки деяонстратора, в результате чего меняетс11 угловая скорость врищения скамьи невесте с демонстраторол1, Демонстратор на скамье Жуковского очень хорошо ощущает действие этих сил бокового давления при всяком, в особенности быстром, радиальном перемещении гирь, Дополнительные силы бокового давления перпендикулярны к оси вращения и к относительной скорости гирь, Работы они не производят. Их наличие не может сказаться на результате вычисления работы А, которое было произведено выше, Силы бокового давления, однако, имеют л1оменты относительно оси вращения и производят перераспределение неизменного момента импульса системы между гирями — с одной сторонгя — и скамьей Жуковского с дежонстраторож — с другой.
В результате их действия все эти тела вращаются с общей угловой скоростью. Количественное рассмотрение вопроса будет произведено в з б4. 7. С помощью скамьи Жуковского можно демонстрировать и векторный характер момента импульса. Для этой цели применяется велосипедное колесо с утяжеленным ободом. Если колесо вращается вокруг собственной оси, то вследствие осевой симметрии полный импульс его р равен нулю. В этом случае, как было показано в З 30, момент импульса Ь относительно неподвижной точки не зависит от положения этой точки. С другой стороны, проекция вектора Ь на ось вращения колеса равна 1й, где 1 — момент инерции колеса, а ь2 — его угловая скорость.
Проекция вектора Ь на любое направление, перпендикулярное к оси колеса, равна нулю ввиду осевой симметрии. Отсюда следует, что вектор момента импульса Ь направлен вдоль оси колеса и по модулю равен 1Й. Демонстратор садится или становится на скамью Жуковского. Ему передают бьютро вращающееся колесо с вертикально направленной осью 1рис. 62). Полный момент импульса системы направлен вертикально и равен П2. Примем вертикальную ось скамьи Жуковского за ось Х.
Так как момент внешних сил относительно оси Х равен нулю, то проекция Ь„полного момента импульса системы на эту ось должна сохраняться. В начале опыта весь вращательнь1й импульс сосредоточен в колесе. Затем демонстратор наклоняет ось колеса на угол а. Проекция момента импульса колеса на ось Х становится равной 1.",."" = 1Й соз и, т.
е. она уменьшается на 1ь2 (1 — соз и). Это уменьшение должно быть скомпенсировано возрастанием соответствующей проекции момента импульса скамьи и демонстратора на величину 1.'„к"и=10 11 — соз и). В результате скамья с демонстратором приходит во вращение с угловой скоростью ю, определяемой из уравнения 1вю = 1Й 11 — соз а), где 19 — момент инерции скамьи. При а = 90' проекция Ь„".'ь обращается в нуль — она целиком передается скамье и демонстратору. При ззм ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ВРА!НАТЕЛЬНОГО ИМПУЛЬСА а = 180' изменение вращательного импульса колеса становится максимальным б2,",'" = 22."„"', скамья и демонстратор вращаются с мак- 2Г симальной скоростью сом„„с = — Й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
