Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 48
Текст из файла (страница 48)
ЕГО МОМСНт Иисрцнн 1ч, = т>З ти . ПрОИЗВЕдЕМ ОдНОрОдНОЕ Сжатне в направлении оси 2, чтобы цуар превратился в бесконечно тонкий круглый диск (копечно, с неравномерным распределением масс). Момент инерции 1, при этом остается неизменным, а моменты инерции 1, и 1у будут равны между собой ввиду симметрии. На основании соотношения (36.4) 1, = 1у = У(з 1. = У(з таз. Произведем затем равномерное сжатие круглого диска в направлении оси У, чтобы ею размеры в этом направлении сделались равными 2Ь. При этом момент инерции 1„останегся неизменным, а 1, сделается равным 1, = >(3 упЬ~. Применяя снова соотношение (36.4>, для момента инерции 1, ноууученноуо эллиптического диска найдем 1, = 1„+1 = >уз пн,а + Ь ).
Наконец, произведем равномерное растяжение у эллиптического диска в направлении оси 2, чтобы он превратился в трехосный эллипсоид с полуосями а, Ь, с. При этом величина 1, не изменится. Таким образом, момент инерции трехосного эллипсоида относительно оси 2 равен 1,— у(а + Ь ). (36. (9> Моменты инерции относительно остальных двух главных осей равны соответственно 1„ = — т (Ьз + с ), 1, = — т (с + а~). 200 ~гл. у МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ф37.
УРАВНЕНИЕ МОМЕНТОВ ОТНОСИТЕЛЬНО ДВИЖУЩЕГОСЯ НАЧАЛА И ДВИЖУЩЕЙСЯ ОСИ 1. Уравнение моментов (30.5) справедливо для того случая, когда начало О, относительно которого рассматриваются моменты Ь и М, неподвижно. Точно так же уравнение (32.2) относится к моментам относительно негаздвижной оси, В некоторых случаях, однако, целесообразно рассматривать движущиеся начала или движуи1иеся оси. Исследует, как меняется в этом случае уравнение моментов.
Особый интерес представляют случаи, когда уравнение моментов относительно движущегося начала сохраняет прежний вид (30,5), 2. Рассмотрим сначала материальную точку. Будем понимать под ч и р вя тч скорость и импульс этой точки относительно неподвижной инерциальной системы отсчета 5, а под г — ее радиус-вектор, проведенный из движущегося начала О. Движение начала О может быть как равномерным, так и неравномерным. Скорость этого движения обозначим через ч . Момент импульса движущейся точки относительно начала О определим прежним выражением (30.3), т.
е. Ь = [гр[. Как и раньше, дифференцированием этого выражения найдем Ь = [гр[ + [гр). Однако теперь г означает не скорость материальной точки у, а раз- ность между этой скоростью и скоростью движущегося начала ч . Таким образом, 1. = [(У вЂ” чэ)р) + [гр), или ввиду уравнения Ньютона р = Р и коллинеарности векторов ч и р Ь = [гР[ — [чор], или, наконец, Ь = М вЂ” [ч,р[. (37. 1) Чтобы обобщить это уравнение на случай системы материальных точек, напишем его для 1-й материальная точки Ь,. = М, — [гор,.1, а затем просуммируем по всем й Таким путем снова получим уравнение (37.1). Однако теперь р будет означать импульс всей системы материальных точек, а М вЂ” момент действующих на нее внешних сил.
ИмпУльс Р можно пРеДставить в виДе Р = тчс, гДе Ус — скорость центра масс системы. Таким образом, Ь=М вЂ” т[у у [. (37.2) Зто и есть уравнение моментов относительно движущегося начала. Если движущееся начало О совпадает с центром масс С системы, то чо — — ус., и срормула (37.2) переходит в пре:кнее уравнение (30.5). Уравнение моментов относительно центра масс имеет такой же вид, что и относительно неподвижного начала.
Более того, в этом случае скорости у материальных точек не обязательно ДВИЖУ!ЦИВСЯ НАЧАЛА И ДВИЖУ!ЦИВСЯ ОСИ 201 З 371 рассматривать относительно неподвижной системы отсчета 5. Их можно брать и относительно самого центра масс С, считая его как бы неподвижным. Если центр масс С движется прямолинейно и равномерно, то это утверждение непосредственно следует из принципа относительности.
Но оно справедливо и в случае ускоренного движения центра масс. В самом деле, скорость каждой материальной точки может быть представлена в виде ч = чс + ч„„, где ч„„ — скорость точки относительно центра масс С. Поэтому Е = ~х'[гтч[ = ~х'[гтч [ + г~[гтчо,„) Предпоследняя сумма в этом равенстве равна нулю. Действительно, так как скорость чс одна и та же для всех слагаемых суммы, то ее можно вынести из-под знака суммы, что дает — [чс Х тг[ = — [чс;) Х т, где гс — радиус-вектор центра масс. Он равен нулю, так как начало координат О по условию помещено в центр масс. Итак, Ь = ~~ [гтчотв), что и доказывает наше утверждение.
Второй, более общий, случай, когда уравнение (37.2) переходит в простую формулу (30.5), получается тогда, когда скорости ча и ч, коллинеарны. В этом случае векторное произведение [чач [ обращается в нуль. Таким образом, когда скорость деиж)сч1егося начала О пираллельни скорости центра мисс С, уравнение моментов принимает простуша форму (30,5). В этом случае, однако, при вычислении момента импульса $. надо брать скорости всех материальных точек обязательно относительно инерциальной системы отсчета 5, а не относительно иентра масс.
3. Аналогичные результаты справедливы и для по- т ступательного движущихся осей, когда при движении 2 оси она все время остается параллельной своему исходному направлению. Нет необходимости формули- т, ровать эти результаты отдельно, так как уравнение моментов относительно оси получается из соответстт 2 Ж~ вующего уравнения относительно точки путем проецирования на эту ось. ЗАДАЧИ 1. Определить ускорение тел и натяжения нити па машине Атвуда, предполагая, что т2 > т, (рис.
7!). Момент инерции блока относительно геометрической оси равен А радиус блока г. Массу нити считать пренебрежимо малой. Рис. 71 202 1гл. у МОМЕНТ ИМПУЛЬСА Решен не. Ввиду того, что масса нити пренебрежимо мала, изменения натяжений Т! и Тз вдоль нити можно не учитъгвать.
Уравнения движения грузов и блока будут пггя = Т! — !и!я, тга = ггггл — Тг, 7 — = г!Т вЂ” Т,!. А~ Если нет проскальзывания нити по блоку. то Н~» г — = а. гй Решая эти уравнения, получим т,— т, и = ! лг ч-лг ч-— г,.г после чего находим Т, и Тг Если масса блока пренебрежимо мала, то Т,=Т. 2. К шкиву кресга Обербека (рис. 72) прикреплена нить, к которой подвешен груз массой М = ! кг. Груз опускается с высоты Л = ! м до нижнего положения, а затем начинает подниматься. В это время происходит «рывок», т.
е. увеличение натяхгеггия нити. Найти натяжение нити Т при опускании или т т поднятии груза, а так!хе оценить приближенно натяжение во время рывка Т „,. Радиус шкива г = 3 см. На кресте укреплены четыре груза масс сой т = 250 г каждый на расстоянии Я = 30 см от его оси. Моментом инерции самого креста и лг т шкива пренебречь, по сравнению с моментом инерции грузов. Растяхгение нити во время рывка не учитывать.
Ответ. Т =, =, = 0 99То, Мл Мя Мгг М .г М ! -!- — ! -1-— 1 2гггйг где 7 — момент инерции системы, а То — патяжеРнс. 72 ние нити при неподвижном грузе. Среднее натя- жение нити во время рывка Т и„можно оценить следующим образом. Надо вычислить максимальную скорость груза М в нижнем положении. Обозначим ее через .'. За время полуоборота шкива Л! = яг!и импульс груза М меняется на 2Мв.
Это изменение равно импульсу силы, действующей на груз М, за то же время, т. е. !Т „, — МЛ) йй Вычис- М/т пения дают Т „„= Мя+, Т = 1,42Т . г лтд' 3. Монета массой гп и радиусом г, вращаясь в горизонтальной плоскости вокруг своей оси с угловой скоростью аг, вертикально падает на горизонтальный диск и прилипает к нему. В результате диск приходит во вращение вокруг своей оси. Возникающий при зпом момент сил трения в оси диска постоянен и равен Мгг.
Через какое время вращение диска прекратится? Сколько оборотов Аг сделает диск до полной остановки? Момент инерции ди- Е 37! ДВИЖУ!ЦИЕСЯ НАЧАЛА И ДВИЖУЩИЕСЯ ОСИ 203 ока относительно его геометрической оси уо. Расстояние между осями диска и монеты равно с(. лта Ма т г Ответ. 1= — со; Ас = — '1т, где с'= с' + т с(з+ — . 2М 2/ * о ~ 2~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
