Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 105
Текст из файла (страница 105)
225, положение 3). После того как произойдет удар, от места удара в обе стороны побегут волны сжатия со скоростью с относительно цилиндров (положение 2). Частицы обоих цилиндров в области сжатия движутся в одну и ту же сторону со скоростью н!2. Это следует из закона сохранения импульса. — ~. У У-О Когда возмущения дойдут до концов цилиндров, все вещество будет двигаться с обпгей У ЬУ вЂ” 'У вЂ” ~. скоростью г(2 (положение 3). — У Масса движущегося вещества удвоилась, скорость уменьшилась вдвое, так что закон со- У вЂ” ю хранения импульса соблюда- 3 стоя.
Кинетическая энергия по сравнению с начальной умень- 2У У шилась вдвое. Половина энср- У-О гни перешла в потенциальную — оба пнлиндра равное с мерно сжаты и прижимаются — «У друг к другу. Затем начинается отражение возмущений от свободных концов цилиндра (положение 4). Возмущения сжа- Рис. 225 тия переходят в возмущения разрежения.
11ри этом па левом конце давление со стороны смежных областей останавливаег частицы вещества, а на правом — ускоряет. Слева возникает недеформированная область, в которой вещество покоится, справа — недеформированная область, в которой вещество движется вправо со скоростью в. Чтобы убедиться в этом, перейдем в систему отсчета, движущуюся вправо со скоростью Н2. В начальный момент (полол!ение 3) оба цилиндра в этой системе отсчета покоятся и равномерно сжаты.
При отражении на обоих концах возникают возмущения разрежения: от левого конца разрежение пойдет вправо со скоростью с, от правого — влево с той же скоростью. У свободных концов стержней образуются недеформированные области. Скорости вощсства в этих областях (относительно движущейся системы отсчета) должны быть направлены наружу, так как движение в них возникает под действием сил сжатия, направленных в те же стороны. В силу симметрии скорости вещества в обеих недеформированпых областях одинаковы по модулю, но направлены противоположно. Обозначим через ! ' скорость вещества в правой недеформированной области.
(Очевидно, она положительна.) Тогда скорость вещества в левой не- деформированной области будет — в'. Чтобы найти н', перейдем снова в неподвижную сис2емы отсчета. Относительно этой системы скорости вещества в недеформированных областях будут чl2 — и' и у)2 + 2,'. Когда возмущения встретятся в месте соприкосновения цилиндров, деформации исчезнут, и оба цилиндра будут двигаться как цслыс со скоростями и!2 — г' и в/2 + и'.
Кинетическая энергия этого движения будет г с ХУ вЂ” ы 2 ТУ ! У=О 2 + 2 + ! ~ ~ + гл г ~г ! г ~г ) 4 1 831 СКОРОСти УПРУГИХ ВОЗмУЩениЙ В НЕОГРлНИЧЕННОЙ СРЕДЕ 447 Но эта величина должна быть равна нтоту2. Отсюда следует, что г'2 = Рт(4, а потому ~Р = уу(2. Таким образом, когда обе волны разрежения сойдутся в центре, первый цилиндр остановится и деформирован не будет, второй будет двигаться вправо со скоростью г также в недеформированном состоянии (положение 5). Как и следовало ожидать, цилиндры обменялись скоростями. Начиная с этого момента контакт между цилиндрами прекратится. Поэтому время соударения цилиндров найдется как промежуток времени, затрачиваемый на прохо:кдение возмущения по одному из цилиндров (любого) туда и обратно: т = — =2(уа: 4 10 Ус.
2( ул с н Найдем теперь относительное сжатие цилиндров при деформации. После соприкосновения левый конец цилиндра В приобрел скорость гу!2, правый конец продолжал покоится в течение времени цз т„. За это время левый конец переместился на расстояние х = г)4 т, о. Относительное сжатие цилиндра будет а давление Р = Š†. Чтобы не возникало пластических деформаций или 2с разрушений, должно быть Р < Рс, т. е.
асР 2Р о< = с 1О м)с. Е тво й 83. СКОРОСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПРОДОПЬНЫХ И ПОПЕРЕЧНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ В НЕОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДЕ 1. Возмущения в стержне, рассмотренные в З 81, мы назвали продольными. Это не совсем точно. Каждая деформация сжатия стержня сопровождается увеличением поперечных размеров его.
В случае деформации растяжения поперечные размеры стержня сокращаются. Для количественного описания этих явлений был введен коэффициент Пуассона. Следовательно, частицы в стержне движутся не совсем параллельно его оси: наряду с продольной составляющей скорости они имеют и поперечную состаолянущую. Чтобы сделать возмущение чисто продольным, надо лишить частицы стержня возможности перемещаться в поперечных направлениях, т. е. «закрепить» боковую поверхность стержня. Такой случай осуществляется в неограниченной среде при распространении в ней продольных возмущений. Если в такой среде мысленно вырезать произвольный «стержень» с осью, параллельной направлению распространения возмущения (которое в случае продольных возмущений параллельно смещениям частиц), то частицы, находящиеся на боковой поверхности его, удерживаемые соседними частями среды, не будут претерпевать никаких боковых смещений.
Все смещения будут происходить только параллельно оси сстержня». Рассуждения, 448 МВХАНИКА УПРУГИХ '1'Ю! (гл. х проведенные в предыдуших параграфах, применимы и в рассматриваемом случае. Надо только модуль Юнга Е заменить модулел! одностороннего растяжения Е'. В результате для скорости распространения продольных возмущений в неограниченной среде получится выражение (83.1) с)) = 1=, Р или в силу соотношений (77,9) и (78,5) (83.2) (1 «-Р) (1 — 2В) Р Р 2.
В неограниченной твердой среде наряду с продольными могут распространяться также поперечные возл!ущения. Так называются возмущения, в которых частицы среды смещаются перпендикулярно к направлению распространения возмущения. Скорость распространения поперечных возмущений может быть найдена совершенно так же, как и соответствующая скорость для продольных возмущений. Для этого в среде мысленно вырежем произвольный 1'ис. 226 «стержень», ось которого параллельна направлению распространения возмущения, т.
е.перпендикулярна к направлениям смещения частиц (рис. 226). Если к основанию такого «стержня» в начальный момент времени приложить постоянное касательное напряжение т, то в стержне возникнет деформииия сдвига, распространяющаяся со скоростью, которую мы обозначим сл. Рассуждая так же, как и в З 81, найдем, что касательное напряжение т связано с с 4 и скоростью частиц стержня и соотношением (83. 3) т= рс Здесь т = 67, где 7 — угол сдвига, Последний легко найти из следующих соображений.
За время ! свободный конец стержня перемещается на расстояние п(, в то время как само возмущение проходит путь с „1. Поскольку и~~ ел, отсюда следует (83.4) Из этих соотношений легко получить ел = '1=. (83.5) Р 3. Поперечные возмущения, если они малы, подчиняются принципу суперпозиции. Поэтому в поперечном возмущении, распространяющемся в определенном направлении, плотности кинетической и потенциальной энергий одинаковы.
Вопрос о направлении распро- 8 831 СКОРОСТИ УПРУГИХ ВозмУ!Ихний В НВОГРлНИЧВННОЙ СРКДК 449 странения поперечного возмущения решается с помощью энергетических соображений совершенно так же, как и для продольных возмущений. 4. Так как К > О, то из формул 183.2) и (83.5) следует с!! > с,. (83.6) Поэтому если в неограниченной среде возникло какое-либо возмущение, то, вообще говоря, оно разделится на продольное и поперечное, причем продольное возмущение придет в точку наблюдения быстрее поперечного. Необходимость такого разделения непосредственно следует из принципа суперпозиции малых возмущений, согласно которому продольное и поперечное возмущения должны распространяться независимо друг от други.
Вообще, скорости продольных и поперечных возмущений в неограниченной среде и скорость «продольныхв возмущений в стержне связаны соотношением (83. 7) с!! >с>с,. Неравенство с > сх непосредственно следует из формул (8!.5), (83.5) и (78.4), так как в силу последней формулы б с Е. Неравенство же с!! > с может быть получено без всяких вычислений. Действительно, если стержень удлиняется только продольно направленной силой, то происходит также его поперечное сжатие. Для устранения последнего к боковой поверхности стрежня надо приложить нормальные поперечные натяжения. Тогда в стержне будут распространяться только чисто продольные возмущения со скоростью с!!. Но приложенные боковые натяжения будут уменьшать продольное удлинение.
При наличии боковых натяжении стержень становится как бы жестче по отношению к деформации растяжения. Это и ведет к увеличению скорости распространения продольных возмущений. В качестве примера вычислим скорости распространения упругих возмущений в железе нлн стали. Из опьпов найдено: Е=21,2 1О'вН!м-, б = 8,2 10'о Н!м~, р = 0,29, р = 7,8 10 кг!м~. Используя зтн данные, получим с = у'Ьр = 5,2 ! 0 м/с, с =с — Р— =б 10 и!с, !1Ря!!! — 2Ю с, = ъ'С)р = 3,4 10 м!с. ЗАДАЧИ 1. Наказать,что скорость распространения крутильных колебаний вдоль стержня совпадает со скоростью поперечных возмущений с,.
450 МКХАНИКЛ УПРУГИХ '1'Ю! (ГЛ. Х МГ = йо, где / — момент инерции возмущенной области. С другой стороны, М = у р = ую!. Это дает гт~ = й Подставляя сюда 7 = Цг пр((гз — г!), ! = )!с П вЂ” длина возмущенной области) и пользуясь соотпюшением (79.4), получим рс =С. 2. Найти выражение для скорости продольных звуковых возмущений, распространяющихся в безграничной двумерной тонкой пластинке (см. задачу к () 77). Показать, по эта скорость меньше скорости продольных возмущений в неограниченной среде и больше скорости распространения «продольных» возмущений в стержне. Ответ.
с' = (! ', . Неравенство с' >с можно доказать без вычисле- .Г г а(! — а ) ния совершенно так жс, как это было сделано для неравенства с! ь с. я 84. СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПОПЕРЕЧНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ В НАТЯНУТОМ ШНУРЕ 1. Возможность распространения поперечных возмущений в твердых телах обусловлена присущей им поперечной упругостью, т.
е. способностью тел сопротивляться всякому изменению формы, происходящему без изменения обьема. Поперечная упругость может быть создана искусственно и в случае таких тел, у которых в естественном состоянии она отсутствует. Примером может слув у жить гибкий шнур или веревка. Если шнур не натянут, то Т А поперечные возмущения в нем распространяться не могут. Если же закрепить один конец шнура, а к другому подвесить груз, перекинув шнур через блок, то в шнуре возникнет постоянное натяжение, обозначаемое в дальнейшем Т. Такой шнур обладает упругостью ()юрл(ы, и в нем могут распространяться поперечные возмущения. Скорость таких возмущений можно вычислить по формуле (83.5). Но для этого надо решить вопрос, какая величина в натянутом шнуре играет роль модуля сдвига 6, Рассмотрим неболыпой участок АВ натянутого н изо- Рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
