Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Полученные выражения для х: .х, = А соз («2(+ Ь) и хз = = А соз ( — ю(+ Ь) = А соз (ю( — Ь) можно объединить в одно, так как б— произвольная постоянная. Ее можно во втором выражении переобозначить, заменив на — Ь. Итак, в общем случае х = А соз («и + Ь), что совпадает с выражением (39.1). Я 41. ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК 1. Физическим маятником называется твердое тело, которое может качаться вокруг неподвижной горизонтальной оси. Точка А пересечения ее с вертикальной плоскостью, проходящей через центр масс маятника, называется >почкой подассп л!аз!тинка (рис.
85). Положение тела в каждый момент времени можно характеризовать углом отклонения его из положения равновесия р. Угол р играет роль обобщенной координаты Ф Кинетическая энергия качающегося физического маятника определяется выражением о 2р2 ! КНН ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК 221 8 4<1 где 1 — момент инерции маятника относительно оси А. Потенциальная энергия равна Е„„, = тдй, где л — высота поднятия центра масс С над его самым нижним положением.
Обозначим через а расстояние между центром масс С и точкой подвеса А. Тогда Е„„= тяа(1 — соз р) = 2тяа гйп2 ( р/2). В случае малых колебаний синус угла р,<2 можно приближенно заменить самим углом. В этом приближении 1 Еи„, = 2 тйа<р2, (41.1) и периодом Т= 2л~ (41.2) Если период колебаний не зависит от амплитуды, то такие колебания называются изохроннь.чи.
Мы видим, что малые колебания физического маятники изохронны. Колебания приближенно изохронны, когда угловая амплитуда колебаний не превышает нескольких градусов. При больших амплитудах изохронность нарушается. На свойстве изохронности колебаний маятника основано его применение в часах. Частным случаем физического маятника является л<итематический маятник, Так называется маятник, вся масса которого практически сосредоточена в одной точке — в центре масс маятника С. Примером математического маятника может служить шарик, подвешенный на длинной нити.
В случае математического маятника а = Е 2 = т<'2, где 1 — длина маятника, и формула (41.2) переходит в Т = 2л1) —. (41.3) 8 Сравнивая формулы 14!.2) и 141.3), делаем вывод, что физический маятник колеблется так же, как митематический,иаитник с длиной ! та' (41.4) которая называется приведенной длиной физического маятника. Мы доказали это утверждение только для малых колебаний маятников.
Таким образом, для малых колебаний по- Рис. 85 тенциальная и кинетическая энергии приводятся к виду (40.8), причем и = теа, 1> = Е Отсюда следует, что малые колебания физического маятника будут приблизительно гармоническими с циклической частотой 222 !гл, у1 ГАРМОНИЧРСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Но оно справедливо и для колебаний с конечными амплитудами, когда колебания не изохронны. Требуется только, чтобы угловые амплитуды физического и математического маятников были одинаковы. Доказательство этого мы предоставляем читателю. 2. Отложим от точки подвеса А вдоль прямой АС отрезок АА', длина которого равна приведенной длине физического маятника / (см, рис. 85).
Точка А' называется центром качания. Центр качания можно опредгзшть как математическую точку, в которои надо сосредоточить вега массу г/гизического маятника, чтобы период его колебаний остался без изменений, По теореме Гюйгенса— Штейнера 1 = 1с + таз, где 1с — момент инерции маятника относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С. Подставив это выражение в формулу (41.4), придадим ей вид /= а+ —. (41.5) ти' Отсюда следует, во-первых, что /> а, т.
е. точка подвеса А и центр качания А' лежат по разные стороны от центра масс С, и, вовторых, что всем точкам подвеса, одинаково удаленным от центра масс маятника, соответствует одна и та же длина Ц а следовательно, один и тот же период колебаний Т. Точка подвеса и центр качания являются взаимными или сопряженными точками в следующем смысле. Если маятник подвесить за центр качания А', то его период не изменится и прежняя том ка подвеса А сделаетгл новым центром качания. Это положение называется теоремой Гюйгенса. Для ее доказательства обозначим через а' длину отрезка А'С и допустим, что маятник подвешен за точку А'. Тогда его приведенная длина будет Ц 1' = а'+ —. та Но а'= / — а, или в силу соотношения (41.5) а' = 1 /(та).
Подставив это значение в предыдущую формулу, получим = 1с/(та) + а. Таким образом, Р = /, т. е. приведенная длина, а с неи и период колебаний физического маятника остались без изменения. Это и доказывает теорему Гюйгенса. 3. Приведем другое доказательство теоремы Гюйгенса, глубже раскрывающее ее содерхгание. Будем перемещать точку подвеса маятника вдоль одной и той же прямой, проходящей через центр масс С.
Посмотрим, как при этом будет меняться его период колебаний. Когда точка подвеса А бесконечно удалена от С, маягиик веда~ себя как математический. Еш период колебаний бесконечно велик. При приближении точки подвеса А к центру масс С период колебаний сначала убывает. Когда точка подвеса совместится с С, маятник при любом отклонении будет в безразличном равновесии. Это значит.
что его период колебаний снова становится бесконечно болыпим. Поэтому по мере приближения точки А к С убывание периода должно смениться возрастанием. Положению точки подвеса, где это происходит, соот- ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК 223 84Ц ветствует минимальный период колебаний. Тогда точка подвеса переходит через точку С на другую сторону прямой АА', период колебаний, перейдя через бесконечность, начинает умсныпаться. При этом двум положениям точки подвеса, находящимся по разные стороны от С на одина- ( ковых расстояниях, соответствуют равные периоды колебаний. Вместо периода колебаний 1 (в можно пользоваться пр>лведецной длиной маятника 1, одно- ! значно определяющей его пери1 од колебаний.
При удалении (а о точки гюдвеса в бесконечность или при приближении ее к центру масс С приведенная длина 1 стремится к бесконечности и Рис. 86 достигает минимума в каком-то промежуточном положении. Графически это представлено кривой на рис. 86. Па оси абсцисс отложена величина а, на оси ординат — приведенная длина 1 маятника. Кривая состоит из двух ветвей, симметрично расположенных относительно оси ординат.
Одна ветвь соответствует случаю, когда точка подвеса расположена по одну, а вторая — по другую сторону от центра масс С. Аналитически кривая изображается уравнением (41.5), которое можно переписать в виде и — (а+ — = О. г тс т (41.6) Фиксированному значению приведенной длины (в соответствует на рис. 86 горизонтальная прямая 1= (в. Точки пересечения ее с кривой определяют положение точек подвеся физического маятника, при которых его приведенная длина равна заданному значению (о.
Во- 2 обще говоря, таких точек пересечения четыре. Две из них расположены по одну, две остальные — по другую сторону от центра масс С. Их положение легко найти из квадратного уравнения А> а — (за+ — = О. 2 с м (41.7) Если (в ж 2 ~7 lи, это уравнение имеет два вещественных поло- жительных корпя а, и аз, причем (41.8) а> + а2 = (в. В этом случае по одну и ту жс сторону ог центра масс С имеются две точки подвсса А> и А2 (рис. 87), которым соответствует одна и та же приведенная длина ( .
По другую сторону от центра масс С лежит вторая пара симметрично расположенных точек подвеса А> и А2, характеризующаяся той >ке приведенной длиной (в. Если (в = 2 т(ус)п>, корни уравнения (41.7) совпадают, т, е. обе точки подвеса по каждую сторону от центра масс сливаются в одну. Если (в < 2 и7 7и~, корни -'12 Рис. 87 224 (гл, чг ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ уравнения (4!.7) мнимые. Не существует точек подвеса, для которых приведенная длина была бы меньше 2 ч7 7т. Теорема Гюйгенса теперь становится очевидной.
Действительно, из соотношения (41.8) слодует, что расстояние между точками Аг и Аг, а также между точками Аг и Аг равно приведенной длине маятника 1. Если одну из точек каждой пары принять за точку подвеса, то вторая будет центром качания. Но это и есть теорема Гюйгенса.
Наше рассмотрение показывает также, что точка подвеси и центр качииия находятся по разные стороны от центра масс и располоягены асимметрично опгиосительио него. Исключение составяяегп гполько случай, когда (з = 2 игу (гп. Тогда точки А, и А сяиваются в одну точку. Сливаюгпся также и точки А, и Аг. В этом исключипгельном случае точка подвеса и центр качания распологкеиьг симмеигри ого относительно центри.масс. 4. Теорема Гюйгенса используется в оборотном маятнике для точных измерений ускорения свободного падения. Существуют разнообразные конструкции оборотного маятника. На рис.
88 схематически изображена одна из них. Маятник состоит из стального стержня, длина которого обычно несколько больше метра. На нем жестко закреплены опорные стальные призмы А и А' и стальная чечевица В, находящаяся между ними. Другая стальная чечевица 2) находится на одном из концов стержня (не между призмами), она может перемещаться по стержню и закрепляться в нужном положении. Перемещением этой чечевицы достигают совпадения периодов колебаний маятника, когда точками подвеса являются ребра опорных призм А и А'. Эти ребра закреплены Рис. 88 асимметрично относительно центра масс С, Поэтому при совпадении периодов колебаний расстояние между ними дает приведенную длину физического маятника Е Измерив период колебаний Т, можно вычислить я по формуле (41.3).
842. БИФИЛЯРНЫЙ И ТРИФИЛЯРНЫЙ ПОДВЕСЫ 1. Найдем период малых колебаний бицггтлрного подвеса. Так называется устройство, состоящее из двух нитей АВ и СО (рис. 89) одинаковой длины, на которых подвешегю некоторое тело ВО. Если тело повернуть вокруг вертикальной оси ОО', го оно начнет совершать крутильныс колебания вокруг этой оси. Бифилярный подвес есть система с одной степенью свободы. В качестве координаты, определяющей ее мгновенное положение, удобно взять угол поворота Р тела ВО вокруг оси ОО', отсчитывая этот угол от положения равновесия.
Кинетическая энергия системы равна Е „„= Цз 1Р, где 1 — момент инерции ее относительно оси ОО'. Потенциальная энергия равна Е„= гней, где а — высота поднятия тела ВО, отсчитываемая от его нижнего положения. Пусть! означает длину ОО' в положении равновесия, 2а — рас- БиФиляРный и ТРиФиляРный подпесы 225 8 42! стояние между точками подвеса С и А, 2Ь вЂ” расстояние ОВ. Предполагается, что система симметрична, так что точки О и О' являются серединами отрезков СА и ОВ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
