Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Введя еще потенциальную энергию /у = с'2 /схг, получим Е = //(х) —. (43. 1) До сих пор наши вычисления были точными. Используем теперь медленность изменения параметра х и его производной /с. Медленность означает, что и при изменяющемся /с движение по- прежнему будет носить характер колебаний.
Только «период» этих колебаний Т, а также положение крайних точек, достигаемых осциллятором, будут слегка меняться от колебания к колебанию. Иными словами, за каждое колебание параметр х должен изменяться очень мало. Это обычное представление о медленности. Но в нашей задаче его недостаточно. Надо на изменения х и его производной наложить дополнительное ограничение, потребовав, чтобы за каждый период колебания величина х//с оставалась почти постоянной. Точнее, это требование сводится к тому, чтобы на каждом периоде колебания отношение /с/х могло быть представлено в виде — — 11+ а), (43.2) где 1/с/х) — значение этого отношения в какой-либо точке рассматриваемого периода, например в его середине, а а — поправка, стремяшаяся к нулю при х — О, Имея это в виду, проинтегрируем выражение 143.1) в пределах от / до / + Т1/с) для произвольного момента в емени Е Пол чим стт ~ /У[х(Т)] с/Т+ р Р у с1ЛЕ = Е(/+ Т) — ЕЯ = (43.3) Здесь р — поправка, обращающаяся в нуль при /с — О.
(Переменная интегрирования обозначена через /', чтобы не смешивать ее с нижним пределом Е) Входящий сюда интеграл достаточно вычислить в нулевом приближении, т. е. считать при вычислении, что за время Т параметр /с не меняется. Возникающая вследствие этого ошибка в ся к этому случаю, если ввести обозначение /с = тд//. Каким образом производится изменение жесткости или величин, ей эквивалентных, — это не имеет значения, пока задача трактуется как чисто математическая. Полная энергия гармонического осциллятора равна ть' /сх' Е= + — ' 2 2 22б 1гл, щ ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ гет ЬЕ = — ~ 01х1т')],уГ', (43. 4) где интеграл 1но не множитель перед интегралом) вычисляется в предположении постоянства 7с. При вычислении интеграла момент времени т можно принять за начало отсчета времени, т.
е. положить г = О. Это, конечно, не изменит результата. При х = сопш координата х совершает гармонические колебания х = хо соз (оог + д), а потому 17 = — йхз созз (отГ+ д) = — Е~1+ сох (2гоГ+ д)), так как полная энергия равна Е= И2 йхз~. Используя полученное выражение и выполняя интегрирование, получим т т ~ и 71 = —,' Е ~ 11+ соз 12юГ + д)1 7Г = -, 'ЕТ. о о Произведение Тй с точностью до величин высшего порядка малости по к дает приращение О7г параметра х за период Т. Таким образом, вместо (43.4) можно написать (43.5) Приращение Л7г за период колебаний может быть сделано сколь угодно малым.
Поэтому если энергию Е рассматривать как функцию параметра х, то в пределе приближенное соотношение (43.5) перейдет в точное дифференциальное уравнение Лн о'А —,' — — = О. Е 2Е Интегрируя это уравнение, получим 1и — = сопзц тт ЕУ а потому — ' = сонэк л Л (43.6) Используя формулы (40.3) и (40.4), из этого соотношения получим еще два других: ЕТ = сопзц (43. 7) Š— = сопш. и (43.8) выражении для ТАЕ будет второго нли высшего порядка малости по х . По той же причине можно отбросить поправку р. Наконец, можно опустить индекс нуль в множителе перед интегралом (А Я)о. Иными словами, можно написать АДИАВАТИЧВСКИВ ИНВАРИАНТЫ 237 Эти соотношения означают, что величш4ы ЕТ и Е!ш для гармонического осциллятора явлшотся адиабатическими инвариаптами.
При этом период колебания Т и частота щ, входящие в эти соотношения, должны вьтисляться так, как если оы при колебаниях параметр й оставался посгпояннь7м, т. е. по формулам (40.3) и (40.4). Например, в случае медленного укорочения нити математического маятника, совершающего малые колебания, его период Т медленно уменьшается от колебания к колебанию.
Одновременно энергия колебаний возрастает таким образом, что произведение ЕТ остается постоянным, 3. Для правильного понимания доказанной теоремы необходимо точно отдавать себе отчет, что понимается под медленностью изменения параметра осциллятора й. Недостаточно, чтобы изменения параметра к на каждом периоде колебаний были бесконечно малы. Надо, чтобы эти изменения удовлетворяли условию (43.2). Представим себе, например, что вблизи нижнего положения нить математического маятника действием внешних снл немного укорачивается, а вблизи крайних положений удлиняется, принимая исходное значение. Работа внешних сил при укорочении нити вблизи нижнего положения будет больше работы, производимой маятником над внешними полями при удлинении нити вблизи каждого крайнего положения. Причина этого в том, что при колебаниях маятника натяжение нити меняется, достигая максимума в нижнем положении.
Поэтому за каждое колебание в систему дважды будет вкладываться энергия. И если число колебаний взять достаточно большим, то и прирост энергии можно сделать также большим, хотя длина маятника, а с ней и период Т останутся неизменными. Колебания с периодически меняющимися параметрами называются параметрическими. Примером могут служить качели.
К параметрическим колебаниям результаты (43.7) и (43.8) не применимы, сколь бы малыми ни были изменения параметра 74 в пределах каждого периода колебаний. Причина этого в том, что эти изменения не удовлетворяют условию (43.2). Грубо говоря, условие (43.2) сводится к требоваьшо, чтобы изиепения параметри й происходили медленно и лип~отопив. Так, в приведенном примере аднабатическая ннвариантность выражений (43.7) н (43.8) будет иметь место, если длина нити изменяется медленно н монотонно.
Если же на такие изменения наложить еще малые изменения колебательного характера, подобные тем, которые имеют место прн параметрическом возбуждении колебаний, то к таким случаям теорема об аднабатической инварнантностн выражений (43.7) н (43.8) не применима. 4. Полученные результаты можно обобщить на случай негармонических колебаний с одной степенью свободы, т. е. колебаний, совершающихся под действием не квазиупругнх снл. В этом случае колеблющаяся величина меняется во времени не синусоидально, а как-то иначе. Период колебаний Т определяется не 238 (гл, чг ГАРМОНИЧРСКИЕ КОЛЕБАНИЯ только параметрами системы, а и их амплитудой. Вместо формулы (43.7) получается КТ = сопз1, (43.9) где К вЂ” кинетическая энергия системы, усредненная по времени за период колебания (черта как раз и означает такое усреднение), т, е. г+г К(г) = —,', $ К(1') 71'.
(43.10) В случае гармонических колебаний, как нетрудно доказать, средние за период значения кинетической и потенциальной энергий одинаковы, а потому на каждую из них приходится половина полной энергии, т. е. К= (У = "г Е. Тогда формула (43.9) переходит в ранее полученную формулу (43.7). Подставим выражение (43.10) в формулу (43.9) и примем во внимание, что К = '/г т»2, р = тщ йу = и ~й, где Ж) — приращение координаты, определяющей положение математической точки. Тогда получится тр т(() = адиабатический инвариант, (43.11) причем интегрирование ведется по полному периоду движения материальной точки в предположении, что параметры, характеризующие систему, закреплены.
Общее доказательство соотношения (43.11) основано на уравнениях механики в форме Гамильтона. Мы его приводить не будем. Ограничимся только двумя примерами. 5. Первый пример. В цилиндре с гладкими стенками движется вверх и вниз идеально упругий шарик, последовательно отражающийся от основания АВ и поршня С2) по законам абсолютно упругого удара (рис. 106). Допустим сначала, что поля силы тяжести и прочих силовых полей нет. Заставим поршень СЕ) очень медленно перемещаться со скоростью и. Исследуем, как это ска- С жется на движении шарика.
Перейдем в движущуюся систему отсчета, в коюрой поршень покоится. В этой ч системе скорость шарика будет о — и. После отражения шарика она сохранится по модулю, но изменит 1 знак, т. е. будет равна — э+ и. В неподвижной системе отсчета та же скорость будет равна ( — ~ + а) + и = — и+ 2и. Приращение кинетической энергии шарика в результате однократного отражения от движущегося поршня будет поэтому равно тхК = — [( — г+ 2и) — »2] = — 2гп(пг — и ).
2 Рис. 106 АК» — = — 4 —. К ч (43.12) Разделив это соотношение на К = 92 т»г~ и пренебрегая квадратом малой скорости и, получим 239 9 43! АДИАБАТИЧБСКИБ ИНВАРИАНТЫ Посмотрим теперь, как меняется период колебаний шарика Т в результате движения поршня. Под периодом Т мы гюнимасм время движения шарика туда и обратно, вычисленное в предположении, что во время такою движения поршень закреплен. Если ! — расстояние между поршнем и дном цилиндра во время этого движения, то Т = 2До.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
