Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Если св, ) свз, то св = св, — свз. Мгновенная ось проходит вне отрезка АВ со стороны большей угловой ско- / / Рис. 120 рости (рис. 120). Она делит отрезок АВ внешним образом на части и, и 62, обратно пропорциональные угловым скоростям ю, и свз. 5. Рассмотрим, наконец, сложение поступательного и вращательного движений. Если поступательное движение совершается параллельно оси вращения, то при сложении, очевидно, получится винтовое движение. Достаточно поэтому ограничиться случаем, когда поступательное движение перпендикулярно к оси вращения. В этом случае все точки тела будут двигаться, параллельно одной и той же плоскости, перпендикулярной к той же оси. Такое движение называется плоским. Плоскость, параллельно которой происходит движение, можно принять за плоскость рисунка. Поступательное движение можно рассматривать как вращение вокруг бесконечно удаленной оси.
Поэтому разбираемый случай можно свести к сложению двух вращений вокруг параллельных осей, удаляя одну из осей в бесконечность. Ясно, что в результате возникает вращение вокруг какой-то мгновенной оси. Задача сводится к определению положения мгновенной оси и угловой скорости мгновенного вращения. Пусть тело вращается тгловля скогость кхк вкктог. сложвниг. вгвщгний 253 3 451 вокруг оси О с угловой скоростью ш, а сама ось О вращается вокруг параллельной неподвижной оси О, с угловой скоростью ш, (рис. 121). При сложении возникнет вращение вокруг мгновенной оси А, причем // 'О/ //, ы' Вследствие вращения вокруг оси О, ось О полу- 1 чает скорость ц = ш,16+ Ь/), перпендикулярную к линии О,О. Будем удалять О, в бесконечность, одновременно уменьшая ш, так, чтобы скорость г оставалась неизменной, В пределе вращение оси О вокруг оси О, перейдет в поступательное движение со скоростью в. Положение мгновенной оси вращения А определится ее расстоянием до оси О.
Это расстояние равно // / (л/ /// / -~- // ) ~~/ — // ы / г — // ы / Отсюда 6 1+ — ' Так как ш, — О, то в пределе (4б.8) При этом угловая скорость мгновенного вращения в пределе станет равной ш. 6. Если аксиальный вектор го продифференцировать по скалярному аргументу, например по времени /, то в результате Н~> получится новый аксиальный вектор т1= —, называемый угло- /// ' выл ускорение/и (см.
З 7). Его проекции на координатные оси //О~„ Нь~,, по определению даются выражениями т1 = ", т1, = — ', 4/' т ///' Иы ты = — '. Аналогично в результате интегрирования вз по / полу- ~й чается другой аксиальный вектор /р = ~ гв /// с составляющими ~р = ~ го„. ////, р = ~ со, ///, ~р. = ~ ш„г//, Векторный 1точнее, псевдовекторный) характер этих величин, как всегда, означает только то, что при повороте (но не инверсии) координатных систем их составляющие преобразуются так же, как разности координат концов направленного геометрического отрезка.
Если направление оси вращения не меняется с течением времени, то вектор р направлен параллельно св, т. е. по оси вращения. Его 254 1гл. еи МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА длина численно равна углу поворота тела за рассматриваемый промежуток времени. Поэтому ~р естественно назвать угловым поворотом тела. Угловой поворот пропорционален площади сектора ОАВ, описываемого каким-либо отрезком ОА, перпендикулярным к оси вращения, при его переходе из начального положения ОА в конечное положение ОВ (рис, 122).
Направление <р совпадает с направлением перпендикутяра к плоскости сектора ОАВ, а его составляющие р„р,, р. пропорциональны площадям проекций А этого сектора на координатные плоскости. Рис. 122 Это лишний раз подтверждает векторный характер величины ~р (см. з 7). 7. На примере угловых поворотов можно наглядно показать необходимость строгого разграничения между латемитическим сложением векторов (аксиоматически определяемым с помощью правила параллелограмма) и физическим сложением их, вводимым с помощью какой-либо физической операции. Введем физическое сложение угловых перемещений в том же смысле, в каком понимается физическое сложение линейных перемещений (см. з 7, п.
6). Пусть материальная точка последовательно совершает вращения вокруг различных осей, проходящих через неподвижную точку О (рис. 123). При таких вращениях она движется вдоль дуг больших кругов по поверхности сферы с центром О. Пусть точка перешла из начального положения А в конечное положение В вдоль дуги большого круга АВ. Радиус- вектор точки при атом повернулся на угол Затем точка совершила поворот на угол рз, перейдя по дуге большого круга 'Ы ,,е . с 'Ег „'т' ВС из положения В в положение С. Ка- Ф о ким одним поворотом можно заменить эти два поворота, чтобы перевести точку из того же начального положения А в то же конечное положение С? Ясно, что таким поворотом будет вращение точки по дуге большого круга, проходящей через точки 1иис.
12З А и С. Обозначим соответствующий угол поворота р . В соответствии со сказанным выше рассматриваемые три поворота можно изобразить векторами ~р1, ~рз, ~рз, перпендикулярными соответственно к плоскостям секторов ОАВ, ОВС и ОАС. Поворот ~рз можно назвать суммой поворотов у1 и уз в рассматриваемом физическом смысле. Ясно, что такое сложение не подчиняется правилу параллелограмма. Это 1 4б! УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ КАК ВЕКТОР. СложЕНИЕ ВРА1ЦРНИй 255 Д видно уже из того, что в общем случае вектор !рз не лежит в плоскости векторов !р! и рг.
Особенно очевидным станет это утверждение, если рассмотреть частный случай. За начальное положение материальной точки возьмем полюс А (рис. 124). Затем по дуге меридиана АВ совершим первый поворот на угол р, = 90', переведя точку в положение В на экваторе. Второй поворот на угол рг = 90' совершим по дуге экватора ВС. Очевидно, третий поворот рз надо произвести по дуге меридиана АС также на 90. В рассматриваемом случае все три вектора 'Рг <р!, ~рг, ~рз, взаимно перпендикулярны и имеют одну и ту же длину.
Ни один из них не может быть геометрической сум- Фг мой двух других. Если р„, Р, р, означают проекции вектора ~р на координатные оси. то 'р = 'Р,1+ р,1+ 'р 1с. Здесь сложение понимается в математическом смысле (по правилу параллелограмма). Однако, как Рис. г24 следует из изложенного, слагаемые рг1, РР1, у к нельзя рассматривать как последовательно выполняемые повороты вокруг координатных осей, приводящие к единому повороту, представляемому вектором ~р.
8. Допустим, однако, что углы Р„рг, рз неограниченно стремятся к нулю. Тогда сферический треугольник АВС (см. рис. 123) становится бесконечно малым и может считаться плоским !'рис.!25). Дуги больших кругов АВ, ВС и АС могут рассматриваться как прямолинейные отрезки. Векторы угловых перемещений Ьр„Ьрг, Ьрз будут лежать в плоскости треугольника АВС. (Мы пишем Ьр вместо у, чтобы подчеркнуть, что речь идет о бесконечно малых углах.) Они, очевидно, перпен- бт, ьт, дикулярны к сторонам бт, АВ, ВС и АС соответст- б'Рг венно, а нх длины пропорциональны этим сторонам (рнс.
125). Отсюда следует, что бесконечно Рис. ! 25 малый вектор Ьрз является геометрической суммой векторов Ьр, н Ьрг. Это значит, что бескоиечио малые угловые перемещеиил складывиются геометрически 1в указанном выше физическом смысле), т. е. по приви- 256 (гл. уп МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА лу параллелогралгжи Иными словами, такое грили«еское сложение угловых перелгещений в пределе бесконечно малых углов поворота переходит в мате пати«еское.
ЗАДАЧИ 1. Показать, что элементарная работа, совершаемая над системой материальных точек при ее повороте на бесконечно малый угол Ьзр, выражается скалярным произведением ЬЛ= (МЬР), где М вЂ” геометрическая сумма моментов сил, действуюпгих на материальные точки системы, относительно вершины угла поворота. Решение. ЬА=~~ (Р,Ьг,). Здесь суммирование ведется по всем точкам системы. При повороте Ьг, = [Ьзр г,], причем угол Ьр один и тот же для всой системы. Подставив это выра>копие в предыдущую формулу и заметив, что Р,[Ьрг,] = Ь>р[гр,] = (М, Ьзр), получим требуемый результат. 2. Используя изотропию пространства, доказать, что геометрическая сумма моментов внутренних сил, действующих в системе материальных точек, равна нулю (см.
я 38). Решен не. Допустим, что система замкнута. Пусть Мн Мз, ... — моменты внутренних сил, действующие на матсриальныс точки системы, относительно произвольного неподвижного начала О. Повернем всю систему вокруг точки О на произвольный бесконечно малый угол Ь>Р и притом так, чтобы скорости всех материальных точек повернулись па тот же угол без изменения своего модуля. Ввиду изотропии пространства ца такой поворот не требуется затраты работы. Но эта раба~а представляется скалярным произведением (М, + Мз + ...) Ьр. Значит, это скалярное произведение равно нулю, каков бы ни был поворот Ьзр. Отсюда слсдует, что для замкнутой системы М>+ Мз+ ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
