Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 123
Текст из файла (страница 123)
Они приводят к отрыву течения от тела. При этом вместо области застоя за телом возникает область интенсивного турбулентного движения. Наличие такой области и ведет к возникновению лобового сопротивления. При этом силы вязкости автоматически устраняют неоднозначность в положении линии отрыва, характерную для разрывных течений идеальных жидкостей. Чем уже область отрыва, тем меньше лобовое сопротивление. С целью ь) Если обратьпь направление течения, то модуль и направление силы Рт не изменятся. В обрашенном течении сила Р» направлена против течения, т.
е. «лобовое сопротиы»снись отрицательно. Это случай, который имелся в виду в сноске па с. 52З как теоретически возможный, 525 НРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ 100 уменьшения лобового сопротивления самолетам, судам, автомоби- лям и прочим быстроходным самодвижущимся аппаратам придают «обтекаемую форму». й 101. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ 1. Отвлечемся на время от механизма возникновения силы Р, с которой стационарный поток несжимаемой жидкости действует на неподвижное тело, и применим к этой проблеме методы теории размерности.
Сила Р зависит от формы и размеров тела, от ориентации его по отношению к потоку, от скорости потока Р (на «бесконечности»), а также от свойств жидкости. Ориентацию крыла самолета принято характеризовать углом атаки, т. е. углом между плоскостью крыла и направлением полета. Не будем вводить явно такие параметры, предполагая, что мы имеем дело с телами не только геометрически подобными, но и подобно расположенными. Свойства жидкости характеризуются ее плотностью р и вязкостью ть Таким образом, должна существовать функциональная связь между величинами Р, и, р, 21, 5, где 5 — характерная площадь поперечного сечения тела, Корень квадратный из нее Р 5 = 1 может служить характерным линейным размером тела.
Из этих пяти величин можно составить две независимые безразмерные комбинации, За таковые Р »1» можно принять, и число Рейнольдса Ве = ~ —. Согласно правилу Р»25 ч размерности одна из этих комбинаций является функцией другой. В результате получим 2 Р = ~ — 5С1ие), 2 (101. 1) или 2— 5С»1ие) (101. 2) = "2 — 5С„1йе). (101.3) Безразмерные коэффициенты С»(Йе) и С,,(йе) называются соответственно коэффициентами лобового сопротивленил и подьемной силы.
Оба они являются функциями числа Рейнольдса и зависят от формы тела и его ориентации по отношению к потоку. Теоретическое вычисление этих коэффициентов затруднительно, они обычно определяются опытным путем. 2. При больших числах Рейнольдса лобовое сопротивление Р,.
обусловлено почти исключительно разностью давлений. Если обтекаемое тело имеет сзади заостренные края, то отрыв течения за телом происходит в одном и том же месте, положение которого не зависит от скорости потока. (Примером может служить пластинка, мкхлникл жидкоствй и глзов 526 (гл.
хп поставленная перпендикулярно к направлению потока. Отрыв течения происходит на ее краях.) В этих случаях коэффициент лобового сопротивления приблизительно постоянен, а само лобовое сопротивление пропорционально квадрату скорости и. Понять это проще всего, если воспользоваться идеализированной картиной разрывного течения (рис. 2б5), Действительно, если при всех скоростях отрыв течения происходит в одном и том же месте, то характерная плошадь поперечного сечения 5 не зависит от скорости. С другой стороны, разность давлений перед и за телом по закону Бернулли равна 1'г рпг, Отсюда и получается формула (101.2) с постоянным коэффициентом С,. При больших скоростях о порядка скорости звука и выше коэффициенты Сх и С, зависят не только от числа Рейнольдса Р.е, но и от числа Маха М.
3. Рассмотрим теперь случай малых чисел Рейнольдса. В этом случае основной интерес представляет сила лобовою сопротивления Г,. Инерция, а с ней и плотность жидкости не играют существенной роли, сила Ех определяется почти исключительно вязкостью.
Поэтому плотность р должна выпадать из формулы (101.2). Это будет тогда и только тогда, когда коэффициент лобового сопротивления обратно пропорционален числу Рейнольдса, т. е. А С где А — безразмерная постоянная. Подставляя выражение для Ре, получим Гх = Ат)(ш (101.4) Эта формула справедлива при малых числах Рейнольдса (Ре((1), так как она выведена в предположении, что влияние инерции жидкости пренебрежимо мало по сравнению с влиянием вязкости.
Коэффициент Л зависит от формы тела и его ориентации относительно потока. Его теоретическое вычисление довольно кропотливо и требует интегрирования уравнений движения вязкой жидкости. Джорджем Стоксом (1819 — 1903) было показано, что А = бп, если за характерный размер ! принять радиус шара а. Таким образом, получается Формули Стокса (101.5) Е„= бит)ап Так как формула (101.5) получила широкие применения в очень важных физических опытах (определение заряда электрона методом Милликена, броуновское движение и пр.), то имеет смысл более подробно выяснить на конкретных примерах границы ее применимости. В опытах американского физика-экспериментатора Роберта Милликена (1868 в 1953> по определению заряда электрона формула Стокса (101.5> применялась к капелькам масла, падавшим в воздухе под действием силы тяжести. Если >н — масса капли, то при установившемся равномерном па- 527 1021 ноткнцилльныв и ВихРЫВые дВижения денни вес капли тд должен уравновешиваться силой вязкости бл?)ар, а потому !не = бачи (архимедовой подъемной силой пренебрегаем).
Если ров плотность масла, то масса капли т = 4В ла'ро. Используя зто значение, находим сначала скорость капли и, а затем и число Рейнольдса ? Еа? 2 Р Рроя йе = ,1 Ч ? где р — плотность воздуха. Условие применимости формулы Стокса ке сс 1 дает а (< — — в —. Ррая Подставляя сюда 11 = 1,8 10 4 г/(с см), р = 1,29 10 з г?смз, рз — — 0,9 г?см~, найдем, что для применимости формулы Стокса должно выполняться условие а <(0,05 мм.
Формулу можно применять для мельчайших капелек тумана. Однако о применении ее к каплям дождя, даже самым мелким, не может быть и речи. В качестве второго примера возьмем капельки ртути, падающие в жидкости под действием собственного веса. По скорости установившегося падения капли можно вычислить вязкость жидкости. Это дает практический метод измерения вязкости. В рассматриваемом случае надо учитывать архи- медовУ выталкивающУю силУ. Если Рз — плотность РтУти, Р и т)— плотность и вязкость исследуемой жидкости, то для применимости формулы Стокса необходимо выполнение условия ? аз«ч — в— 2 <р,-р)рх' Для воды ?1 = 0,010 г?'(с см), и мы получаем а « 0,15 мм. й 102.
ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ И ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ 1. Все движения жидкостей подразделяются на поте?!?(иальные и вихревые. Рассмотрим поле скоростей жидкости ч(г) в какой-то фиксированный момент времени. Возьмем в жидкости произвольный замкнутый контур С и на нем установим положительное направление обхода (рис. 267). Пусть т — единичный ?!в вектор касательной, а 11з — элемент длины контура, проведенные в положительном направлении.
Интеграл Г = ф о, 4(х= ф (ч ?й) (102.1) называется циркуляцией вектора скорости по Рис. 2б7 контуру С. Если циркуляция скорости по любому замкнутому контуру обращается в нуль, то движение жидкости называется потенциальным. В противном случае движение называется вихревых!.
мкхлникл жидкоствй и глзов 528 !гл. хп При этом предполагается, что область пространства, в которой течет жидкость, односвязна. Это значит, что любой замкнутый контур в такой области непрерывной деформацией может быть стянут в точку, не пересекая при этом обтекаемые тела. Если же область не односвязна (например, жидкость, обтекающая тор), то приведенные определения необходимо дополнить следующими замечаниями. В качестве С с,~ следует брать не все контуры, а только произвольные замкнутые контуры, которые непрерывной деформацией могут быть стянуты в точку, не выходя при этом за границы жидкости.
Важным случаем может служить так называемое плоское течение, являющееся идеализацией действительных течений. Пусть обтекаемое тело является бесконечно длинным цилиндром с произвольным поперечным сечением, а жидкость течет перпендикулярно к оси Рнс. 268 этого цилиндра. Тогда достаточно ограничиться рассмотрением течения в одной из плоскостей, перпендикулярных к той же оси. Течение в этой плоскости и называется плоским.
Оно будет потенциальным, если циркуляция скорости обращается в нуль по любому замкнутому контуру, не охватываюгцему обтекаемый цилиндр, например контур С, (рис. 268). Но циркуляция по контуру С, окружающему цилиндр, может и не обращаться в нуль. Нетрудно показать, что при потенциальном течении циркуляция Г будет одной и той же для всех замкнутых контуров, обходящих вокруг цилиндра один раз. Если Г ~0, то говорят о потенииальном течении с циркуллиией. 2. Определение потенциального течения совершенно аналогично определению консервативных сил (см.
8 24). Поэтому при потенциальном течении линейный интеграл ~ (чаз), взятый вдоль незамклв нугой кривой, соединяющей точки А и В, зависит только от положения крайних точек этой кривой А и В, но не зависит от формы самой кривой АВ. Рассуждая так же, как в случае потенциальной энергии, можно ввести функцию координат р, через которую скорость ч выражается формулой (! 02.2) ч= 8гад р (см. з 29). Функция у называется потенциалом скоростей.
Примером потенциального течения может служить течение жидкости вдоль параллельных прямых линий с постоянной скоростью, Можно показать, что всякос течение идеальной жидкости, возник- 529 нотснциАльные и ВихгеВВ1е дВижения 102! где à — циркуляция вектора т вдоль рассматриваемого контура. 4. В качестве второго примера рассмотрим плоское течение жидкости параллельно оси Х, когда скорость потока меняется в поперечном направлении по линейному закону вк = ау (рис. 270). Чтобы убедиться в вихревом характере течения, возьмем прямоугольный контур АВС17 со сторонами, параллельными координатным осям.
Циркуляция скорости по этому контуру будет Г = (х2 — х,) (в! — о2) = — а(х2 — х,) (у2 — у,). Ее отношение к площади контура Л5 = (х2 — х1) (у2 — у1) или ро тор скорости я будет го1. ч= — и, или дв, го1 ч = — — '. ау' (102.4) Если и, меняется с координатой у не по линейному закону, а про- извольно, то формула (102.4) остается верной, однако го1. т стано- вится функцией координаты у. шее из состояния аок1т иод действиел консерввтивных сил, является потенциальныл.
3. Примером вихревою движения может служить плоское течение жидкости, когда частицы последней вращаются по концентрическим окружностям с одной и той же у~лозой скоростью со (рис. 269), Циркуляция скорости по окружности радиуса г в этом случае равна Г = 2ягв = 2яг292, ее отношение к плошади контура яг2 будет Г/(яг2) = 2со, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
