Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 87
Текст из файла (страница 87)
При (ог~ > Ьг положение равновесия неустойчиво. 5. Представим, себе, что в земном шаре просверлен канал гю диаметру в плоскости экватора. Вычислить силу Р, с которой будет давить на стенку канала тело, падающее по нему с поверхности Земли, в тот момент, когда оно достигнет центра Земли. Считать, что трения нет, а плотность Земли однородна. Ответ. Р= (4л]Т) ГАЕТ 0,12Р, где Р— вес тела на поверхности Земли, Т вЂ” продолжительность звездных суток, А — радиус Земли. 6. Какую центральную силу надо прибавить к силе притяжения Солнца для топх чтобы орбита планеты, не меняя своего вида, вращалась вокруг Солнца? (Задача Ньютона.) Решен не.
Обозначим через Р, силу ньютонова притяжения планеты к Солнцу, Рз — дополнительную центральную силу, о которой говорится в условии задачи, вт — угловую скорость вращения орбиты. Вектор го перпендикулярен к плоскости орбиты. Полный момент импульса планеты относительно Солнца 1 слагается из момента импульса относительно движения 1 г —— т]гч м] и момента импульса дополнительного вращения 1 з — — ли~ го. Момент 1, очевидно сохраняется, так как полная действующая сила Р, + Р является центральной.
Момент 1 г тоже сохраняется. Действительно, таким моментом обладала бы планета, если бы вращения орбиты не бьшо, и все ее движение происходило под действием только одной центральной силы Рг. Поэтому должен сохраняться и момент 1 з, а планета должна вращаться с угловой скоростью Ьг сопвг о! = — = мг 2 2 (64. 19) Вращение орбиты неравномерное за исключением случая, когда орбита кру- говая. В системе отсчета, вращающейся вместе с орбитой с угловой ско- ростью го, уравнение движения планеты, с одной стороны, имеет вид та „= Рг + Рз+ тоз~г — т]гог] + 2т(ч чш].
С другой стороны, по условию, в этой системе планета должна двигаться но обычному. кеплеровскому эллипсу, а по~ому ша, = Р,. Это дает Р, = — игогзг+ т!шг] — 2ш[ч„,гв]. (64.20) и = — 2 — — = — 2 — гв. " ьо. г Скорость у„,, можно разложить на две составляющие: вдоль радиуса — г и Г перпендикулярную к нему. Последняя возникает из-за вращения планеты Дифференцируя (64.19) по времени и принимая во внимание, что 1 з = сопз1, получим 369 ПРОИЗВОЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА 8 б4! (т по ксплерову эллипсу с угловой скоростью то „= —,.
Таким образом, мг' ч„,„= — г+ [то „г]. Подставив это в (64.20), после простых преобразований получим Р,= — ~ [шт+2(оио „)]г, (64.21) или [сзз ! 2» ! ) ] г сопс! (64. 22) мг Отсюда видно, что дополнительная сила Р должна менять порционально кубу расстояния планеты от Солнца. 7. Применить теорему Кориолиса для решения обратнои задачи о движении симметричного сироскопа. Прямая задача механики состоит в том, чтобы по заданным силам определить движение механической системы. Обратная задача сводится к определению сил по заданному движению системы. Пусть гироскоп совершает вынужденную регулярную прецессию, Какие на него должны действовать силы, чтобы эта прецессия имела место? Х Решение.
Пусть гироскоп равномерно вращается вокруг своей оси фигуры с угловой скоростью вт, а ось фигуры вращается также равномерно с угловой скоростью Я (вынужденная процессия). Перейдем к системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью Я. В этой системе ось фигуры гироскопа неподвижна, так что у, = [шг], ч„,„= [Яг], а„„= [Я]Яг]]. ся обратно про- у Рис. !85 (64.23) Мысленно выделим из тела гироскопа элемент массы дш с радиусом-вектором г (рис. 185).
Обозначим через с(Т действующую на него (реальную) силу. При использовании формулы (64.9) надо помнить, что угловая скорость вращения системы отсчета обозначена через Я ( а не через ш, как в этой формуле). Применив к выделенному элементу массы второй закон Ньютона и использовав формулу (64.9) и выражения (64.23), можем написать д(= сйп[ш[шг]] + 2с(ос[Я[юг]] + т(т[Я[Яг]]. (64 24) Поскольку гироскоп предполагается идеально твердым телом, его уравнения движения полностью определяются геометрической суммой т внешних сил и их моментов относительно точки опоры О. Для нахождения Г проинтегрируем выражение (64.24).
Векторы оз и Я, как постоянные, можно при этом вынести из-гюд знака интеграла. Кроме того, учтем, что ~ гдлг = тг, где г — радиус-вектор центра масс гироскопа С. В результате получим Т= !т![[От[саге]] + 2[Я[юге]1+ [Я[иге! И. 370 движение Отнпсительнп неиньвцилльных систем (1'л. гх Первые два слагаемых в правой части этого соотношения равны нулю, так как центр масс С лежит на оси фигуры гироскопа, а потому векторы г и оз коллинеарны.
Поэтому окончательно у= т]й(йг ]]. (64.25> Этот результат, конечно, можно было бы написать сразу на основании теоремы о движонии центра масс, поскольку ускорение последнего происходит только из-за прецессионного вращения и равно (й(йг.] ] (центростремительное ускорение). Сила 1 возникает автоматически как реакпия точки опоры ца прецессирующий гироскоп. Перейдем теперь к вычислению момента сил М. Для этого радиус-вектор г надо векторно умножить на выражение (64.24) и проинтегрировать по т.
Но и без вычислений ясно, что при таком интегрировании слагаемое ~(1л(ю((щг]] не внесет никакого вклада в момент М. Действительно, член, возникающий от интегрирования этого слагасмогщ не зависит от того, содержатся в сумме (64.24) другие слагаемые или не содержатся. Но рассматриваемое слагаемое соответствует равномерному вращению вокруг оси фигуры гироскопа, которая, как известно, является одной из свободных осей вращения, а для равномерного вращения вокруг свободной оси никаких внешних сил не требуется.
По той же причине не повлияло бы на момент М и последнее слагаемое суммы (64.24), если бы процессия происходила вокруг оси, перпендикулярной к оси фигуры гироскопа, а е1'о центр масс С совпадал с точкой опоры О. Во всех остальных случаях это не так. Однако при вычислении момента М мы пренебрежем последним слагаемым в (64.24) и вот по какой причине. Мы будем предполагать прецессионпое вращение й очень медленным по сравнению с собственным вращением щ и пренебрегать квадратами малой величины й. А последнее слагаемое в (64.24) как раз квадратично по й.
Таким образом, момент М происходит лишь от второго слагаемого в сумме (64.24). Разложив соответствующее двойное векторное произведение, умножив его векторно на г и проинтегрировав, получим М = 2 ~ (йг] [гоз] Лт. Для вычисления интеграла введем прямоугольную систему координат. Ось У направим вдоль оси фигуры гироскопа, а ось Х расположим в плоскости, в которой лежат векторы го и й (см.
рис. )85). В этой системе координат М = — 2]сой ~ хгг(т — 2)ий ~ гхг(т + 21сой ~ хуг(т + 21о~й ~ угт(т. Все входящие сюда интегралы, за исключение первопк обращаются в нуль из-за осссиммстричного распределения масс. Первый же член может быль записан в виде М = — )юй ~ (лг+ уз)Лвг = — ]Т юй з|п О, где б — угол между векторами щ и й, а 7„— соответствующий момент инерции гироскопа.
В векторной форме (64.26> М = У, (йтв]. движвние Относитгльно Вглщлюпц'йся земли 371 1 6Я Век~орное произведение ~йю! есть вектор скорости, с которой при регулярной црспессии движется конец вектора оз, неизменно связанный с осью фигуры гироскопа. Таким образом, вершина гироскопа перемешается не в направлении приложенной силы, а в перпендикулярном к ней направлении— в направлении момента М. Это то, что кажется более всего удивительным в движении гироскопа.
Если перейти к системе отсчета. вращающейся с угловой скоростью прецессии И, то можно сказать, что в этой системе моменз внешних сил должен уравновешивать момент сил инерции Кориолиса. й 65. УРАВНЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ ЗЕМЛИ С УЧЕТОМ ЕЕ ВРАЩЕНИЯ 1. Применим уравнение относительного движения (64.15) к движению тел относительно Земли. Движущуюся систему отсчета 5 свяжем с вращающейся Землей.
Речь идет о вращении Земли относительно инерциальной системы отсчета, например системы Коперника. Начало координат О поместим в центре Земли. Таким образом, под то следует понимать скорость, а под йо — ускорение центра Земли. Земля вращается практически равномерно, а потому последний член в уравнении (64,15) выпадает. Далее, так как речь будет идти только об относительном движении, условимся опускать в уравнении (64.15) индекс «отн», т. е. будем полагать т вв т„„о а ая а„а.
Внешнюю силу представим в виде суммы трех сил Рз + Ро + Р, где Рз — сила гравитационного притяжения Земли, Ро — равнодействующая сил гравитационного притяжения Солнца, Луны, планет, звезд и прочих небесных тел, Р— геометрическая сумма всех остальных сил, действующих на материальную точку. Сила Р слагается, например, из силы сопротивления воздуха, силы трения, силы натяжения нити и пр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
