Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 83
Текст из файла (страница 83)
18!а). Если в < О, то траекторией ракеты будет эллипс с большой осью и 2Л$'„ 2и = — С вЂ” ' 4 Д). Четвертая космическая скорость ов ракеты определится из соотношения 4в4 = ят + 2нт, или 14 2— — ! ~ «~1 — ~г ' ) + 2о~~ Рнс. 181а Она зависит от параметра х, определяющего место падения. При х = 0 (прямолинейное движение по направлению к центру Солнца) скорость о4 максимальна и равна г4' ' = ()~~ + 2нт) нт 31,8 км/с. Ракета упадет в передней точке Солнца. При х = г (г — радиус Солнца) ракета упадет в задней точке Солнца, двигаясь по касательной к его поверх- ности.
В этом случае скорость минимальна и равна г Н2 ~$'~(1 — )~ ) + 212~] [)г~(1 — ч2а) + 2гт)нт 29,2 км/с, где а = 4,65. 10 з рад — средний угловой радиус Солнца. ЗАДАЧИ 1. Искусственный спутник Земли вращается по круговой орбите радиусом Л с периодом Тг В некоторый момент на очень короткое время был включен реактивный двигатель, увеличивший скорость спутника в а раз, и спутник стал вращаться по эллиптической орбите. двигатель сообщал ускорение спутнику все время в направлении движения. Определить макси- Один из фокусов эллипса находится в центре Солнца. Обозначим через х = СР расстояние от центра Солю!а до ближайшей вершины этого эллипса. Расстояние х однозначно определяет форму эллипса, а с ней и линию на поверхности Солнца, на которой будет лежать точка падения.
Большая ось эллипса 2а = и + х. Подставив это значение в предыдущее уравнение, придем к квадратному уравнению для и . Меньший корень этого уравнения равен 351 8 бг1 КОСМИЧЕСКИЕ СКОРОСТИ мальное расстояние спутника от центра Земли, которо~о он достигнет гюсле выключения двигателя. Найти также период Тг обращения спутника по новой (эллиптической) орбите. Решен не. Обозначим через Ек полную энергию спутника при движении по круювой орбите. Согласно (58.3) Е„= — К, () = — 2К. После того как отработал двигатель, скорость спутника возросла в а раз, а кинетическая энергия К вЂ” в аг раз. Потенциальная энергия не изменилась, так как за время работы двигатеггя спутник переместился пренебрежимо мало. Таким образом, полная энергия спутника на эллиптической орбите будет Е = атК + У = (аг — 2)К = (2 — аг)Е .
Большие оси эллиптических орбит обратно пропорциональны полным энер- гиям (см. формулу (58.2)). Поэтому а ! а = 2-а 2-а г' г Орбита будет эллиптической. если а а 2. Максимальное расстояние спут- ника от центра Земли (в апогее) г йм . — 2а — )(— 2 — г Период обращения Тт найдется из третьею закона Кеплера и равен г, Т (2 — г)га. 2. Найти такой радиус Я круговой орбиты спутника Земли, движущегося в направлении ее вращения в плоскости земного экватора, пабы он все время оставался неподвижным относительно Земли.
(Такой спутник называется стог(но!тарным.) Ответ. )( = (д/го йе) Яо бб0 Яе. Здесь )(р — экваториальный радиус 2 НЗ Земли, агг)(о — центростремительное ускорение на экваторе, обусловленное осевым вращением Земли, я — ускорение свободного падения. На экваторе аг~)(е)д = 1/288. 3. Силы приливного трения, вызываемые лунными приливами, замедляют осевое вращение Земли. Этот процесс оудет продолжаться до тех пор, пока не сделаются равными угловые скорости осевого вращения Земли н орбитальною движения Луны вокруг Земли.
Определить общую угловую скорость ог обоих вращений, продолжительность земных суток Т и радиус лунной орбиты а после того, как это произойдет. В настоящее время угловая скорость осевого вращения Земли равна лез — — 7,29 10 т рад!'с, момент импульса Земли о !носительно своей оси 1!=5,91 10!в г смог'с, момент инерции Земли относительно той же оси Т = 8,11 10 4 г смг, радиус лунной орбиты ае = 3,84 10'" см, период обращения Луны вокруг Земли (относительно звезд) Тл — — 27,3 сут, масса 352 !гл.
уш тяготкник Луны ш = 7,35 1Озв г. Для упрощения расчета считать, что земная ось перпендикулярна к плоскости лунной орбиты. Решен ив. Используя приведенные данные, находим: момент инерции Луны относительно оси вращения Земли /„= шах = 1,08. 10~~ г смз (моментом инерции Луны относительно ее собственной оси пренебрегаем), угловая скорость орбитального вращения Луны вокруг Земли ю, = 2,67 10 ~ рад/с, момент импульса Луны относительно Земли Е =/ла>л = 28,9 10~~ г см /с, полный момент импульса системы Земля— Луна Е = Ез+ Ел — — 34,8 !Ою г ем~/с.
По закону сохранения момента импульса (/з+ лья )ю = Е, или, пренебрегая /э, и1а~ю = Е. По третьему закону Кеплера а~газ = а~ге?г Из этих двух уравнений можно найти неизвестные а и ю. В указанном приближении 2 а= ...по= ~ — ') аз=1,45, ав=5,58 1О см, "' ыа'ьл Ев 3!2 — — = 0,573, Т = ' = 47,7 сут. мл (а/ ' ' 0573 4.
Космический корабль подходит к Луне по параболической траектории, почти касающейся поверхности Луны. Чтобы псройти на стелящуюся круговую орбиту, в момент наибольшего сближения включают тормозной двигатель, выбрасывающий газы со скоростью г = 4 км/с относителыю корабля в направлении его движения. Какую часть общей массы системы будет составлять горючее, использованное для торможения корабля? Средний радиус Луны /( =!738 км, ускорение свободного гидения на поверхности Луны я = ! 62 см/сэ.
О т в е т. (гтга — лг)/шэ = (ч 2 — ! ) т/дЮп 0,17. 5. Искусственный спутник движется вокруг Земли в разреженной атмосфере по круговой (или почти круговой) орбите. Как влияет сопротивление среды на скорость движения спутника и его момент импульса относительно центра Земли? Решен ис. Согласно (58.3) при круговом движении Е = — К. Трение уменьшает полную энергию Б. Поэтому кинетическая энергия К возрастает (спутник приближается к Земле). 6.
Космический корабль без начальной скорости свободно падает на Землю из удаленной точки. В каком месте следует повернуть направление скорости корабля на 90' (без изменений ее модуля), чтобы он стал двигаться вокруг Земли по круговой траектории? О твет. Посередине между центром Земли и начальным положением корабля. 7. Космический корабль движется вокруг Земли по эллиптической орбите. В какой точке орбиты следует изменить направление скорости корабля (без изменения ее модуля), чтобы корабль стал двигаться по круговой орбите? Решен не.
Так как энергия корабля зависит только от длины 2а большой оси его орбиты, ю переход на круговую орбиты произойдет на расстоянии а, т. е. в точке пересечения эллипса с его малой осью. Направление скорости корабля надо повернуть на такой угол, чтобы оно оказалось перпендикулярным к линии, соединяющей корабль с центром Земли.
353 Е 62) ВЫВОД ЗАКОНОВ ДВИЖЕНИЯ ПЛАНЕТ Р = Рз + гн —. ш лг' Считая на начальном участке величину Р постоянной, находим скорость корабля через время т: Р— Р и ш аг 0 м Отсюда '= — "= — ~~ =6. 862. ВЫВОД ЗАКОНОВ ДВИЖЕНИЯ ПЛАНЕТ ИЗ ЗАКОНА ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ НЬЮТОНА В предыдущих параграфах три закона Кеплера были приняты за исходные. Пользуясь ими, мы пришли к закону всемирного тяготения Ньютона.
Теперь поступим наоборот. Примем, что на планету со стороны Солнца действуег сила тяготения, подчиняющаяся закону Ньютона. Найдем движение планеты под действием гакой силы. Массу Солнца будет считать бесконечно большой по сравнению с массой планеты. К такому случаю сводится и общий случай, когда это условие не выполняется (см. я 59). Возьмем полярную системы координат (г, 9), полюс которой поместим в центре Солнца. Скорость планеты и можно разложить на радиальную скорость гб = г и перпендикулярную к ной азимутальную скорость о = гф. Очевидно, = г + г р .
Законы сохранения энергии и момента импульса планеты запишем в виде — (г +г~р) — Π— '=е, 1 .2 гг м г (62.1) 2'2 2 — г~р =о, (62.2) где и — масса Солнца, е — полная энергия планеты, приходящаяся на единицу ее массы, о — секториальная скорость. остающаяся постоянной 8. Космический корабль движется вокруг Земли по эллиптической орбите. В точке пересечения эллипса с его малой осью включается двигатель. Как надо изменить скорость корабля в этой точке, чтобы он перешел на параболическую орбиту? Ответ.
Увеличить в 92 раз. 9. Какую перегрузку испытывает при старте космонавт в космическом корабле на самом начальном участке полета, когда корабль вместе с ракетой-носителем поднимается вертикально вверх с постоянным ускорением и за время т = 4 с набирает скорость ~ = аею где ек — первая космическая скорость, а а = 0,03? (Перегрузкой называется отношение л = (Р— Ро)(ро, где Рз — вес космонавта на Земле, а Р— «вес», который показали бы пружинные весы при взвешивании космонавта в корабле.) Решен ив. Примем за положительное направление направление вверх.
«Вес» космонавта в корабле будет 354 (гл. уш тяготвние ( —,— ~ + —,= —,(в+С вЂ” ). (62.3> Введем новую переменную р = — !/г + !/р, р — постоянная, значение которой будет установлено ниже. Тогда уравнение (62.3) примет вид ~-" ) + ~р — -') = — ',+с —, ( — р+-'). Подберем постоянную р так, чтобы в этом уравнении исчезали члены, содержащие первые степени р. Для этого надо положить зч (62.4> р = При таком выборе постоянной р получим Поскольку слева стоит неотрицательная величина, постоянная величина 1/р + з/2о~ также неотрицательна, ее можно обозначить через А~: А = —,+ —,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
