Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 111
Текст из файла (страница 111)
Сюда относятся так называемые аиорг77ные твердые тели. Например, кусок сапожного вара или асфальта разбивается на мелкие части, если его ударить молотком. На асфальте можно стоять и по нему можно ходить. Но асфальт вытекает из бочки в течение недель или месяцев. Скорость вытекания сильно увеличивается с температурой. Стеклянная палочка, положенная своими концами на две опоры, прогибается, если подо7хдать достаточно длительное время (месяцы или годы), причем ее прогиб не исчезает по прекращении действия силы тяжести. Эти примеры показывают, что нельзя провести резкое разграничение между жидкостями и аморфными твердыми телами.
Истинно твердыми телами являются только кристиллы. Впрочем, говоря о жидкостях, мы всегда будем иметь в виду жидкости, не обладающие аномально большой вязкостью, когда отличие их от аморфных твердых тел выступает вполне отчетливо. й 90. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ И ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙ 1. Силы, действующие в жидкости, как и во всякой другой сплошной среде, обычно разделяются на силы массовые (объемные) и силы поверхностные. Массовая сила пропорциональна массе ат, 4 УШ УРАВНЕНИЯ РАВНОВВСИЯ И ДВИЖВНИЯ ЖИДКОСТЕЙ 473 а с ней и объему а17г элемента жидкости, на который она действует. Эту силу можно обозначить как 1 д7г, называя Г объемной плотностью массовых сил.
Важнейшими примерами массовых сил являются сила тяжести и силы инерции (когда движение рассматривают в неинерциальных системах отсчета). В случае силы тяжести т = ря, где р — плотность жидкости, а  — ускорение свободного падения, Поверхностные силы — это такие силы, которым подвергается каждый объем жидкости благодаря нормальным и касательным напряжениям, действующим на его поверхности со стороны окружающих частей жидкости. 2. Рассмотрим случай, когда касательных напряжений нет, а есть только силы нормального давления. В идеальной жидкости это будет всегда, т, е, при любых движениях.
В остальных случаях— тогда, когда жидкость покоится, т, е. в гидрогтатике. Определим равнодействующую сил давления, действующих на бесконечно малый элемент объема жидкости Л'. Сначала найдем проекцито этой равнодействующей на направление координатной оси Х. Возьмем в качестве элемента а"Р' бесконечно малый цилиндр с площадью оснований с7о и длиной а1х (рис. 230), ориентированный вдоль оси Х. Абсциссы оснований цилиндра обозначим соответственно через х и х+ а1х.
Сила давления, действующая на первое основание, равна Р(х) о(5, на второе — Р(х + г(х) а1о. В скобках у Р указано значение аргумента х, от которого Р зависит. Конечно. Р может зависеть и от координат у, г, а также от времени К Но все эти аргументы не меняются при переходе от одного основания цилиндра к другому, а потому в рассматриваемом нами вопросе могут считаться постоянными. При желании поперечные размеры цилиндра можно взять бесконечно малыми высшего порядка по сравнению с длиной дх. А тогда у и г могут рассматриваться постоянными не только при смешениях вдоль цилиндра, но и поперек.
Силы давления, Х действуюшие на боковую Рсгоох1 поверхность цилиндра, перпендикулярны к оси Х, а Рис. 230 потому при вычислении составляющих вдоль этой оси роли не играют. Итак, проекция сил давления на ось Х, действующих на рассматриваемый элемент обьема жидкости, равна (Р(х) — Р(х + г7х)) дБ. Бесконечно малую разность в квадратных скобках можно заменить дифференциалом функции Р: Р(х + а1х) Р(х) дР ооон дх, о=ооои о=сооо1 о=ооон мвхлникл жидкоствй и глзов 474 !гл. хп Дополнительные условия у = сопзц г = сопз1, Г = сопя~ указывают а'Р на то, что при взятии производной — и дифференциала Л' коордиех наты у, г и время г должны рассматриваться как постоянные.
Производная функции Р(х, у, з, 7), взятая при таких дополнительных условиях, как известно, называется частной производной и обозна- дР чается через —. Используя это ооозначение, получаем для вычисдх' ляемой проекции силы — — Ю ах = — —. а1', дР дР дх дх дР дР дР х дх У дг а дх (90.1) Сам вектор з равен дР .
3 дР . дР (90.2) — 1 дх ду дс или сокращенно (90.3) з = — ягай Р. Мы ввели обозначение агай Р— = — 41+ 1 1+ —, й. дР . дР . дР дх ду дс (90.4) Этот вектор называется градиентом скаляра Р (см. также з 29). Таким образом, объемная плотность з результирующей сил давления, действуюи1их на элементы объема жидкости, равна градиенту Р, взятому с противоположным знаком. Мы видим, что сила з обусловлена не значением давления Р, а его прпстранстеенньичи изменениями. Величина Р также существенна, Она определяет степень сжатия жидкости в рассматриваемой точке пространства. 3. В состоянии равновесия сила з должна уравновешиваться массовой силой 1.
Это приводит к уравнению ягас1 Р= 1, так как а5 гйх = а1'. Эта проекция, таким образом, пропорциональна элементу объема а1г, и ее можно обозначить как зяа1г. Величина х„есть х-составляющая силы, действующей на единицу объема жидкости, которая возникает из-за изменения нормального давления Р в пространстве.
По самому смыслу она не может зависеть от формы элемента а1'. Мы взяли й1' в виде цилиндра только потому, что таким путем достигается наибольшая простота и наглядность вычисления. Можно таким же путем найти проекции к, и з, выбирая в качестве а1г элементарные цилиндры, ориентированные параллельно координатным осям У и е,. В результате найдем, что на единицу объема жидкости действует сила з, обусловленная поверхностными силами давления, точнее, их изменениями в пространстве. Ее проекции равны Гидгос!'Атика ньсжиьслгзсОЙ жидкости 475 1 чс] которое является основным уравнением гидростатики.
В координатной форме оно имеет вид ВР ЗР 'вР (90.б) Можно написать и основное уравнение гидродинамики идеальной жидкости. В этом случае формула (90.3) также применима, а потому мы получаем р — '", =1 — ассад Р, (90.7) Примером может служить проводящая жидкость, помещенная в магии~нос поле, когда через нее проходит электрический ток, В этом случае со стороны магнитного поля на жидкость действует сила 1 = С[]В[, где  — индукция магнитного поля, ] — плотность тока, а С вЂ” числовой коэффициент, значение которого зависит от выбора единиц. Поместим цилиндрический сосуд с раствором электролита (нанример, СнЯОс) над одним из полюсов сильного электромагнита (рис. 23!).
Вдоль оси цилиндра расположен цилиндрический проводник. Между ним и боковой В стенкои сосуда наложим электрическое напря- Рис. 23! жение в несколько вольт. В электролите вдоль радиусов цилиндра потечет электрический ток. Сила 1 = С[]В] будет направлена но касательным к окружностям с центрами на оси цилиндра. Она вызовет вращение жидкости вокруг указанной оси. Вращение будет ускоряться до тех нор, пока силы, действующсис со стороны магнитно!о поля, не уравновесягся силами вязкости.
й 91. ГИДРОСТАТИКА НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 3Р 'дР ЗР 1. Когда с = О, то — = — = — = О. Значит, если нет лсассовых зх зу а сил, то при равновесии давление во всех точках жидкости одина- где т — скорость, а — — ускорение жидкости в рассматриваемой вт ~й точке. Уравнение (90.7) называется уривнением Эйлера. 4. Уравнение (90.5) показывает, что при равновесии жидкости сила 1 (точнее, плотность силы или сила, действующая на единицу объема жидкости) должна выражаться градиентом однозначной скалярной функции. Это есть необходимое и достаточное условие того, чтобы сила 1 была консервативной (см.
з 29). Таким образом, для равновесия жидкости необходимо, чтобы силовое поле, в котором она находится, было консервативным. В неконсервативных силовых полях равновесие невозможно. мехАникА жидкост11Й и глзов 476 !гл. хп ково. Это — закон Паскаля по имени французского ученого Блеза Паскаля (1б23 — 1бб2). В частности, при отсутствии л1ассовых сил жидкость л1ожет находиться в равновесии только тогда, когда внешнее давление на ее поверхность одно и то зсе во всех точках этой поверхности. В противном случае возникнет движение жидкости. При отсутствии массовых сил одинаковое давление на поверхнглсть жидкости возбуждает такое же давление во всех точках внутри жидкости, Если жидкость находится в поле тяжести, то 1 = ря. Направим ось У вертикально вверх.
Тогда основные уравнения равновесия хсидкости примут вид — = — =О, — = — рр. дР дР дР (91. 1) дх ду ' д- Из них следует, что при механическом равновесии давление не может зависеть от .к и у. Оно должно оставаться постоянным в каждой горизонтальной плоскости г = сопз1. Горизонтальные плоскости суть плоскости равного давления. В частности, свободная поверхность жидкости горизонтальна, поскольку она находится под постоянным давлением атмосферы. Таким образом, при механическом равновесии давление может зависеть лишь от координаты г.
Из третьего уравнения (90.1) следует поэтому, что для механического равновесия необходимо, чтобы произведение ре было функцией только г. Так как е не зависит от х и у (зависимостью е от географической широты и долготы места мы пренебрегаем), то, следовательно, и плотность р может меняться только с высотой. В силу уравнения состояния (89.4) давлением Р и плотностью р определяется температура жидкости Т.
Итак, при механическом равновесии давление, темперитура и плотность жидкости являются функ11иями только г и не могут зивисеть от х и у. 2. Допустим теперь, что жидкость однородна и ее можно рассматривать как несжил1аемую (р =сопз1). Кроме того, будем считать постоянным ускорение свободного падения я, пренебрегая его зависимостью от высоты г. Тогда легко интегрируется и последнее уравнение системы (91.1).
В результате такого интегрирования получим (91.2) Р = Ро Рьг. Постоянная интегрирования Рь есть давление жидкости на высоте г = О, т. е. атмосферное давление, если начало координат поместить на свободной поверхности жидкости. Формула 1'91.2) определяет также давление жидкости на дно и стенку сосуда, а также на поверхность всякого тела, погруженного в жидкость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
