Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 121
Текст из файла (страница 121)
В невозмущенном потоке частицы жидкости движутся но окружностям с определенной угловой скоростью со(г) = —. Рассмот(г1 Г рим какой-либо элемент жидкости, вращающийся по окружности радиуса го. На него действует центростремительная сила Ро — — игш (го)го, создаваемая разностью давлений окружающей жидкости. Введя момент импульса т 2 г ("а) ь(г) = шг со, запишем выражение для силы в виде Ро =, . Допустим те"'"о перь, что нод влиянием какою-то бесконечно малого случайного толчка рассматриваемый элемент жидкости сместился в новое положение, находящееся на расстоянии г от оси вращения. Можно предполагать, что толчок был совершен в направлении от или к оси вращения, так как если движение жидкости неустойчиво по отношению к возмущениям специального вида, то оно неустойчиво вообнте.
Момент силы такого толчка относительно оси вращения равен нулю. Результирующая сил давления окружающей жидкости также не дает момента, поскольку она направлена к оси вращения. Поэтому нри смешении элемента момент его импульса сохранится, г. е. и в новом положении будет Л(го) . Чтобы сместившийся элемент равномерно вращался но окружности радиуса г, на пего должна действовать центростремительная сила 1' ("о) Ро —— ,' . Между тем единственная сила, конторой он подвержен, сеть сила и' давления окружающей жидкости, а она равна Р' = — '"„.
Если эта сила нс равг. ( ) 1п г на Го, то элемент жидкости не удержится на новой круговой орбите, куда он попал. Он будет либо возвращаться к исходной орбите, либо удаляться от нее. мьхлникл жидкосткй и глзон 518 (гд. хп — >О, ил' ь. (99.1) или л (г~тоз) > О. (99.2) 3.
Таким образом, для устойчивости необходимо, чтобы величина г"ш~ монотонно возрастала при удалении от оси вращения. Если цилиндры вращаются в противоположные стороны, то это невозможно. Действительно, в этом случае на поверхностях цилиндров угловая скорость ш имеет противоположные знаки. Так как ш — непрерывная функция «, то она должна обращаться в нуль в какой-то промежуточной точке.
В этой точке величина г~ш~ равна нулю, т. е. достигает минимума. По разные стороны от нее производная — (г~то ) имеет Ь противоположные знаки, т. е. условие (99.2) не может выполняться. Значит, если цилиндры вращаются в противоположные стороны, то двихтение жидкости неустойчиво. Оно будет неустойчивым и в том случае, когда внутренний цилиндр вращается, а наружный покоится. Действительно, на поверхности наружного цилиндра г"от~ = О, а па поверхности внутреннето г~<о~ > О. Поэтому с увеличением г величина гтш не может монотонно возрастать, и движение неустойчиво. Если же вращается наружяый цилиндр, а внутренний покоится, то установившееся вращение жидкости будет устойчивым. В этом случае с удалением от оси вращения угловая скорость от возрастает, а потому тем более будет возрастатытшз. Теперь становится понятным, почему при измерении вязкости по методу, описанному в конце 8 96, должен вращаться наружный, а не внутренний цилиндр. В противном случае вращение жидкости мехтду цилиндрами было бы неустойчивым.
4. Приведенное исследование было выполнено без учета вязкости жидкости. Силы вязкости, уменьшая кинетическую энергию жидкости, всегда препятствуют развитию неустойчивостей. Область неустойчивости ламинарного течения сужается. Ограничимся этим общим замечанием о роли сил вязкости, так как нашей целью было только показать на простейшем примере, что ламинарное течение жидкости не всегда устойчиво. 5. При возрастании скорости течения ламинарное движение переходит в турбулентное. Скорость, при которой это происходит, называется кришической. Вместо скорости лучше пользоваться безразмерной величиной — числом Рейнольдса.
Действительно, соображения о подобии, изложенные в предыдущем параграфе, относятся к турбулентным течениям, а также к переходу ог ламинарного режима течения к турбулентному. Поэтому в геомешрически ло- В первом случае движение жидкости устойчиво, во втором — неустойчиво. Допустим, например, что г > гз. Если Е > Рв, т. е. Х, (г) > 2, (гз), то давление ок- 2 2 ружающей жидкости больше того, которое требуется для удержания сместившегося элемента жидкости па окружности радиуса г. Сместившийся элемент вернется на исходную окружность — движение устойчиво. Если же Г < Рз, т.
е. Хт(г) < т.т(гв), то силы давления окружающей жидкости недостаточно, чтобы удержать элемент на окружности радиуса г. Элемент жидкости будет уходить еще дальше — движение неустойчивое. Если г < гз, то, рассуждая аналогично, найдем, что при Е (г) < 2.
(«з) движение устойчиво, а при т'.з(г) > т'.з(гв) — неустойчиво. В обоих случаях критерий устойчивости можно выразить неравенством 519 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ 9 99! добных систс,иах переход от лалгинарноео режича течения к пгуроулентному должен происходить при одних и нгех хсе значениях числи Рейпольдса. Этот закон был установлен Рейнольдсом из соображений теории размерности. Граничное значение числа Рейнольдса, при котором ламинарный режим течения сменяется турбулентным, называется крипгическилг числом Рейнольдса и обозначается как йе„. Значение йегя зависит от конфигурации тел, обтекаемых жидкостью, а также от степени возмущснности самого ламинарного течения.
Так, при течении по прямолинейной трубе с круглым сечением йе„= Па!т ! 100, если трубы непосредственно присоединены к водопроводу и не приняты специальные предосторожности для уменьшения возмущенности воды у края трубы (а — радиус трубы, П вЂ” средняя скорость течения). Начальную возмущенность можно уменьшить, применяя трубы с гладкими стенками и закругленными краями. Кроме того, следует присоединять их к большому баку с водой и подождать, пока вода в нем не успокоится. Таким путем удается добиться затягивания ламинарного режима в трубах до значительно больших ке „, например до йе„„т 25 000.
б. Законы Пуазейля, как уже указывалось, относятся только к ламинарным течениям жидкости по трубе. Предположение о ламинарности было явно использовано при выводе формул (97.4) и (97.16). Но не столь очевидно, где используется это предположение при выводе формулы Пуазейля (97.! 1) методом теории размерности. Разберем этот вопрос, а также выясним, какой формулой должна быть заменена формула Пуазейля при турбулентном течении. При турбулентном течении частицы жидкости движутся с ускорениями, а потому существенную роль должна играть плотность жидкоспги р. Она не обязательно должна входить в комбинации Я!р, как было при ламинарном течении.
Напротив, величины Д и р могут входигь независимо. Функциональная связь должна сущесгвова|ь между пятью величинами 2 (2р 5г( а не между чегырьмя, как бьшо нри ламинарном течении. Из за их пяти величин можно составить две независимые безразмерные комбинации, например -В- и ке т —" р р .г 2 где П вЂ” средняя скорость течения, определяемая соотношением гг = рдг5, а— радиус трубы, г = г)(р — кинематическая вязкость. Согласно правилу размерности одна из этих безразмерных комбинаций является функцгией другой. Это приводит к соотношению Рг — Р Я = С(йе) рбз.
(99.3) гч При ламинарном течении коэффициент С есть постоянная, зависящая только от формы поперечного сечения трубы. При турбулентном течении этот коэффициент становится функцией числа Рсйнольдса. Форлгулу (99.3) нетрудно преобразовать к виду г Х(я г Ев — г и 2 (99.4) в каком ес обычно пишут в гидравлике. Коэффициент ), связан с С соотношением ).(йе) = кебы) кг мьхлникл жидкоствй и глэов 520 !гл.
хп Он называется крэг!)(Рициеггтогг солроншвлеиил трубы. При ламинарном течении коэффициент сопротивления обратно пропорпионален числу Рейнольдса. При турбулентном течении вид функции ),(ке) устанавливается эмпирически. По поводу приведенного вывода формул (99.3) и (99.4) необходимо сделать следующее замечание. Турбулентное течение есть нестационарное течение. На регулярное движение накладываются нерегулярныс колебания и вращения — ггульсации, которым свойсгвенны определенные периоды во времени. Таким образом, речь идет о нестационарном движении с определенным характерныи времелелг и даже несколькими хараюпернычи вреченами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
