Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 81
Текст из файла (страница 81)
С Учетом (58.21 йа/а = 2о8кки/ОМ. Но ОМ = Лг~, где я — ускорение свободного падения в перигее, а г — расстояние до него от центра Земли. С учетом рый момент времени, который условно можно принять за начальный. Иллюстрируем это следующим примером. Пусть 5— Солнце, а А — начальное положение планеты (рис. 181). Расстояние А5 обозначим через г„. Будем сообщать планете в точке А скорость п в направлении, перпендикулярном к АБ, Посмотрим, как будет меняться вид траектории при изменении величины оо. Если полная энергия планеты отрицательна, т.
е. го меньше параболической скорости пго то траекторией планеты будет эллипс. При по=О эллипс вырождается в прямую, проходящую через Солнце 5. Если по=ох, то планета будет двигаться по кругу. В этом случае точки А и С равноудалены от Солнца. Расстояние между ними (большая ось) равно 2го. При уменьшении энергии большая ось эллипса уменьшается, При по < ок она становится меньше 2г„.
В этом случае точка А удалена от Солнца 5 дальше (афелий), чем точка В (перигелий). При о > ок наоборот, большая ось эллипса больше 2го, т. е. перигелием будет точка А, а афелием — точка /Э (или Е). При н = н„= ц„т/2 траекторией будет парабола. При о>п„она переходит в гиперболу. Все эти результаты представлены в таб,т. 2: 342 1гл. чш тяготвник нз = 8! получаем да Лч — = 2и! —. а ч 3 Приближенно г = гх, г = а, так что дч — дч 1 и г„4ОО Полагая а б400 км, н 8 км/с, найдем о (2а) = ЗЗ км. Большая ось эллиптической орбиты удлинится примерно на 33 км.
Это произойдет за счет удаления апогея, так как перигей остается на месте. 2. Космический корабль движется вокруг Земли по близкой эллиптической орбите. Перигей находится на расстоянии 200 км от поверхности Земли, апогей — на расстоянии 233 км. Как надо изменить касательную скорость в перигее, чтобы корабль начал двигаться по круговой орбите? На сколько будет удалена круговая орбита от поверхности Земли? Ответ.
200 км; (1! = (н„!2) (!за1а) = — !О и!с. 3. В классических опьпах Резерфорда исследовалось рассеянно а-частнц на атомных ядрах различных химических элементов. Считая ядро бесконечно тяжела!м и полагая, что рассеяние вызывается кулоповскими силами опалкивапия, показать, что угол отклонения скорости а-частицы от первоначального направления полета О связан с прицельным расстоянием Ь соотношением с(8 — = *,", (58.11) 2 2хг где и — масса а-частицы, и — сс скорость вдали от ядра, 2е — ее заряд, Уев заряд ядра (е — элементарный заряд, х — порядковый номер элемента).
П р и и е ч а н и е. 1?ридельнььн расее)ох вием называется длина перпендикуляра, опущенного из рассеивающего центра (ядра) на исходное направление касательной к траектории, когда рассеиваемая частица находится в бесконечности. Мы воспользуемся формулой (58.11) в атомной физике при рассмотрении опытов Резерфорда. 859. УЧЕТ ДВИЖЕНИЯ СОЛНЦА 1. При рассмотрении планетных движений мы не учитывали движение Солнца, считая его массу бесконечно большой по сравнению с массой планеты. Для ускорения планеты мы писали (59. 1) т г = та„-, = Р, Мт где Р = — !э г — ньютонова сила гравитационного притяжения, гз действующая на планету со стороны Солнца. Символом а„ю обозначено ускорение планеты относительно какой-то инерциальной системы отсчета, например системы Коперника.
Учтем теперь движение Солнца. т1тобы получить уравнение движения планеть! относительно Солнца, надо массу планеты т заменить на приведенную 343 4зи ччгт движения солнпл Мт массу !4 = (см. 3 20). В результате уравнение относительного М -~- т движения примет вид !4г вя !4а„„= Р. Подставив выражение для !4, получим та„„= 1 + — Р. (59.2) Формально дело происходит так, как если бы Солнце оставалось неподвижно, но гравитационная постоянная увеличилась в (! + т/М) раз. Поэтому для относительного движения первый и второй законы Кеплера остаются справедливыми.
Зато третий закон должен быть уточнен, Для этого достаточно в формуле (55.5) постоянную б заменить на б(1 + т/М). Это приводит к соотношению (59. 3) 7 (М -~-т) 4ьд 3 Оно показывает, что отношение, являегпся универсальной 3'смч- гп! погтояюгой, т. е. не зависит ни от масс взаимодействуюи4их гпел, ни от расстояния между ними. Таким образом, третий закон Кеплера для относительного движения не вполне точен, То обстоятельство, что для планет Солнечной системы он выполняется с большой точностью, связано с тем, что масса планеты очень мала по сравнению с массой Солнца. Отметим еще соотношение (59.4) ам, М' которое непосредственно следует из сравнения формул (59.1) и (59.2).
2. На формулах (55.5) и (59.3) основано определение масс планет, имеющих спутников, а также суммы масс двойных звезд. Если масса спутника пренебрежимо мала по сравнению с массой планеты, то для движения спутника справедлив третий закон Кеплера в форме (55.5). Постоянную Кеплера -Я можно вычислить, измерив размеры орбиты и время обращения спутника. Зная гравитационную постоянную 6, по формуле (55.5) можно вычислить массу планеты М в абсолютных единицах. В астрономии, однако, предпочитают за единицу массы принимать массу Земли. Для определения масс планет в таких единицах не требуется знать числовое значение гравитационной постоянной, известное не очень точно.
В качестве примера найдем отношение массы Солнца Мс к массе Земли т.. Массу Земли будем считать пренебрежимо малой по сравнению с массой Солнца. Точно так же пренебрежем массой Луны по сравнению с массой Земли. Для земной орбиты имеем аз = 1,496 105 км, Тз = 365,26 суток, для лунной ал — — 3,844 105 км, 344 1гл. уш тяготвник Тл — — 27,32 суток. По формуле 155.5) получаем з г — — — = 3,298.
105. В действительности, как видно из формулы 159.3), таким путем наМс -1- тз ходится отношение . Метод дает отношение масс централь- "'3'-юл ных тел, вокруг которых вращаются спутники, только тогда, когда масса каждого спутника пренебрежимо мала по сравнению с массой соответствующего центрального тела.
Это условие идеально соблюдается для искусственных спутников. Например, можно найти отношение масс Луны и Земли, если измерить параметры орбит искусственных спутников, обращающихся вокруг них. Труднее определить массу планеты, если у нее нет спутников. В этом случае применяются два способа.
Во-первых, массу планеты можно вычислить по вызываемому ею возмущению в движении других небесных тел. Примером может служить Меркурий, масса которого была определена по возмущениям орбиты кометы Энке. Во-вторых, массу планеты можно оценить по ее блеску, если сделать правдободобные предположения относительно ее плотности и альбедо, т. е, величины, характеризующей способность поверхности тела отражать 1рассеивать) падающее на нее излучение. Таким путем впервые была оценена масса Плутона. Труднее определять массы звезд.
В случае двойной звезды это делается аналогично тому, как и для планеты со спутником, — по периоду обращения компонентов звезды вокруг их центра масс и по расстоянию между ними, Но этот метод определяет не массу каждого компонента звезды, а только сумму этих масс.
ЗАДАЧИ 1. Найти расстояние й между компонентами двойной звезды, если их общая масса М, + Мт равна удвоенной массе Солнца Мв, и звезды обращаются по круговым орбитам вокруг их центра масс с периодом Т = 2Т„, где Тв — продолжительг|ость земного шда.
Расстояние от Земли до Солнца Я = 1,5 10» км. 1г1 Ответ. Я= ~г) ьг — — 2йв — — 3 10" км. о) о 2. Минимальное расстояние между компонентами двойной звезды, обращающимися один относительно другого, равно «и Относительная скорость их в этом положении равна ог Сумма масс обоих компонентов равна М. Найти расстояние между компонентами г и их относительную скорость от при максимальном удалении относительно друг от друга. При каком минимальном значении относительной скорости 11 двойная звезда распадаетсяз ( 2 оп Ответ. гт = ( ', — 1 гй ат = — ег ~2 СМ вЂ” г ге ! Звезда распадется, если гй и т2 ОМ!г,.
345 Е бо) ВСЕМИРНОЕ ТЯГОТЕНИЕ И ЗЕМНАЯ ТЯЖЕСТЬ 860. ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНА ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ К ПРОБЛЕМЕ ЗЕМНОЙ ТЯЖЕСТИ По мысли Ньютона, вес тел на Земле является проявлением силы гравитационного притяжения между рассматриваемым телом и Землейв). Для проверки этой идеи Ньютон сравнил ускорение свободного падения тел у поверхности Земли с ускорением Луны на орбите, по которой она движется относительно Земли.
Допустим, что вещество внутри земного шара распределено сферически симметрично, т. е. его плотность зависит только от расстояния до центра Земли. В этом случае, как было показано в з 55, Земля создает во внешнем пространстве такое же гравитационное поле, что и материальная точка той же массы, помещенная в центре Земли. Если верна гипотеза Ньютона, то ускорение свободного падения я,а, на расстоянии г от центра Земли должно определяться формулой (60.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
