Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 107
Текст из файла (страница 107)
Это обстоятельство и не было учтено формулой Ньютона. Ньютон при вычислении скорости звука подставил в формулу (81.5) изогпермический модуль упругости й', а надо было пользоваться идиаоигпическим модулем (см. З 79). Количественное исследование вопроса будет дано в томе П нашего курса. ГЛАВА Х~ МЕТОДЫ ПОДОБИЯ И РАЗМЕРНОСТИ Е 86. РАЗМЕРНОСТЬ И СИСТЕМЫ ЕДИНИЦ 1. До сих пор мы ничего не говорили о размерности физических величин. Мы пользовались этим понятием, предполагая, что читатель имеет некоторое представление об относящихся сюда вопросах.
В задачах, которые мы рассматривали, этого было достаточно. Л1етод размерности весьма эффективен в более сложных вопросах, например в гидродинамике, где полная теоретическая трактовка затруднительна. С привлечением добавочных соображений весьма общего характера или опытных данных он приводит, и притом быстро и просто, к важным результатам, даю1цим предварительную, хотя и неполную, ориентировку в рассматриваемом круге явлений. Поэтому необходимо познакомиться с этим методом. Понятие размерности возникает в связи с построением систем единиц. В принципе можно было бы (так и поступали раньше) для каждой физической величины установить свою единицу, никак не связанную с единицами других величин.
Но тогда в уравнения, выражающие физические законы, вошло бы множество числовых коэффициентов. Их значения не укладывались бы ни в какую простую и легко запоминаемую схему, а определялись бы случайным выбором единиц. Такое множество числовых коэффициентов весьма сильно усложняло бы формулы. Запоминание их было бы нелегкой и в сущности бесполезной нагрузкой для памяти. Во избежание этого в физике уже давно отказались от независимого выбора единиц для всех физических величин, а стали применять системы единиц, построенные по определенному принципу. 2. Принцип этот заключается в следующем.
Некоторые физические величины условно принимаются за основные или первичные, т, е. такие, для которых единицы устанавливаются произвольно и независимо. Так, например, в механике применяется система 1.МТ, в которой за основные величины принимаются длина (1.), масса (М) и время (Т). Выбор основных величин и их число произвольны. Это — вопрос соглашения. Например, в технической механике до недавнего времени применялась система 1.г Т. Основными величинами в ней были длина (1-), сила (Г) и время (Т).
В так называемой Международной системе единиц (сокращенно СИ) за основные приняты семь величин: длина, масса, время, температура, сила электрического тока, сила света и количества вещества. Величины, не являющиеся основными, называются производными или вторичными. Для них едини- 457 РАЗМЕРНОСТЬ И СИСТЕМЫ ЕДИНИЦ 8 8б! цы устанавливаются из требования, чтобы числовые коэффициенты, входящие в физические законы или формулы, служащие определением рассматриваемых величин, принимали определенные, заранее выбранные значения.
Например, скорость равномерно движушейся материальной точки есть величина особого рода, пропорциональная пройденному пути з и обратно пропорциональная времени ц затрачиваемому на прохождение этого пути. При независимом выборе единиц для з, ! и о следует писать в = Св/б где С вЂ” числовой коэффициент, значение которого определяется выбором единиц. Если фиксировать значение этого коэффициента, то единицы для 8, ! и в перестанут быть независимыми. Для простоты полагают С = 1 и пишут о = з/б Если за основные величины принять путь з и время б то скорость о становится величиной производной, За единицу скорости мы обязаны принять скорость такого равномерного движения, когда за единицу времени проходится единица длины.
Говорят, что скорость имеет размерность ллиньц деленной на время. Символически это записывается так: 1и1 = 1.Т '. Аналогично пока единицы выбирааб ются независимо для ускорения а можно написать а = С вЂ”. Полагая т' С = 1, мы делаем ускорение а величиной производной, имеющей размерность скорости, деленной на время, или размерность длины, деленной на квадрат времени.
После этого за единицу ускорения мы обязаны принять ускорение такого равномерно ускоренного движения, когда за каждую единицу времени скорость возрастает на единицу. В произвольных единицах второй закон Ньютона пишется в виде Р = Ста. Фиксируя числовой коэффициент С, мы делаем силу Р величиной производной и устанавливаем для нее единицу. Например, при С' = 1 получаем Р = та.
После этого сила получает размерность массы, умноженной на ускорение: !"Р! = [та! = МЕТ 8. Формула Р = та обязывает нас за единицу силы принять такую силу, которая массе в одну единицу сообщает ускорение, равное единице. 3. Размерность физической величины еще не определяет, как велика ее единица. Она устанавливает только связь между единицами различных физических величин. Размерность дает правило, позволяющее определить, как меняется единица производной физической величины при изменении масштабов основнык величин.
Это правило, выраженное в виде математической формулы, называется фориулой размерности. Допустим, например, что за единицу длины принят километр, а за единицу времени — минута. Единицей ускорения в такой системе единиц будет км/минт. Спрашивается, как изменится единица ускорения, если за единицу длины принять сантиметр, а за единицу времени — секунду. Формула размерности позволяет быстро ответить на этот вопрос. Мы пишем прежде всего 1км=105см, 1мин=бОс и далее 1 км/миня = ' = см/сз. !О сн !000 б08 З Зб 458 мвтоды подоьия и глзмвгности ~г».
хг Отсюда видно, что единица ускорения 1 км/минг крупнее единицы 1 см/сг в 1000/36 раз. В соответствии с этим числовое значение ускорения, измеренное в км/мин, окажется меньше числового значег ния того же ускорения в 1000/Зб раз, если его измерить в см/сг. 8 87. ФОРМУЛА РАЗМЕРНОСТИ 1. Термин «система единиц» употребляется в двух смыслах. В широком смысле система единиц характеризуется выбором основных величин и формулами, определяющими производные величины через основные, причем масштибы основных величин пе г/гиксируются. Примером может служить система 1.МТ, в которой основными величинами являются длина, масса и время. Другим примером является применявшаяся ранее электротехническая система ЕМТ1, в которой за основные величины принимаются длина, масса, время и сила электрического тока 1.
Система единиц в узком смысле дополнительно характеризуется также определенныл~ выбором .ивсштвбов основных единиц. Примерами могут служить системы СГС и МКСА. Первая есть частный случай системы ЕМТ, когда за единицы длины, массы и времени приняты сантиметр, грамм и секунда. Вторая является частным случаем электротехнической системы ЕМТ1. В ней единицами длины, массы, времени и силы тока являются соответственно метр, килограмм, секунда и ампер.
В теории размерности термин «система единиц» понимается в широком смысле. Понятие размерности возникает в связи с требованием, чтобы в одной и той же системе единиц количественные соотношения между различными физическими величинами выражались одними и теми же формулами, независимо от того, как велики единицы основных физических величин. Этим требованием определяется общий вид «4юрмул размерности» физических величин. Допустим, что имеется несколько физических величин, связанных между собой.
Для простоты можно ограничиться случаем двух величин, одна из которых принимается за основную, а другая — за производную. Числовые значения их х и у связаны уравнением у = /!х). Определим общий вид функции /!х). Если единицу основной величины х уменьшить в а раз, то числовое значение этой величины увеличивается в такое число раз и сделается равным Х = ах. При этом единица производной величины у уменьшится, а ее числовое значение увеличится в р раз и станет равным г = ру. Мы требуем, чтобы числовые значения Х и У были связаны тем же уравнением, что и числа х и у, т. е.
У=/'(Х) или ру=У(ах). Этому условию можно удовлетворить при любых значениях а, если надлежащим образом подобрать р. Задача сводится к нахождению В как функции аргумента а. На этот вопрос и отвечает «формула размерности». 459 ФОРмулА РАзмвРности 8 87! Прежде чем его решать, изменим постановку вопроса. Пусть две физические величины связаны соотношением у= ((х). Будем менять сами физические величины, оставляя их единицы неизменными.
Допустим, что величины х и у увеличились соответственно в а и р раз и сделались равными Х = ах и У = ))у. Спрашивается, какому условию должны удовлетворять числа а и р, чтобы связь между новыми значениями физических величин Х и У была та же, что и между старыми значениями х и у, т. е. У= у"(Х). На этот вопрос отвечает теория подобия. Вопрос опять сводится к исследованию уравнения ру = У(ах).
Мы видим, что теории размерности и подобия отличаются друг от друга только формой постановки вопроса, По существу они не отличаются одна от другой. Теория подобия позволяет исследовать количественные соотношения между различными параметрами реальных физических систем на их уменьшенных или увеличенных моделях. Так поступают, например, в авиационной технике, помещая в аэродинамические трубы уменьшенные копии реальных летательных аппаратов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
