Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Вес какого тела будет больше? 376 дВижение ОтнОсительнО неинеРцилльных систем 11'л. 1х Решен не. Если пренебречь неоднородностью гравитационного поля Солнца в окрестности Земли, то в обоих случаях получится один и тот же вес. Учтем теперь неоднородность гравитационного поля Солнца, пренебрегая влиянием Луны. Веса тел в диаметрально противоположных точках земного шара 7 (день) и 2 (ночь) будут соответственно Р1 = Рз — Рс (Я вЂ” ') — '"'" '+ шш Рг = Рз + Р<,(Я + г) — 1н<о г + тш (рис. 187). Здесь Рз и Рс — силы гравитапнонного притяжения Земли и Солнца соответственно, Я вЂ” расстояние между их центрами, г — радиус Земли, ш — ускорение центра Земли под действием гравитационного притяжения Солнца. Очевидно, тш = Рс(Я). Вычитая, находим Рг — Р1 — — ]Рг(Я + г) — Г< (Я) ] + ]Ге(Я вЂ” г) — Гс(Я) ]. Разлагая обе разности в квадратных скобках по формуле Тейлора и огра- ничиваясь квадратичными членами по г, получим День г г 2 ~ Рс г <<Я Преобразуем это выражение, используя соотношения Мт 4кн Рс=С = и, Р=шр лг гг (М вЂ” масса Солнца, Т вЂ” период обращения Земли вокруг Солнца, Р— вес тела).
После несложных преобразований найдем Р— Р 24 Р Гтг Я <Я Ночь Здесь з = цг ЛТ означает расстояние, которое проРис. 187 ходила бы Земля в течение года, если бы она дви- галась равноускоренно с ускорением 8. Вычисляя это расс<ояние, получим з 5 1О'2км н далее Р— Р г ' 6510 12 Р 2.Найти разность между весами одинаковых тел в диаметрально противоположных точках земного шара, обусловленную неоднородностью гравитационного поля Луны, Считать, что центры Луны, Земли и обе рассматриваемые точки 7 и 2 лежат на одной прямой (см. предыдущую задачу). Ответ.
= — " ', 8 10, где Мз и Мл — масса Земли и Лу- згх 24кгР 1о Р Мз ЛХГ' ны, Я расстояние между их центрами, Т вЂ” период обращения Луны вокруг Земли, г — радиус Земли. 3. Пароход движется на восток вдоль параллели с <еографичсской широтой 0 = 60'.
Скорость парохода г = 10 м/с. Определить вес тела Р ца пароходе, если взвешивание происходит на пружинных весах. Вес того же тела, неподвижного относительно Земли, в той же точке земной поверхности равен Рв. ОтклОнвнив падающих твл От нлгггавлвния ОтВисл 377 1 671 Отвез ()с — радиус Земли). 4. Самолет летит с постоянной скоростью, описывая окружность на постоянной высоте. Какое направление будет укзывать нить отвеса подвешенного в салоне самолета? Найти период малых колебаний математического маятника внутри самолета, если длина маятника равна ), корпус самолета наклонен к направлению горизонта под углом а. Ответ.
Нить огвеса установится перггсндикулярно к полу салона самолета. Т = 2яъг! соз а!д. 5. Самолет летит на постоянной высоте по окружности радиусом )2 = 25 км с постоянной скоростью г~ = 250 ч)с. В кабине самолета установлены пружинные и маятниковые часы. Какое время полета Г' покажут маятниковые весы, если это время, измеренное пружинными часами, равно) = 1 ч? Часы считать идеальными. Силу Кориолиса, ввиду ее малое ги, не учитывать. Ответ. Г' — Г!1 + гсПаитят)) — ! г 56 с. В б7. ОТКЛОНЕНИЕ ПАДАЮЩИХ ТЕЛ ОТ НАПРАВЛЕНИЯ ПОДВЕСА 1.
Пусть тело свободно падает в поле тяжести Земли. В этом случае Р = О, и уравнение (65.3) переходит в а = я + 2[ко]. (67.1) Это уравнение описывает свободное видение тел с учетом враи)ения Земли. Влияние вращения Земли сводится к действию центробежной и кориолисовой сил, Центробежная сила учитывается автоматически, так как она включена в вес тела тВ как его составная часть. Наличие этой силы не меняет вид уравнения. Только направление к центру Земли заменяется направлением отвеса.
В остальном центробежная сила не приводит к качественно новым явлениям. Более существенно влияет на характер движения кориолисова сила. При падении тел без ничальной скорости кориолисови сила проявляется в отклонении свободно пидиюи)их тел к востоку и эквитору от нипривления отвеса. Теория этих явлений сводится к решению дифференциального уравнения (67.1). Если вектор В постоянен, то векторное уравнение (67.1) эквивалентно системе трех линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Точное решение такой системы получить нетрудно с помощью общеизвестных методов, излагаемых в теории дифференциальных уравнений.
Однако мы по этому пути не пойдем. Он громоздок, а главное, получение точных решений вряд ли оправдано, когда в уравнении (67.1) пренебрегается зависимостью я от координат. Последнее допустимо лишь тогда, когда движение рассматривается в сравнительно небольшой области пространства, во всех точках кото- 378 движгние ОтнОсительнО няинегцилльных систем 1гл.!х рой вектор 8 практически один и тот же. А в этих случаях прекрасно работает приближенный метод последовательных приближений, дающий вполне достаточную точность. Вычисления по этому методу просты и лучше выявляют сущность явления.
Им мы и воспользуемся. 2. В уравнении (67.1) член 2[чсо] мал по сравнению с 8. Его можно рассматривать как малую поправку и в пулковом приолижении отбросить. Тогда получатся законы свободного падения без учета вращения Земли; (67. 2) а=К, ч=чв+Кг где чв — начальная скорость тела. Пользуясь нулевым приближением, можно риолисовой силы.
С этой целью в уравнение значение ч из нулевого приближения и таким рение а в первом приближении: а = 8+ 2[ч„со]+ 2Г[8со]. учесть и влияние ко- (67.1) мы подставим путем получим уско- (67. 3) Интегрирование этого уравнение дает скорость ч в том же приближении: ч = чв + еп + 21[тося] + Г~[8со]. (67 4) С помощью этого выражения снова уточняем выражение для кориолисовой силы. Именно, подставляя его в уравнение (67.1), получаем выражение для ускорения а во втором приближении: а = 8+ 2[чвсо] + 21[Вся] + 41[[чвсо]со] + 21~[[Вся]со], (67 5) + 3 г [Всо] + 3 г [[чосо]со + 6 г сйсо]со]. (67.7) В частности, если тело падает без начальной скорости, то для его смешения из начального положения з = г — г„получим 28 3 [8 ] б (67.8) 3.
Чтобы проанализировать полученный результат, введем прямоугольную систему координат, начало которой поместим в точку А, из которой начинает падать рассматриваемое тело (рис. 188). Ось Х направим по параллели на восток. ось У вЂ” по меридиану к экватору, ось У вЂ” по направлению отвеса вниз, т. е. вдоль век- а после интегрирования по г — для скорости ч в том же приближении: ч = то+ 81+ 21[тося] + гг[8со] + 2гг[[чосо]со] + — г'[[Всо]со] (67.6) Описанный процесс последовательных приближений можно было бы продолжить неограниченно.
Оборвем его на втором приближении. Интегрируя [67.6) по б находим радиус-вектор материальной точки в любой момент времени во втором приближении: г = гв + чвс + — Вгг + Гг[чвсо] + 1 ОТКЛОНЕНИ1С ЦЛДЛЮЩИХ ТЕЛ ОТ НЛПРЛВЛЕНИЯ ОТВЕСА 379 1 671 тора 8. Спроецируем затем выражение 167.8) на координатные оси. Векторное произведение 18ш) направлено на восток, двойное векторное произведение Цйш)ш) есть вектор, направленный от оси вращения Земли и перпендикулярный к ней, Поэтому, переходя к проекциям, получим 72 214,. 2Л 1 1 2 б 1 оос/ 3 24 214, 31п 2л 167.9) 167.10) (67.11) Рис. 133 Из-за наличия малого множителя о/1 = 2л1/Т отклонение к эквато- ру очень мало и по этой причине недоступно наблюдению. где д — угол географической широты рассматриваемого места, Второе слагаемое в формуле 167.9) есть только малая поправка к нулевому приближению и не меняет качественно характер явления.
Это / слагаемое можно отбросить и нахо- / дить время падения по формуле ну- а левого приближения Х А Иное дело, когда речь идет о формулах (67.10) и 167.11). Здесь в О В нулевом приближении х = у = О. Я Вращение Земли сказывается в появлении двух новых эффектов: отклонении свободно падающих тел к У востоку и к экватору от направления отвеса 1а не от направления к центру Земли, как это иногда ошибочно утверждают).
Выражение для восточного отклонения можно записать в виде вос,-3 -3 Т 2 4 167,13) где Ь вЂ” высота падения, а Т = 2л/со — период суточного вращения Земли. Отклонение з,о,, очень мало, так как в формулу 167.13) входит малый множитель ЦТ. Так, при л = 100 м 1 = 4,5 с, и для широты Москвы 16= 56') получаем 3„„= 1,2 см. При падении с высоты 6 = 500 м получилось бы х„„, = 13,8 см. Несмотря на малость эффекта, его с уверенностью удалось наблюдать в опытах с падением тел в глубоких шахтах уже в середине Х1Х века.
Экваториальное отклонение связано с восточным соотношением: 167.14) 380 движение ОтнОсительнО неинегцилльных систем (гл. гх ЗАДАЧИ 1. Из ружья произведен выстрел строю вверх (т. е. параллельно линии отвеса). Начальная скорость пули но — — 100 мзс, географическая широта места д = б0'. Учитывая осевос вращение Земли, определить приближенно, насколько восточнее или западнее от места выстрела упадет пуля. Сопротивление воздуха не принимать во внимание. Ответ. Пуля отклонится к западу на расстояние з 4 "о"' х,. = — — сов 6 51 см. 3 х Результат может показаться неожиданным.
При движении вверх кориолисова сила отклоняет брошенное тело к западу от направления отвеса, при движении вниз она отклоняет ею к востоку. На первый взгляд кажется, что отклонение к западу должно компенсироваться последующим отклонением к востоку. На самом деле это нс так. Когда тело движется вверх, его боковая начальная скорость равна нулю. В наивысшую точку зело переходит, однако, с западной составляющей скорости, которую оно прзлобретает под действием кориолисовой силы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
