Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 122
Текст из файла (страница 122)
Поэтому, казалось бы, в формулах (99.3> и (99.4> коэффициенты С и ), должны были бы зависеть не только от числа Рейнольдса, но и от чисел Струхаля. Однако при установившейся турбулентности число Струхаля само является функцией числа Рейнольдса, а потому нет никакою смысла вводить его в формулы (99.3) и (99.4). ЗАДАЧА Т ак как в идеальной жидкости при любых движениях не могут возникать касательные силы, то возможны разрывные течели», в которых касательные составляющие скорости жидкости претерпевают разрыв на некоторой поверхности (неподвижной или движущейся). Такие течения называются тангенциальньыш разрывами. Показать, что тапгенциалыгые разрыва! в несжимаемой жидкости гидродипамически неустойчивы.
Р е ш е н и е. Понятно, что давление по разные стороны от поверхности разрыва должно быль одинаково. При стационарном течении поверхность тангенциального разрыва неподвижна в пространстве. Поэтому на ней лежат В линии тока. Пусть А)3 — одна из них д 1 (рис. 263 а). Допустим, что в резуль,/ тате какого-то бесконечно малого вози Л н мущения на линии тока АВ возник бугор (рис. 263 б). Тогда со стороны 1 расстояния между линиями тока уменьшатся, а скорость жидкости увеличится.
Напротив, со стороны П расстояния между линиями тока будут больше, и скорость жидкости уменьшится. Согласно закону Бернулли давление со стороны П возрастет, а со стороны 1 упадет. Под влиянием возросшей разности давлений бугор будет увеличиваться еще больше, т. е. движение является гидродинамически неустойчивым. Такой неустойчивостью объясняется развевание флагов на ветру.
Рис. 263 0 100. ПАРАДОКС ДАЛАМБЕРА. РАЗРЫВНЫЕ ТЕЧЕНИЯ 1. Оставшиеся параграфы этой главы будут посвящены силовым действиям потока жидкости на находящиеся в ней тела. Ввиду относительности движения эта проблема эквивалентна проблеме нахождения сил, действующих на тела, движущиеся в неподвижной 100! плРлдокс длллмвеРл. РлзРывные течгния 521 жидкости. Проблема эта очень обширна и сложна.
Во всем объеме она разбирается в специальных курсах гидродинамики и аэродинамики. В общем курсе физики на ней можно остановиться очень кратко, ограничиваясь в основном качественным рассмотрением. Силу, действующую на тело со стороны потока жидкости, можно разложить на две составляющие: в направлении потока Р„и перпендикулярную к потоку Р, Сила Р, называется лобовым солротиоледием, сила Р, — лодьсччной силой.
Подъемная сила действует )' на крылья летящего самолета. С ней связано представление о силе, направленной вверх. Но подъемная сила может быть направлена и вниз в зависимости от ориентации самолета относительно направления полета. Лобовое сопротивление Р«слагается из двух различных сил: силы разности давлений на переднюю и заднюю поверхности тела и из вязких сил трения. При больших скоростях (точнее, при больших числах Рейнольдса) преобладающую роль играют разности давлений, при малых — силы вязкости. 2. Рассмотрим прежде всего стационарное течение идеальной несжимаемой жидкости.
Допустим, что в отсутствие внешних тел жидкость течет параллельным потоком. Поместим в него какое-либо тело К (рис. 264). Оно исказит поток. Но на достаточно больших расстояниях от тела К (в «бесконечно- в в' !) Р сти») поток останется параллельным. По истечении некоторого времени движение жидкости установится. К этому установившемуся течению и относятся последующие рассуждения. Для конкретности оудем считать, что жидкость течет в Рис. 264 прямолинейной трубе. Вдали от тела К линии тока параллельны стенкам трубы и вследствие несжимаемости жидкости скорость ее в этих участках трубы одна и та же.
А в силу уравнения Бернулли будет одинаково и давление Р. Рассмотрим часть жидкости АВРС, внутри которой находится тело К. Предполагается, что сечения АВ и СР находятся далеко от тела К, так что через них жидкость течет параллельным потоком. Спустя короткое время выделенная часть жидкости перейдет в положение А'В'В'С'. При этом ее импульс останется без изменения. Действительно, в начальном положении импульс жидкости представляется суммой $1 = импульс жидкости в объеме А'В'РС+ + импульс жидкости в объеме АВВ'А', а в конечном положении: 12 = импульс жидкости в объеме А'В'1|С + + импульс жидкости в объеме С2212'С'. мехАникА жидкОетгй и гхзов 522 !Гл.
хп Но в силу стационарности течения импульс жидкости в обьеме А'В'РС один и тот же в обоих случаях. А вследствие одинаковости скорости течения на «бесконечности» импульсы жидкости в объемах АВВ'А' и СРР'С также одинаковы. Итак, при обтекании тела К импульс жидкости не изменяется. Следовательно, полная сила, действующая на рассматриваемый объем жидкости в направлении потока, равна нулю. Но эта сила слагается из сил давления на основаниях АВ и СР из силы Р', с которой действует на жидкость тело К. 1Давление стенок можно не принимать во внимание, так как оно не дает слагающей в направлении потока,) Силы давления на основаниях АВ и СР уравновешивают друг друга, а потому Р„= О. Следовательно, обращается в нуль и лобовое сопротивление Р». Допустим теперь, что труба берется все шире и шире.
Наш вывод остается справедливым для сколь угодно широкой трубы. Он остается верным и в пределе, когда трубы совсем нет, а поток во всех поперечных направлениях простирается до бесконечности. Итак, при стационарном течении идеальной несжимаемой жидкости или при равномерном движении тела в ней лобовое сопротивление равно нулю. Этот вывод в свое время казался неожиданным.
Он получил название лирадокси Даламбера (1717 — 1783). Наличие этого парадокса указывает на то, что при определении лобового сопротивления, испытываемого телом при равномерном движении в жидкости, последнюю нельзя рассматривать как идеальную. 3. Наш вывод относится только к лобовому сопротивлению Р», но не к подъемной силе Р „и моменту сил М, с которым поток жид- У' кости действует на тело.
Момент М относительно центра масс равен нулю в тех случаях, когда тело симметрично и симметрично расположено относительно потока. Если такое условие не выполнено, то это, вообще говоря, не так. При обтекании тела происходит смещение всего потока жидкости вбок, т. е. в направлении, перпендикулярном к направлению невозмугценного потока.
Это вызывает изменение момента импульса жидкости и ведет к появлению момента сил М, действующего на тело. В результате момент М поворачивает тело, пока он не обратится в нуль и течение жидкости в окрестности тела К вновь станет стационарным. Что касается подъемной силы Р, то к этому вопросу вернемся в з 103. 4. Если тело движется неравномерно, то парадокс Даламбера не возникает. Дело в том, что с движущимся телом всегда связана какая-то масса жидкости, увлекаемая им. Она называется присоединенной массой. При ускорении тела ускоряется и присоединенная масса жидкости.
Поэтому для сообщения ускорения телу в жидкости требуется большая сила, чем для сообщения такого же ускорения при отсутствии жидкости. Это и значит, что жидкость оказывает сопротивление телу, движущемуся в ней ускоренно. 5. Парадокс Даламбера легко уяснить, если рассмотреть картину линий тока. На схематическом рис. 2б5 изображены линии тока при б 1ош ПАРАДОКС ДЛЛЛМВВРЛ. РЛЗРЫВНЫВ 'РЕЧЕНИЯ 523 стационарном обтекании цилиндра или шара идеальной жидкостью. Линии тока совершенно сим»четричны по отношению к направлению вперед и назад (зеркальная сил).нетрия). А скорости частиц жидкости в соответствующих точках перед и за телом равны по модулю и отличаются только направлением.
Но в уравнение Бернулли (94.4) скорость п входит в квадрате, Поэтому распределения давления в потоке перед и за телом совершенно одинаковы Лавление на переднюю поверхность тела уравновешивается давлением на заднюю поверхность, а следовательно, лобовое сопротивление равно нулю. Рис. 265 Если тело, а следовательно, и поток жидкости не обладают симметрией, то рассуждение осложняется. Однако и в этом случае ввиду отсутствия потерь энергии стационарное течение идеальной жидкости обладает следующим свойством. Если в некоторый момент времени изменить на противоположные направления движения всех частиц жидкости, то они будут двигаться по тем же линиям тока с теми же по модулю, но противоположными по направлению скоростями.
Так как в уравнение Бернулли скорость течения входит в квадрате, то при таком обращении направления течения распределение давления в жидкости не изменится. Не изменится также модуль и направление силы Р, с которой жидкость действует на обтекаемое тело. В частности, не меняется лобовое сопротивление Рк. С другой стороны, опыт показывает, что сила Рк всегда направлена по течению *), а потому при обращении течения сила Рк должна изменить знак. Отсюда непосредственно следует, что Рк = О.
К подъемной силе эти соображения неприменимы, так как нет оснований утверждать, что при обращении направления потока должна менять направление и подъемная сила. 6. Во всем изложенном предполагалось, что поток жидкости является непрерывным. Однако уравнения гидродинамики допускают и такие стационарные течения, в которых скорость жидкости претерпевает разрыв непрерывности, На эту возможность обратил внимание немецкий физик Густав Кирхгоф (1824 †18).
Представим себе, что к телу К прикреплена бесконечно тонкая эластичная перегородка МСРМ 1рис. 2бб). Пусть пространство МСР11, ограниченное этой перегородкой, заполнено неподвижной жидкостью, находящейся под постоянным давлением Р . Пусть эту систему тел обтекает идеальная несжимаемая жидкость. Тогда при стационарном течении граница МСРо будет вести себя как поверхность твердого тела, и часть линий тока расположится вдоль этой поверхности.
Ширина бесконечно тонких трубок тока в окрестности поверхности *) теоретически это не обязательно (см. сноску на с. 524). Сняв Р» могла бы быль направлена и против течения. Однако эта возможность представляет чисто умозрительный интерес. мехлникл жидкостей и глзов 524 !гл. хп МСРтч' будет изменяться по такому закону, чтобы обеспечить постоянство скорости жидкости вдоль всей поверхности МСРуу'. Тогда, согласно уравнению Бернулли, будет постоянно и давление жидкости на этой поверхности.
Если убрать эластичную перегородку, то характер течения жидкости не изменится. Действительно, поверхность МСРЖ останется поверхностью постоянного нормального давления, а тангенциальные силы появиться не могут из-за идеальности жидкости, Получилось стационарное течение жидкости с тангенциальным разрывом на поверхности МСРтт' (см. задачу к з 98), Оно характеризуется тем, что на некоторой линии обтекаемого тела происхо- А в К ро-сыт дит отрыв течения от тела.
Таких течений, очевидно, и можно представить бесконечл ное множество. Они отличаются друг от друга положением Рис. 2бб линии отрыва СР и формой поверхности тангенциального разрыва МСРттт. Давление в области застоя (т. е. области, где жидкость покоится) Ро, очевидно, равно давлению на линии отрыва СР. Последнее же меньше давления в критической точке В. Это приводит к тому, что равнодействующая сил давления, действующих на переднюю поверхность тела, превышает соответствующую силу, действующую на заднюю сторону его. В результате появляет- сЯ лобовое сопРотивление Рлв).
7. Тангенциальные разрывы гидродинамически неустойчивы (см. задачу к з 98). Поверхности разрыва распадаются в вихри. Тем не менее идеальные разрывные течения с отрывом от обтекаемого тела, рассмотренные выше, не совсем лишены интереса. Они в известном смысле могут рассматриваться как предельные случаи реальных течений вязкой жидкости. Силы вязкости мало существенны вдали от обтекаемого тела, где они малы. Их влияние проявляется главным образом в тонком пограничном слое вблизи поверхности тела, где они велики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
