Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Высота й найдется из условия нсрастяжимости нитей АВ и СО. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке О, ось Х направим С а О а А вдоль прямой ОА, ось 2 — вниз вдоль прямой ОО', ось У вЂ” перпендикулярно к ним. Координаты точки А все время остаются постоянными и равны х а у4 О г О Координаты точки В в положении равновесия равны х!Ь' = Ь, у!В! = О, г!а' = С в -в в При повороте системы на угол Ф координаты той же точки становятся равными Н Рис. 89 хв — — Ь сов чт, ув = Ь з(п р, гв — — ! — й. Условие постоянства длины нити АВ можно записать в виде (хв — хх) + (Ув — УА) + (гв гл) (хв хв) + (Ув — УА) + (гв гА) * или (Ь сов р — а)г+ Ьгз!пг р+ (! — й)г = (Ь вЂ” а)г+)г После простых преобразований отсюда находим й= = з)п ШЬ Ш«Ь г При малых колебаниях можно положить з)п (р)2) = р!2.
Кроме того, й « 2 й и величиной й в знаменателе можно пренебречь. В этом приближении «ь г - г«к«ь ьг г! ' " ю Т=2л! 1 ~агав (42.!) Период колебаний пропорционален корню квадратному из момента инерции и обратно пропорционален корню квадратному из массы системы. Возьмем в качестве тела ВО металлический стержень. Выведем его из положения равгювесия и заставим совершать крутильные колебания. Они будут сравнительно медленными. Прикрепим затем в точке О' тяжелый груз и снова заставим систему колебаться. Колебания станут значительно более быстрыми.
Дело в том, что груз прикреплен на оси вращения, а потому он, значительно увеличивая массу системы, практически не влияет на ее момент инерции. Уменьшение периода колебаний можно объяснить также следующим образом. В положение равновесия система возвращается под действием горизонтальных составляющих сил натяжения нитей.
Подвешивая груз, мы сильно увели- Таким образом, потенциальная и кинетическая энергии приводятся к виду (40.9), причем а = гпяаь)), (! = В Следовательно, колебания системы будут гармоническими с периодом 22б !гл.ш ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ чиваем натяжение нитей, а момент инерции увеличивается незначительно.
Это и приводит к тому, что колебания становятся более быстрыми. 2. Формулой (42.! > определяется также период колебаний шрифилярного подаеса (трифиляра). Он схематически изображен на рис. 90. Точки подвеса А, С и М расположены на окружности радиусом и, точки В, О, >9 — на окружности радиусом Ь. Нижний диск С может совершать крутильные колебания вокруг А О вертикальной оси ОО'.
Вывод формулы (42.1) м применим без всяких изменений и к трифилярно- му подвесу. Это видно уже из того, что при выводе ! было использовано условие постоянства длины только одной нити АВ. Постоянство длины другой ! нинл СО при этом условии выполняется автоматически. Трифилярный подвое дает удобный метод измерения моментов инерции тел. Сначала измеряется период колебаний То ненагруженного трифи>у лара. По этому периоду вычисляется его момент инерции маячь ~а т > О.
44 ! Рис. 90 Затем на нижний диск трифиляра кладется тело массой ш, момент инерции Г которого требуется измерить. Пусть Т вЂ” период крутильных колебаний нагруженного трифиляра. Тогда момент инерции системы относительно оси ОО' будет (м + ~ и 4) ха Ь 1+ Г =,' т~. 4в~! Вычитая отсюда предыдущее выражение, находим искомый момент инерции й 3. укажем другой метод измерения моментов инерции, который во многих случаях является более предпочтительным. Подвесим тело на стальной проволоке, чтобы оно могло совершать крутнльные колебания вокруг вертикальной оси, совпадающей с осью проволоки (рис. 9!>.
При повороте тела на угол ф проволока закручивается, и возникает момент сил М, стремящийся вернуть тело в положение равновесия. Опыт показывает, что момент М в довольно широких пределах пропорционален углу р: М = — УТ, где >" — постоянная для данной проволоки величина, называемая ее модул!елг кручения. Поэтому Это уравнение математически тождественно уравнению (40.1). Значит, тело будет совершать гармонические крутильные колебания с периодом Т = 2п~-. (42.2> Рис. 91 Сняв первое тело, подвесил1 на той же проволоке другое тело с моментом инерции ГТ Тогда период колебаний будет Т' = 2п )(' — '..
у БиФиляРный и тРиФиляРный ппдппсы 227 9 42) Исключая неизвестный модуль кручения Д найдем —:=0 Если один из моментов инерции. например Г, известен, то по этой формуле может быть вычислен момент инерции Г' другого тела. Момент инерции Г можно вычислить теоретически по геометрическим размерам и массе тела. Для этого надо взять тело правильной геометрической формы, например цилиндр или шар. Формула (42.2) может быть использована также для экспериментального определения модуля кручения проволоки.
ЗАДАЧИ 1. Материальная точка движется в поле тяжести по хорде круга без начальной скорости (рис. 92). Показать, что время ее движения из точки А в нижнее положение В не зависит от положения точки А на окружности. (Этот факт был использован Галилеем для установления законов малых колебаний математического маятника. Для нахождения периода колебаний маятника Галилей заменил малую дугу окружности АРВ, по которой движется материальных гочка, хордой АВ). Вычислить период колебаний маятника в этом приближении и убедиться, что это приближение приводит к правильной зависимости периода колебаний от длины маятника ( и ускорения свободного падения д.
Сравнить результат с правильной формулой (41.3). П Ответ. ТР 8)~ —. .)( В к 2. Через неподвижный блок с моментом инерции Г (рис. 93) и радиусом г перекинута нить, к Рис. 92 одному концу которой подвешен груз массой ш. Другой конец нити привязан к пружине с закрепленным нижним концом, Вычислить период колебаний груза, если жесткость пружины равна Гс, а нить не может скользить по поверхности блока. Ответ. Т=2л я .Пгчт ь 3. Физический маятник представляет собой однородный стержень длиной (, подвешенный за один из его концов. Определить период колебаний такого маятника. о Ответ.
Т = 2п х —. 2( (зя ' 4. Тело вращения радиусом и с моментом инерции Г (относительно геометрической оси) и массой ш катается без скольжения по внутренней поверхности цилиндра: ~ т радиуса Г(, совершая малые колебания около положения равновесия (рис. 94). Найти период этих колебаний.
Р е ш е н и е. Рассматривая движение тела как враще- .Д ние вокруг мгновенной оси (см. 8 45) с угловой скоростью со, напишем для скорости его центра в = тза. Ту же скорость можно представить в виде и = (й — а)р. Рис. 93 (гл. ш ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Приравнивая оба выражения, находим Я вЂ” а . а2= ф. а Кинетическая энергия по теореме Кенига 1 т„,г + 1 т(Я вЂ” аг) туг = — (л2 + — ) (Я вЂ” а) 22,'гг Потенциальная же энергия () = тд(Я вЂ” а) (1 — соз Р) — 2225(Я вЂ” и) Р . Применяя общий метод, изложенный в 9 40, находим О =2 (( (2,',) В частности, для сплошного цилиндра и 42 сплошного шара )5 Я:а (У Я вЂ” а Я Т = гп)(-, Т = гп)(- 12 Х ' )(5 х 5. На горизонтальной плоскости ле- Яа,т А жит цилиндр с моментом инерции 1 (относительно продольной геометрической оси), массой т и радиусом у.
К оси цилиндра прикреплены две одинаРнс. 94 ковые горизонтально расположенные спиральные пружины, другие концы которых закреплены в стене (рис. 95, вид сверху). Жесткость каждой пружины равна к, пружины могут работать как на растяжение, так и на сжатие. Найти период чалых колебаний цилиндра, которые возникнут, если вывесги ею из положения равновесия и дать возможность кататься без скольжений по горизонтальной плоскости. 222 ! Ч- лгг Ответ.
Т = — Л . Для сплошною У 2) ге цилиндра Т = а чЗлг)к. б. Однородная квадратная плита подвешена за свои углы к потолку зала на четырех параллельных веревках, длина каждой из которых Рис. 95 равна 1. Определить период малых крутильных колебаний плиты, которые возникнут, если повернуть ее на малый уюл вокруг вертикальной оси. Ответ.
Т = 2л в —. .) г 1зх ' В более общем случае, когда плита нс однородна, но пснтр масс ее совпадает с геометрическим центром плиты, т=г )~ — „ Ггу( )(М 2' БиФиляРный и тРиФиляРный ппдпвсы 229 1 42! где! — момент инерции плиты относительно вертикальной оси, проходящей через ее центр, а а — длина одной из сторон плиты. 7. Три однородных стержня длиной ! каждый соединены короткими нитями, как указано на рис. 96.
Нижний стержень поворачивают на малый угол вокруг вертикальной оси, проходящей через центр системы, и отпускают. Найти период возникших при ! этом малых колебаний, если массы стержней одинаковы. Ответ, Т = 2л !в Рнс. 9б !гх ' 8. Шарик массой т подвешен на двух последовательно соединенных пружинках с жесткостями (г! и кт (рис. 97). Определить период его вертикальных колебаний. Ответ.
Т=2л ш — +— (! 4,) ' Указание. Показать, что при растяжениях и сжатиях пружины ведут себя как одна пружина с жесткостью, определяемой соотношением 1 ! ! — = — + —. к к, 9. Найти период крутильных колебаний диска, плотно насаженного на составной стержень, состоящий из двух различных последовательно соединенных стержней (рис. 98). Верхний конец А стержня неподвижно закреплен.
1г! Рис. 98 Рис. 99 Рис. 97 Если бы диск был насажен только на первый стержень, то период колсбан!ий был бы равен Тг Если бы он был насажен только на второй стержень, то период колебаний оказался бы равным Тт. О т в е т. Т = 4Т2 + Т' 1О. Найти период малых колебаний физического маятника массой т, к центру масс С которого прикреплена горизонтальная спиральная пружина с жесткостью (г. Друпэй конец пружины закреплен в неподвижной стенке (рис. 99). Момент инерции маятника относительно точки подвеса равен й расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника равно щ В положении равновесия пружина не деформирована.
220 (гл.щ ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Рис. 101 Г=/ Ответ. Т = 2л т/ / щяа Еа' 11. Колебательная система состоит из однородного стержня длиной / и массой лк который может вращаться вокруг горизонтальной оси О, проходящей через его конец и перпендикулярной к продольной оси стержня (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
