Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Так как величина )<2 те~ не Г может быть отрицательной, то из ° Уз<г) уравнения (57.3) следует, что область, в которой может находить- <Л в < ся планета, определяется услови- ем К(г) < Е. Проведем горизон4 в — — тальную прямую К = Е = сонэк Участки кривои К(г), лежащие У<г) выше этой прямой, соответствуют ° ' точкам пространства, которые не могут быть достигнуты планетой Рис. 178 с энергией Е. Если Е < О, то ука- занная прямая пересечет кривую У = У(г) в двух точках А и В. Пусть А' и В' — их проекции на горизонтальную ось. Планета может совершать движение только в области между А' и В', она буде~ <локализована в потенциальной яме» У = У(г).
В этом случае движение планеты финитно, и траектория будет эллиптической. Если Е > О, то прямая пересечет кривую У(г) только в одной точке С, проекцией которой на горизонтальную ось является точка С'. Если планета двигалась справа налево, то в точке С' она переменит направление движения на противоположное и начнет двигаться вправо, монотонно удаляясь в бесконечность, Ее движение инфинитно, а траектория — гиперболическая.
Наконец, при Е= О движение также инфинитно. Этому промежуточному случаю между эллиптическим и гиперболическим движениями соответствует движение по параболе. Таким образом, при Е > О движение гиперболическое, при Е < Π— эллиптическое, при Е = Π— параболическое. В случае сил отталкивания энергия Е всегда положительна, а потому движение в этоэя случае всегда гиперболическое (в частности, пр)<молинейно), Так как при г- ~ функция У(г) обращается в нуль, то г те"' (57.4) 337 1 581 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ОРБИТЫ Отсюда следует, что при гипербалическои движении материальная точка приходит в бескопечнасть с конечной скоростью о„, при параболическом движении — с нулевой скоростью.
Начальная скорость ов, которую надо сообщить материальной точке, чтобы она стала двигаться по параболе, называется параболической скоростью. Параболическую скорость можно определить из уравнения (57.1), подставив в него Е = О. Если го — начальное значение радиуса г, то 2 го откуда (57.5) и„= '~20 —. го Параболическая скорость связана простым соотношением с «круговой» скоростью ск.
Так называется скорость, которой дол>ггпа обладать планета, чтобы под действием гравитационной силы Солнца двигаться вокруг него по кругу радиуса го. Она найдется, если центростремительное ускорение о~/го приравнять гравитационной силе М С вЂ”, действующей на единицу массы. Это дает гт о (57.6) Таким образом, нв = ц„ч'2.
(57. 7) ЗАДАЧИ 1. Допустим, что в результате взрыва тело, двигавшееся но круговой орбите вокруг Солнца, распалось на два осколка одинаковой массы. Один осколок непосредственно после взрыва остановился, друшй продолжал движение. По какой траектории будет двигаться второй осколок: эллиптической, гиперболической или параболической? О т в е т. По гиперболической. 2. В условиях предыдущей задачи оба осколка разлетаются в перпендикулярных направлениях с одинаковыми скоростями. По каким орбитам они будут двигаться? О тает.
Оба осколка будут двигаться но параболам. й 58. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ОРБИТЫ 1. Длины большой и малой осей эллиптической орбиты планеты можно рассчитать с помощью законов сохранения энергии и момента импульса. В перигелии Р и в афелии А (рис, 179) радиальная ззз 1гл.тш тяготвник скорость планеты равна нулю. Поэтому, полагая в уравнении 157.3) и„ = О, получим для этих точек г2+ 6 мп' г — — =О 158.1) Е 2тн мт 2и = г1 + г2 — — — Сг = — б —, Е е 158.2) где е = Е/т — полная энергия, приходящаяся на единицу массы планеты.
Так как для движения по эллипсу е < О, то выражение (58.2) существенно положительно, как это и должно быть. Круговые траектории являются вырожденными случаями эллиптических. Условие движения по круго- и а вой ороите найдется из уравнения 158.2), если в нем положить г, = г2 = г.
Тогда получится 2Е = — СМт/г или 2Е = 1/. Записав это в виде Е = 1/ — Е и воспользовавшись соотношением Е = = К+ бг, получим .Е = — К. (58.3) Таким образом, при кругоео.н деижеРнс. 179 нии сумма полной и кинетической энергий равна нулю. Нетрудно показать, что это условие снова приводит к формуле (57.6). Для эллиптического движения формула (58.3) также справедлива, но под К следует понимать среднее по врели.ни значение кинетической энергии планеты. Действительно, эллиптическое движение финитно, и к нему можно применить теорему вириала 19 25, п. б).
Применительно к движению планеты эта теорема дает — 1 — 1 — 1 К = — — гр = — гр = — 6Мп1 ~ — ) = — — 1/. 2 2 2 )г) 2 Вычитая из обеих частей Чз К и учитывая, что Е* = К+ )/, получим К = — Е. Это и доказывае1 наше утверждение. 2. Найдем теперь длину малой полуоси эллипса Ь. Для этого помимо энергии надо знать еще момент импульса планеты или ее секториальную скорость о = 5. Большую ось эллипса можно считать известной, поскольку она однозначно определяется энергией планеты, Пусть  — одна из точек, в которых малая ось пересекается с При Е < О это квадратное уравнение имеет два вещественных положительных корня г, и гз.
Один из корней соответствует перигелию тз, ДРУГОЙ вЂ” афЕЛИЮ А. СУММа КОРНЕЙ Г, + Г2 ДаЕт ДЛИНУ бОЛЬШОй оси эллипса. Пользуясь для этой длины стандартным обозначением 2а, получим ззр Ь 58) ВЫЧИСЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ОРБИТЫ эллипсом (рис. 179). Так как сумма расстояний любой точки эллипса от его фокусов Г1 и Гз постоянна и равна 2и, то Р,В = а.
Секториальная скорость в точке Ь' равна о = — пЬ, (58.4) 2 так как Ь есть длина перпендикуляра Р1Н, опущенного из фокуса Г1 на направление скорости в этой точке. Скорость ц в точке В определится из уравнения энергии. Полагаем в нем г = а и находим ет М вЂ” — С вЂ” =8, 2 а Подставив сюда выражение для 8 из 158.2), определим и. После этого найдем Ь=2о )Г, 158.5) 3.
Распространим теперь полученные результаты на случай гиперболического движения. Для этого воспользуемся искусственным приемом, указанным в п. 4 () 56. По правой ветви гиперболы (см. Рис. 177) движется комета, по левой — соответствующая ей вспомогательная материальная точка. Эти движения описываются одним и тем же уравнением (57.3). В вершинах гиперболы Р и А радиальная скорость 17 равна нулю, и мы снова приходим к квадратному уравнению (58.1). Однако теперь энергия Е положительна, так что знаки корней этого уравнения противоположны.
Положительный корень г, соответствует вершине Р, отрицательный гт — вершине А. Сумма обоих корней г, + гз отрицательна. По абсолютной величина эта сумма равна расстоянию между вершинами Р и А. Используя для этого расстояп1тя стандартное обозначение АР = 2а, получим 2и = — (г1 + 12) = С вЂ” = С вЂ”.
(58.6) Эта формула в точности совпала бы с формулой (58.2), если бы условиться считать расстояние между вершинами гиперболы величиной отрицательной. 4. Найдем теперь аналог формулы (58.4) для гиперболического движения. Расстояние между фокусами Р! и Рт принято обозначать через 2с, а под Ь понимать квадратный корень МВ Ь = тст — а~. Проведем через фокус Р прямую, параллельную одной из асимптот гиперболы (рис.
!80). Из фокуса Г1 Г Р 2 (') 1 на прямую Р2М опустим перпендикуляр Г1М. Длину отрезка Р2М можно рассматривать как разность расстояний от фокусов Р, и Рт до бесконечно удаленной точки, в ко~арой пересекаются па- Рис. 180 раллельные прямые Г2М и ОВ. Поэтому в силу известного свойства гиперболы Р2М = 2а. На основании теоремы Пифагора делаем вывод, что расстояние Р1М равно 2Ь.
Секгориальную скорость, как величину постоянную, достаточно вычислить для точки, дви- 340 (гл. тш тяготвниг. жущейся в бесконечность. Радиус-вектор такой точки в единицу времени описывае~ треугольник с основанием е„ и высотой Г,В = Ь. Его плошадь о — — Ьн 1 (58.7> и дает секториальную скорость. При этом величина 1 определяется формулой (57.4), которую можно записать также в виде 2 — = е. (58.8) 2 Угол 0 между асимптогами гиперболы можно вычислить по формуле ь ь', 18 — ' = — = — '". (58.9> г а ом' 5. Параметр р для эллипса и гиперболы определяется выражением р = Ьт>и.
Подставляя сюда соответствующие значения для Ь и а, в обоих случаях найдем 4~ Р= ом' (58.10> той же формулой определяется параметр р и для параболы, поскольку парабола является предельной кривой, в которую переходят эллипс и гипербола. Для параболы параметр р является единственной величиной, определяющей ее форму. 6. Вид траектории планеты, конечно, определяется начальными условиями, т. е. положением и скоростью планеты в некото- Рис. 181 Зкп 1 58( ВЫЧИСЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ОРБИТЫ Таблица2 Начальная око ость Траектория планеты ао = 0 ио < ик но — ик з'к < з'О < ии РО = О по> пи Прямая, проходящая через Солнце Эллипс с перигелием в точке В и афелием в точке А Окружность с центром в точке нахождения Солнца Эллипс с псригелием в точке А и афелием в точке Р Парабола Гине бела ЗАДАЧИ 1. Космический корабль движется вокруг Земли по близкой эллиптической орбите.
В перигее касательная скорость корабля и увеличивается на сти = 10 и/с. Что сделается с псригеем и апогеем при таком изменении скорости? Решен не. Перигей останется на месте, поскольку в нем меняется только касательная скорость. Из формулы (58.2) следует, что 1и а = — 1и ( — е) + сопа1, и далее, что /(а/а = †/ге/е. Полная энергия 8 = е„ + 8 „,. В неригее с точностью до второю порядка потенциальная энеРгиЯ не меиЯетсЯ. ПоэтомУ йе Лечи, = /т(тр/2) = ийи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
