Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 115
Текст из файла (страница 115)
з 89, п. 6). Единственные поверхностные силы, которые могут действовать в идеальной жидкости, — это силы нормального давления Р. При этом само давление Р однозначно определяется плотностью и температурой жидкости. Для упрощения жидкость считается также несжимаемой. 2. Рассмотрим стационарное течение идеальной жидкости в каком-либо консервативном силовом поле, например в поле силы тяжести. Применим к этому течению закон сохранения энергии.
При этом будем полностью пренебрегать теплообменом, который может происходить ме1кду частями жидкости с окружающей сре! дой. Выделим в жидкости бес- 19! конечно узкую трубку тока и рассмотрим часть жидкости, за- ы! Р и! нимающую объем М!уРС и! (рис. 239). Пусть эта часть переместилась в бесконечно близ- ' с! кое положение М!1у'!Р!С!. Вычислим работу А, совершаемую при этом силами давления. Давление, действующее на боковую поверхность трубки тока, перпендикулярно к перемещению и работы не совершает. При перемещении границы М1!! в положение М!1!!! совершается работа .А, = Р!8Д, где /! = ММ, — величина перемещения.
Введя объем !1! г' = 51/1, ее можно представить в виде а!!в А, = Р!!хЬ'! или А, = Р,, где !х!т — масса жидкости в объеме Р! МЛ!!у'!М1, При перемещении границы СР в положение С,Р, жид- Рис, 239 Скорость жидкости в одной и той же трубке тока тем больше, чем уже поперечное сечение трубки. Она обратно пропорциональна пло- шади этого поперечного сечения, МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ 490 1гл.
хп кость совершает работу против давления Рг (или давление Рг совершает над жидкостью отрицательную работу). Для нее, рассуждая багге аналогично, найдем Аг = Рг —, где Лгт — масса жидкости в объР2 еме СРР,СИ Но если движение стационарно, то масса жидкости в объеме М,Ж,17С не изменится, а потому из закона сохранения массы получим Л,т = Лгт.
Опуская индексы у Лт, для работы, совершаемой внешним давлением, окончательно находим (~, 2',) А=А — А = ~ — — — Лт. 2 1Рг Рг) Эта работа должна быть равна приращению ЬЕ полной энергии выделенной части жидкости. Ввиду стационарности течения энергия жидкости в объеме М,Б'2.ОС не изменилась. Поэтому величина ЛЕ равна разности энергий массы жидкости Лт в положениях СРР,С, и МЛ2гг2,Мг. Обозначая через с полную энергию, приходящуюся на единицу массы жидкости, находим ЛЕ= (сг — с,)6222. Приравнивая эту величину работе А и сокращая на Лт, получаем ег + — = ег+ —.
Рг Рг (94.1) Р1 Р2 Отсюда следует, что вдоль одной и той же линии тока при стационарном течении идеальной жидкости величина е+ Р7р оста- етс 2 посто гннои с+ — = В = сопз1. (94.2) Р Это соотношение называется уравнением Бернулли (по имени математика и физика Даниила Бернулли (!700 — 1782), который впервые опубликовал его в 1738 г.). При выводе уравнения Бернулли мы нигде не использовали предположения о несжимаемости жидкости.
Поэтому оно справедливо и для сжимаемых жидкостей. Требуется только, чтобы жидкость была идеальной, а течение — стационарным. Однако разбор и применения уравнения Бернулли для сжимаемых жидкостей и газов мы отложим до второго тома, так как это требует знания явного выражения для энергии с. Здесь ограничимся рассмотрением несжимаемых жидкостей, движущихся в поле тяжести Земли.
Именно в этих предположениях уравнение (94.2) было установлено самим Бернулли. Если жидкость несжимаемая, то при течении не меняется та часть полной энергии е, которая зависит от сжатия жидкости. Эту часть поэтому можно не принимать во внимание. Вся энергия складывается из кинетической энергии единицы массы жидкости 02/2 и ее потенциальной энергии «72 в поле тяжести. В этом случае уравнение Бернулли принимает вид — + дй + — = В = сопзй (94.3) 491 УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ 4 941 3. Подчеркнем еще раз, что постоянная Бернулли В одна и та же вдоль одной и тои же линии тока. Однако она, вообще говоря, может меняться при переходе от одной линии тока к другой. Но могут быть и такие случаи, когда постоянная Бернулли одна и та же для всего потока жидкости.
Отметим один, довольно часто встречающийся случай, когда это имеет место. Допустим, что все линии тока начинаются или оканчиваются в такой области, где жидкость практически находится в состоянии покоя. Возьмем одну из точек линии тока в такой области, Тогда в уравнении (94.3) следует положить и = О, и мы получим В = уй + Р)р. Но во всей области, где жидкость покоится, соблюдается условие равновесия йй + Р/р = сопзн Отсюда видно, что постоянная Бернулли В в рассматриваемом случае одна и та же для всего потока жидкости.
Более общим является случай, когда в некоторой области пространства несжимаемая идеальная жидкость движется параллельным потоком в любом направлении с постоянной скоростьго ос, а затем параллельность потока нарушается препятствиями, стоящими на его пути, или вследствие расширений или сужений трубы или русла, по которым течет жидкость. В этом случае постоянная Бернулли В также одинакова для всех линий тока. Чтобы убедиться в этом, достаточно перейти к системе отсчета, равномерно движущейся относительно исходной со скоростью и„.
4. Допустим теперь, что тонкая трубка тока имеет переменное поперечное сечение, а ось ее горизонтальна, (Примером может служить горизонтальная труба переменного сечения, по которой течет жидкость.) Тогда и = сопзб и уравнение Бернулли принимает вид г — + — = сопзн (94.4) Отсюда видно, что давление больше там, где меньше скорость и, и наоборот. С другой стороны, согласно соотношению (93.3) скорость и минимальна там, где максимально сечение трубки. Значит, в широких частях трубки давление максимально, а в узких минимально. Такой результат является непосредстНьютона. Действительно, когда жидкость из широкой части течет в узкую (рис, 240), то скорость ее возрастает. Рис.
240 Значит, ускорение направлено в сторону течения, т. е. на рис. 240 слева направо. Это ускорение сообщается разностью давлений, действующих на рассматриваемую часть хсидкости слева и справа. Следовательно, давление слева, т. е. в более широкой части трубки, должно быть болыпе, чем справа, где трубка уже. 5. Пользуясь уравнением (94.4), можно дать ответ на вопрос, когда при течении жидкость или газ можно считать несжимаемыми, хотя более строгое доказательство должно основываться на уравнении Бернулли в более общей форме (94.2). Давление и скорость те- МЕХЛНИКЛ ЖИДКОСТЕЙ И ГЛЗОВ 492 1гд. хп чения в двух точках 1 и 2 на одной и той же линии тока связаны соотношением ЛР вя Рг — Рг — — к (ог1 — о~~). 2 С другой стороны, г~р=-Й ~гР= — АР, сг 1 др г где с — скорость звука (см. з 85, и.
1). Для того чтобы при течении жидкость можно было рассматривать как несжимаемую, необходимо выполнение соотношения ( ггр) «р при любом выборе точек 1 н 2. Это приводит к условию (94.5) )нг нг( «сг т. е. изменение квадрата скорости течения жидкости должно быть мало по сравнению с квадратом скорости звука. Если течение отнести к системе отсчета, в которой жидкость в какой-либо точке покоится, то условие (94.5) упрощается и принимает вид нг«с (94.6) т. е. во всем потоке квадрат скорости течения должен быть малым по сравнению с квадратом скорости звука, Если при течении меняется высота Ь, то с помощью уравнения (94,3) нетрудно показать, что помимо (94.5) требуется дополнительное условие (94.7) дай«сг, выполнение которого необходимо, чтобы жидкость или газ могли рассматриваться как несжимаемые.
6. Опишем несколько опытов для иллюстрации уравнения Бернулли. На рис. 241 изображена труба переменного сечения, через которую пропускается воздух. О давлении воздуха в трубе можно судить по уровням воды в Рис. 241 стеклянных маномегрических трубках, соединенных с ней, как показано на рис.
241. Оказываегся, что в трубках, соединенных с узкими частями тру- 493 УРЛВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ 4 94) г г г, Р г Р + — + 2 р 2 р' Кроме топь Мг — — рт г5, = рвг52. Определив отсюда гй и ог и подставив их в предыдущее соотношение, получим 2р(Р Рг) (94.8) 1гг г 2 7.
Возьмем резиновую трубку, надетую на суживающийся стеклянный наконечник, и будем продувать через нее воздух (рис. 242, вид сверху). Давление воздуха в узкой части наконечника и в выходягцей из него струе будет меньше атмосферногш Поднесем струю сбоку к легкому полому целлулоидному шарику, подвешенному на нити. Шарик втягивается в Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
