Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 119
Текст из файла (страница 119)
г (97.5) Формула Пуазейля справедлива только для лиминарных течений жидкости. Ламинирным называется такое течение, когда части- Рисход жидкости пропорционален разности давлений Р! — Рг, четвертой степени радиуеи трубы и обратно пропорционален длине трубы и вязкости жидкости. Эти закономерности были установлены экспериментально и независимо друг от друга в 1839 г. Гагеном и в 1840 г. французским физиком Жаном Пуазейлем (1799 — 1869). Гаген исследовал движение воды в трубах, Пуазейль — течение жидкостей в каппилярах.
Формула (97.4) называется формулой Пуазейля, хотя сам Пуазейль и не выводил ее, он исследовал вопрос только экспериментально. На формуле Пуазейля основан один из экспериментальных методов определения вязкости жидкостей. Формулу (97.4) можно представить в виде Ц= рлЯг.но/2. С другой стороны, можно ввести среднюю скорость потока д, определив ее с помощью соотношения Д= рлЯги. Сравнивая эти два выражения, получаем мвхлникл жидкоствй и глзов 508 1гл. хп цы жидкости движутся вдоль прямолинейных траекторий, параллельных оси трубы. (Более общее определение, применимое для любых течений, дается в з 98.) При больших скоростях ламинарное течение становится неустойчивым и переходит в турбулентное течение, с которым мы познакомимся в з 98. К турбулентным течениям формула Пуазейля неприменима. 3. Кинетическая энергия, ежесекундно переносимая потоком жидкости через поперечное сечение трубы, определяется выражением 2 К = ~ с — 2ягс Й'.
2 о Подставив сюда значение для с и выполнив интегрирование, получим 40 о 0( ) (97.6) Работа, ежесекундно производимая над жидкостью разностью давлений Р, — Рз, определяется выражением А = ~ с (Р, — Рз) 2яг а'г, или '1 Р2 я1= Ц. (97. 7) Р Такую же по значению, но противоположную по знаку работу производят силы вязкости, так как при стационарном течении кинетическая энергия жидкости остается неизменной: А' = — А. С помощью формулы (97.3) можно исключить разность давлений Р, — Р и получить (97.8) рд Полученные формулы позволяют ответить на вопрос, когда при течении жидкости по трубе можно пренебречь силами вязкости и, следовательно, применять уравнение Бернулли.
Для этого, очевидно, необходимо, чтобы потеря кинетической энергии жидкости, обусловленная действием сил вязкости, была пренебрежимо мала по сравнению с кинетической энергией самой жидкости, т. е. (А') «К. Это приводит к условию »1. (97.9) Здесь буквой т обозначена так называемая кинечатическая вязкость, т. е. отношение (97.10) Р Величину Ч, когда надо отличать ее от я, называют Динамической вязкостью.
4. Законы, установленные Пуазейлем, могут быть в общем виде получены методом размерностей. Достоинство этого метода состоит ФОРМУЛттт!УЛЗЕЙЛЯ 509 1 971 в том, что он применим к прямолинейным трубам произвольного поперечного сечения, а не только к цилиндрическим трубам. Требуется только, чтобы нормальные поперечные сечения всех труб были геометрически подобраны. Эти сечения могут отличаться друг от друга только размерами. Для каждого поперечного сечения можно установить характерный размер, За таковой можно принять, например, его периметр или корень квадратный из плошади. Можно также поперечные сечения всех труб геометрически подобно рассечь на две части прямолинейными отрезками.
Длины таких отрезков тоже могут служить характерными размерами. Например, в случае трубы эллиптического сечения за характерный размер можно взять длину большой или малой оси соответствующего эллиптического сечения. Но можно взять и другие отрезки, характеризующие размеры эллипса. Заданием характерного размера определяются и все прочие размеры поперечного сечения трубы. При вттводе законов Пуазейля, равно как при исследовании любого вопроса методом размерностей, основной пункт состоит в том, чтобы установить физические величины, связанные между собой функциональной зависимостью. При стационарном ламинарном течении жидкости по трубе силы вязкости уравновешиваются градиентами давлений.
В уравнения движения входят эти градиенты, а потому разность давлений Р, — Р и длина трубы 1 могут войти только в комбинации (Рт — Рт)(й Поскольку жидкость движется без ускорения, характер течения не может зависеть от плотности жидкости. Плотность р и расход жидкости Ц могут войти лишь в комбинации Д/р, так как последняя есть чисто геометрическая величина и равна объему жидкости, ежесекундно протекающему через поперечное сечение трубы. Добавив сюда еще вязкость жидкости т1 и характерный поперечный размер трубы а, получим четыре величины. а и, т1, р' ! между которыми должна существовать функциональная связь. Вместо а можно взять плошадь поперечного сечения трубы о. Применяя общий метод нахождения безразмерных комбинаций (см.
з 87, п. б), нетрудно убедиться, что из рассматриваемых величин можно составить только одну независимую безразмерную комбинацию, а именно Д / т5 р Р,— Рт 52' Следовательно, такая комбинация должна быть постоянной. Обозначая эту постоянную через С, получим Р,— Р, а=С ', 'рбг (97.11) В этой формуле содержатся все законы Пуазейля. Она является обобщением формулы (97.4) на случай прямолинейных труб произ- механика жидкоствй и газов 510 (гл. хп ЗАДАЧИ 1.
Определить стационарное течение вдоль оси и расход несжимаемой жидкости между двумя коаксиальными цилиндрами с внутренним радиусом Яп внешним Нз и длинои 1. Решен не. Рассмотрим кольцевой слой жидкости с внутренним радиусом г и внешним г + г(г. Сила вязкости, действующая па него в направлении течения, равна (Индексы г и г+ Дг означают, что величины, заключенные в круглыо скобки, должны быть вычислены при значениях радиусов г и г + г(г соответственно.) В том же направлении действует сила разности давлений (Р1 — Рз) 2лг 4(г.
При стационарном течении сумма обеих сил обращается в нуль. Это приводит к уравнению — ~г — „) = — ' 'г. (97.12) Рсшенис егщ обращающееся в нуль при г = Яг и г = Яж есть г е= Ят — г + 1и— г з 41Ч [ 1и (Яг)Я,) Яг) Расход жидкости дг11 ~ 1и (Я )Я,) 2. Показать, что при ламинарном стационарном течении несжимаемой жидкости вдоль прямолинейной трубы с произвольным поперечным сечением и длиной 1 скорость жидкости гг удовлетворяет уравнению (97.13) дг дг и1 (Координатная плоскость УЛ перпендикулярна к оси грубы, оси У и 2 взаимно перпендикулярны и ориентированы произвольно.) У к а з а н и е.
Взять произвольный бесконечно тонкий прямоугольный параллелепипед жидкости длиной 1 с ребрами, параллельными координатным осям, и написать условие обращения в нуль действующих па него сил вязкости и разности давлений, подобно тому как зто делалось при выводе уравнения (97.12). 3. Определить скоросгь течения и расход жидкости в трубе эллиптического сечения. вольного поперечного сечения. Постоянная С зависит от формы поперечного сечения трубы и не может быть определена методами теории размерности. Для ее нахождения необходимо обратиться к опыту или к динамическим методам, т.
е. к интегрированию уравнений движения. 511 ЗАКОНЫ ГИДРОДИИАМИЧЕСКОГО ПОДОБИЯ а 98! Р е ш е н и е. Эта задача относится к типу задач, решаемых методолг угадывинил. Угадывается вид решения дифференциального уравнения (97.13), а затем коэффициенты в этом решении подбираются так, чтобы удовлетворить граничному условию на стенке трубы: г = О.
Направим координатные оси у и 2 вдоль главных осей нормального эллиптического поперечного сечения трубы и будем искать решение в виде г = Ау + Вгг+ оо. Это выражение удовлетворяет уравнению (97.13), если 2А+ 2В =— 11 На внутренней поверхности эллиптической трубы о = О, т. е.
Аут + + Вгг+ но — — О. Это уравнение должно переходить в уравнение эллипгичег г ского сечения трубы 2 — + = — 1 = О, а потому ог Ьг оо "о А= — —, В= — —. о',г' Для определения постоянных А, В, но получилось три линейных уравнения. Решая их, находим р — р гво (97.14) гьг те (97.15) Постоянная цо есть, очевидно, скорость течения на оси трубы. Вычислим теперь расход жидкости.
Поверхности, на которых скорость н постоянна, суть эллиптические цилиндры л-+ = ,г Ь,г полуоси которых определяются соопюшениями 2 2 'о 2 2 'о оа оо Возьмем два таких эллиптических цилиндра с бесконечно близкими значениями параметра г. Площадь нормального сечения мегкду ними 425 = сг(яа Ь ) = — я —" ойг. Расход жидкости: то о Д=р ~ о55= — р — '~ого(гг, "о или 1 Д = — рлалгг,г.
2 (97.16) В 98. ЗАКОНЫ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ПОДОБИЯ 1. Рассмотрим поток жидкости, обтекающий какое-нибудь тело или систему тел. Наряду с этой системой можно ввести бесконечное мвхлникл жидкоствй и глзов 512 !гл. хп должна существовать функциональная связь. Из них можно составить шесть независимых безразмерных комбинаций. Сюда относятся два отношения ч/чв, гЛ и еще четыре безразмерных числа: Ре = (98.1) г ьо Е= —, х/' (98.2) "о М=— с' (98,3) ьо' 5 = —. (98.4) Согласно правилу размерности одна из этих безразмерных комбина- ций является функцией остальных, например — =1 ~ —,Ке, Е,М,5 чо (98.5) нли ч=ьо1 —,Ве, Е,М,5 — о (98.6) множество подобных и подобно риспалаженных тел, обтекаемых другими жидкостями.
Каким условиям должны удовлетворять параметры потока и постоянные, характеризующие свойства жидкостей (плотность, вязкость и пр.), чтобы оба потока были мехинически подобны? Если подобие имеет место, то, зная картину течения для первой системы тел, можно однозначно предсказать течение жидкости и для другой, геометрически подобной, системы тел.
Это имеет важное значение в судостроении и самолетостроении, Вместо реальных кораблей или самолетов испытывают их уменьшенные геометрически подобные модели, а затем путем пересчета определяется поведение реальных систем. Простейший метод решения поставленной задачи дает теория размерностей, Исследуем вопрос в общем виде, Пусть г и ч — радиус-вектор и скорость жидкости в подобно расположенных точках,? — характерный размер, а чр — хириктерная скорость потоки, например скорость жидкости, с которой она нз «бесконечности» натекает на рассматриваемую систему тел. Свойства жидкости характеризуются ее плотностью р, вязкостью д и сжимаемостью.
Вместо сжимаемости можно пользоваться скоростью звука в рассматриваемой жидкости. Если существенна сила тяжести, то последняя характеризуется ускорением свободного падения я. Если течение не стационарно, то надо ввести какое-то характерное время т, за которое происходит заметное изменение течения. Ввиду наличия уравнений движения между величинами ч, ов, г,?, Р, В, с, Я, т 515 ЗЛКОНЬ> ГИДРОДИНАМИЧКСКОГО ПОДОБИЯ 9 981 Если для двух течений пять из шести безразмерных комбинаций, перечисленных выше, совпадают, то оудут совпадать и шестые. Это — общий закон подобия течений, а сами течения называются механически или гидродинамически подобнылпи 2.
Величина (98,1) называется числом Рейнольдса (по имени английского физика Осборна Рейнольдса (1842 — 1912), величина (9б.2) — числом Фруда (по имени английского ученого Фруда), величина (98,3) — числом Маха (по имени австрийского физика Эрнста Маха (1838 †19)), величина (98,4) — числом Струхаля (по имени чешского физика В. Струхаля). Физический смысл чисел Маха и Струхаля не требует пояснений. На физическом смысле чисел Рейнольдса и Фруда необкодимо остановится подробнее. При этом само собой станет ясным, что оба эти числа безразмерные. По порядку величины число Рейнольдса есть отношение кинетической энергии жидкости к потере ее, обусловленной рабан>ой сил вязкое>пи на характерной длине. Лействительно, кинетическая энергия жидкости 1С (гг ри>~1>.
Силу вязкости найдем, умножая вязкое напряжение >1оь/1 на характерную площадь 1>. Это дает Чсв1. Произведение этой силы на характерную длину определяет по порядку величины работу сил вязкости Л >1ив1 . Отношение кинетической энергии Х к работе А будет Р> "о А а это и есть число Рейнольдса. '1исло Рейнольдса, такил> образом, определяет относигпельнун> роль инерции и вязкости жидкости при течении. При больших числах Рейнольдса основную роль играет инерция, при малых — вязкость, Число Рейнольдса, конечно, определено не вполне четко, поскольку оно содержит характерную длину и характерную скорость, которые сами определены не четко.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
