Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 49
Текст из файла (страница 49)
4. Сплошной однородный короткий цилиндр радиусом г, вращающийся вокруг своей геометрической оси со скоростью л об)с, ставят в вертикальное положение на горизонтальную поверхность. Сколько оборотов А) сделает цилиндр, прежде чем вращение ело полностью прекратится? Коэффициент трения скольжения лссжду основанием цилиндра и поверхностью, на которую он поставлен, не зависит от скорости вращения и равен 1с. Ззга~ Ответ.
А(= 4)ск ' 5. Тонкий стержень массой ли и длиной Е (рис. 73) подвешен за один конец и мохсет вращаться без трения вокруг горизонтальной оси. К той же оси подвешен на вс шлти длиной 1 !парик с такой же массой т. !1!ар!ли отклоняется на некоторый угол и отпускается. При какой длине нити шарик после удара о стержень осгановитсяа Удар абсолютно упругий. 1. Ответ. 1= — ' тгЗ ' б. Математический маятник массой гп и стержень массой М (рис.
74) подвешены к одной и той же точке А, вокруг которой они могут свободно колебаться. Длина нити маятника равна длине стержня. Шарик маятника отклоняют в сторону, так что он приподнимается на высоту гл относительно своего нижнего положения. Затем шарик отпускают, и он сталкивается неупруго с палкой. Как будут двигаться шарик и нихсний конец палки после удара и на какие высоты они поднимутся? Р е ш е н и е. Скорость шарика в нижнем положении до удара ОΠ— †уг2ЛН . ТаК КаК удар Нсунрутнй, тО НЕПОСрсдетВЕННО ПОСЛЕ удара Шарик и нижний конец стержня в нижнем положении будут иметь одну и ту же скорость о.
Оца найдется из закона сохранения момента импульса относительно оси А: глйло = тба + ?со, где ! = л)з Лл(~ — момент инерции стержня относительно той же оси. Так как са = йо, то написан- нос уравнение дает т1~ Зт о= л 1~ 1-!.т12 о М.! Зо! о' Теперь надо ренлитго будут ли шарик и стержень после столкновения двигаться вместе или при дальнейшем движении они разойдутся. С этой целью вычислим скорость шарика г! и нихснего конца стержня оз при поднятии на какую-либо одну и ту жс высоту Лл, если бы при этом они двигались независимо друг от друга. Эти скорости найдутся ллз уравнения 204 !гл.
у МОМЕНТ ИМПУЛЬСА сохранения энергии 2 2 2 Л ! 2,2) Преобразовав второе уравнение к виду вт — в2 = Зя/22, 7. Решить предыдущую задачу в предположении, что до удара был отклонен стержень 02ижний конец его был бы поднят па высоту Н). Ответ. После удара шарик поднимается на высоту нижний конец стержня — на высоту 2 Л2 = ~М, З ~ ™ = З Л2. 8. Твердый стержень длиной / и массой М может вращаться вокруг горизонтальной оси А, проходящей через его конец !рис. 75).
К той жс оси А подвешен математический маятник такой же длины / и массы и. Первоначально стержень занимает горизон2альнос положение, а затем отпускается. В нижнем положении происходит идеально уп- А М,/ ругий удар, в результате которого шарик и стержень деформируются, и часть кинетической энергии переходит в потенциальную энергию деформации. Затем деформация уменьшается, и запасенная потенциальная энергия вновь переходит в кинетическую.
Найти значение поте2щиальной энергии деформации !/ в момент, когда она максимальна. 1 гир 3 Мт Ответ. //= —, Мк/= — ь./, где 2 /-~-щ/2 2 М-!-Зги т / — момент инерции стержня. 9. Вертикально висящая однородная доска длиной /, = 1,5 м и массой М = ! 0 кг может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через ее верхний конец. В нижний конец доски ударяет пуля, летящая горизонтально с начальной скоростью 1'з = 600 м/с. Пуля пробивает доску и летит далее со скоростью Р. Определить скорость !', если после выстрела доска стала колебаться с угловой амплитудой а = О,! рад.
Масса пули т = 1О г. М Г2, а О т в е т. !' = 1' — — )~ — дЬ ып — = 444 м/с. т13 2 Рис. 75 видим, что и! > н2. Поэтому в любом положении шарик будет стремиться обогнать стержень. А так как шарик движется позади стержня, то он все время будет прижиматься к стержню. Отсюда следует, что после удара шарик и стержень будут подниматься как единое тело. Высоту поднятия 6 легко определить из закона сохранения энергии. Она равна / -!- И2/,2 бт2 (М+2и2)я/2 !М-!-2ш) /й/Ч-Зт) ДВИЖУ!ЦИЕСЯ НАЧАЛА И ДВИЖУЩИЕСЯ ОСИ 205 1 37) 10.
В общей точке подвеса А (рис. 76) подвешены шарик на нити длиной ( и однородный стержень длиной Е, отклоненный в сторону на некоторый угол. При возвращении стержня в положение равновесия происходит упругий удар. При каком соотношении между массами стержня М и шарика т шарик и точка удара стержня будут А двигаться после удара с равными скоростями в противоположных направлениях? При каком соотношении между массами М и т описанный пропесс невозможен? О тв ет.
Мог = т(г. Так как Ь ж (, то для возможности М ( процесса необходимо М ж т. При М > т процесс невозможен. 11. На горизонтальный диск, вращающийся вокруг геометрической оси с угловой скоростью гог, падает другой диск, вращающийся вокруг той же оси с угловой скоростью шг. Моменты инерции дисков относительно указанной оси равны соответственно (! и (г. Оба диска при ударе сцепляются друг с другом (при помощи острых гпипов на их поверх ности). На сколько изменится общая кинетическая энергия вращения системы после падения второго диска? Чем объясняется изменение энергии? Геометрические оси обоих дисков являются продолжением одна другой.
Ответ. Кинетическая энергия вращения уменьшается на — ('"! — юг) 1 г 12. Шкивы двух маховиков соединены ремнем (рис. 77). Радиусы шкивов равны й! и йг. Моменты инерции маховиков относительно их геометрических осей равны 1, и уг. Удерживая второй маховик и ремень неподвиж- Рис. 77 ными, раскручивают первый маховик до угловой скорости агз, вследствие чего между осью первого маховика и ремнем возникает скольжение.
Затем ремень и второй маховик отпускают. Пренебрегая всеми силами трения, за исключением сил трения скольжения между ремнем и осями маховиков, найти установившиеся скорости вращения маховиков ог! и огг, т. е. скорости после прекращения скольжения. Найти также потерю ЛК кинетической энергии на трение скольжения. Массой ремня пренебречь.
Решен не. Благодаря трению скольжения натяжение ремня сверху Т! и снизу Г будет разным. Применяя к маховикам уравнение (33.4), получим 6(ы т огг ' = (т! — Гг)йп (,—,( — — (т, — т!)Иг. 20б (гл. у МОМЕНТ ИМПУЛЬСА постоянная равна 1!2»»О/й», так как в начальный момент Когда скольжение прекратится, то О»1»?1 — — !»»ф». Решая полученную систему уравнений, найдем угловые скорости О», н О»2 после прекращения скольжения 1 1~ 1 1! Я ю»= 2 2~~0 !О2 1р2 !1Л» 1 2 2 1 1 2 2 1 Входящая сюда "'1 = '"О '"г = 0 Потеря кинетической энергии на трение равна ! 1112Л» 211(»11д» О.
2 2 13. Почему в предыдущей задаче полный момент импульса системы не сохраняется? !'ис. 78 14. Однородный диск А массой М, и радиусом г, (рис. 78) раскручен до угловой скорости шо и приведен в контакт с диском В, ось вращения которого перпендикулярна к оси диска А. Масса диска В равна М2, а расстояние между точкой соприкосновения и осью диска А равна а.
Найти установившиеся угловые скорости дисков О»1 и О»2 и потерю энергии в процессе установления. Трением в осях, а также трением качения пренебречь. А1 .2 Ответ. !О = ш, !О = — со = — !О . 1 М 1.2 ! М»2 О' 2 М !.2 ! М !»» 1. О». 1' 2 2 2 Потеря энергии М М г»и» 4(М г»-!-М и») 15. Вертикальный столб высо!ой 1 цодпиливается у основания и падает на землю, поворачиваясь вокруг нижнего основания. Определить линейную скорость его верхнего конца в момент удара о землю. Какая точка столба будет в этот момент иметь ту же скорость, какую имело бы тело, падая с той же высоты, как и данная точка? Ответ.
О = !(ЗА. Искомая точка находится на расстоянии х = 2121 от основания столба. 1б. Изменится ли ответ в предыдущей задаче, если столб первоначально стоял в вертикальном положении на абсолютно ~ладком льду, а затем начал падатыюд действием силы тяжести? Чем будет отличаться движение столба в этом случае от движения в предыдущем случае? Решен и с. По теореме Кенига кинетическая энергия столба слагается из кинетической энергии движения его центра масс 02!нв со скоростью в и кинетической энергии вращения !!21о» вокруг центра масс с угловой скоростью О».
За время падения центр масс проходит путь 1»»2. При этом совершается работа л!я!72, которая идет на приращение кинетической энергии: — »т» + — 1»О = — тя!. 2 »с 2 2 Поделим эти уравнения соответственно на й» и й», сложим и проинтегрируем. Тогда получим +» = сонэк 1 2 ДВИЖУЕДИЕСЯ НАЧАЛА И ДВИЖУЩИЕСЯ ОСИ 207 4 371 В нижнем положении, когда столб горизонтален, и = Вг йэ. Имея это в виду, а также используя выражение 1= Цгиа~, получим в = Вгтг381.
Скорость верхнего конца столба вдвое больше, т.с. равна и = у'381. Отсюда видно, что результаты будут такими же, что и в предыдущей задаче. Однако характер движения будет другим. В предыдущем случае столб при падении вращался вокруг своего нижнего основания. При этом центр масс столба двигался по дуге окружности, В рассматриваемом случае, поскольку все действующие силы направлены вертикально, пентр масс столба при его падении все время будет находиться на одной и той же 1 вертикали. 17.
Однородный стержень массой и и длиной 1 (рис. 79) падает без начальной скорости из положения 1, вращаясь без трения вокруг неподвижной горизонтальной оси О. Найти го- О Р г ризонтальную Г„„,и вертикальную Е'ьчп составляющие силы, с которыми ось О действует на стержень в горизонтальном положении 2. Решен не. Кинетическая энергия стержня в горизонтальном положе- нии '12 йо = 02 л4я1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
