Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 100
Текст из файла (страница 100)
205 разом, деформацию кручения можно рассматривать как неоднородный сдвиг. Плотность упругой энергии при сдвиге дается выражением (78.2). Приравнивая его выражению (79.2), находим искомое соотношение Г 24О гзЬ« l (79.3) ВА' В Если стенка трубки имеет конечную толщину, то модуль 2' найдется интегрированием последнего выражения по г. Это дает (79.4) — Г2 — Г, где г, — внутренний радиус трубки, а г — наружный. Для сплошной проволоки радиуса г (79.5) 3. Экспериментально модуль кручения можно измерить, наблюдая крутильные колебания тяжелого тела, подвешенного к нижнему концу проволоки. Эти колебания будут гармоническими с пе- риодом Т = 2л~ —. ГХ у (79.6) (см.
З 42). Если момент инерции тела 1 известен, то, измерив период колебаний Т, можно вычислить по этой формуле модуль кручения 7'. Е', Сг и коэффициента и, модуль кручения зивисит не только от материала, по и от геометрических размеров лроволоки. 2. Выведем выражение для модуля кручения 2. Сначала сделаем это для цилиндрической трубки радиусом «и длиной ~, предполагая, что толщина Ьг стенки трубки очень мала по сравнению с радиусом г, Площадь основания трубки есть 2л«Ь«.
Момент сил, действующий на это основание, будет М= 2лгЬг тг, где т — касательное напряжение в том же основании. При квазистатическом закручивании проволоки на угол в совершается работа А =1'г Мр = М2727, Разделив ее на объем трубки Г = 2л«2Ь«, найдем плотность упругой энергии при деформации кручения 1Гл. х МЕХАНИКА УПРУГИХ '1'Ю! ЗАДАЧИ 1.
Две проволоки одинаковой длины сделаны из одного и того же материала, но диаметр второй из них вдвое больше, чем первой. В одном из опытов нижнее основание каждой проволоки было закручено относителыю ее верхнего основания на один и тот же угол. В другом опыте проволоки были сварены своими основаниями так, что ось одной из них стала продолжением оси другой; затем нижнее основание получившейся составной проволоки было закручено относительно верхнего на некоторый угол. Найти отношения упругих энергий проволок в обоих случаях. Ответ. 1) 2)гг'1) = 1г'16.
2) ))г10 = 16. 2. Шар, подвешенный на проволоке, совершает крутильные колебания с периодом Т вокруг вертикалыюй оси. Найти период колебаний того же шара Т', если проволоку, на которой он был подвешен, заменить цилиндрической трубкой той же длины и массы с внешним радиусом й и внутренним радиусом г и изготовленной из того же материала. О т в е т. Т' = Т 11 )лг „г 3. Определить удлинение спиральной пружины, если растягивающие силы действуют вдоль ее оси. Шаг спирали считать пренебрежимо малым по сравнению с радиусом витка )2. Модуль кручения проволоки, из которой изготовлена спираль, считать известным.
Решен ив. Произведем мысленный разрез проволоки пружины в произвольной точке А плоскостью, проходящей через ось пружины (рис. 206 а). Пусть Р, — сила, с которой нижняя часть пружины действует на верхнюю в месте разреза. Для равновесия необходимо, чтобы Р, = — Р, где Р— растягивающая сила, действующая на верхнюю часгь пружины. Так как силы Р и Р! образуют пару, то момент этой пары не зависит от выбора точки, относительно которой он берется. Этот момент перпендикулярен к плоскости разреза и равен М = РЛ.
Из-за малости шага витка можно считать, что момент в точке А направлен вдоль оси проволоки. Чтобы рассматриваемая часть пружины находилась в равновесии, необходимо, Р М Рис. 206 425 9 79! кРучение чтобы возникло кручение проволоки вокруг ее оси, компенсирующее момент М. Когда растягивающие силы Р действуют вдоль оси пружины, модуль момента М не меняется вдоль проволоки, а потому кручение ее будет равномерным. Пусть а4( — элемент длины проволоки. Под действием момента М он закрутится на уюл 4(94 = М(У4, где 444 — модуль кручения рассматриваемою элемента.
Обозначим через )' модуль кручения всей проволоки (если ее выпрямить). Так как модуль кручения обратно пропорционален длине проволоки (9, то У = 74 †, а потому 4(97 = — †. В результате закручивания и М вн 4' (4 элемента Ж на уюл 4(р нижний конец проволоки опустится на 4(х = Я4(4р = — — = — —.
Интегрируя по всей длине проволоки, найдем МЛ ьп РЛ ьп у („у с удлинение пружины РЯ х = —. у ' (79.7) Введем жесткость пружины по формуле Р = (тх. Тогда (79.8) 447 — АД 4(р — АВ з(п —.4(р — з(п4 — 4Ц вЂ” зш4 — 4444 а 4РЛ ..4а 4РЛ . 4а 774 2 Ва В отличие от предыдущего случая, кручение проволоки неоднородно. Интег- рируя по всей длине пружины и считая число витков целым, получим З Рд' х = — —.
4 4. Рассмотреть ту же задачу для случая, когда растягиваюшис силы действуют не вдоль оси пружины, а вдоль одной из образующих цилиндрической поверхности, на которую она намотана. Решен не. Мысленно выделим произвольный участок проволоки АВ (рис. 206 б). Силы, действующие на его концы, перпендикулярны к плоскости рисунка (параллельны продольной оси пружины). Каждая из этих сил равна внешней силе Р, приложенной к пружине. Силу, направленную к нам, изобразим точкой, от нас — крестиком. Момент М сил, приложенных к выделенному участку, перпендикулярен к хорде АВ и равен М = 2гй з1п (а!2). Разложим этот момент на составляю4пую М, вдоль проволоки и составляющую М, перпендикулярную к ней. Если пружина содержит мною витков, то составляющую Ма можно не учитывать. Она вызывает изгиб проволоки вокруг оси, параллельной радиусу ОВ. Но легко видеть, что такой момент изгибает участок АС в одну сторону, а участок СА' — в противоположную, так что в целом при большом числе витков изгиб практически не влияет на удлинение пружины.
Момент М, равен М зш (а72) = 2 гй з1п (а72). Элемент проволоки длиной а7 он закрутит на М4 Ш уюл 4(4р = — = — — и сместит свободный конец пружины на величину 44 т (а (Гл. х мехАникА упРуГих тю! й 80. ИЗГИБ 1. Рассмотрим изгиб однородного бруса (балки) произвольного поперечного сечения, которое, однако, должно оставаться одинаковым на протяжении всей длины бруса. Пусть до деформации брус имел прямолинейную форму.
Проведя сечения АВ и А'В', нормальные к оси бруса, мысленно вырежем из него бесконечно малый элемент АА'В'В (рис, 207 а), длину которого обозначим через 1о. Ввиду бесконечной малости выделенного элемента можно считать, что в результате изгиба прямые АА', оУМ', ВВ' и все прямые, им параллельные, перейдут в дуги окружности с центрами, лежащими на оси О, перпендикулярной к плоскости рисунка (рис. 207 б).
Эта ось называется осью изгиба. Наружные волокна, лежащие выше линии А(АГ, при изгибе удлиняются, волокна, лежащие ниже линии Гт)У', укорачиваются. Длина линии ФФ' остается неизменной. Эта линия называется нейшральной линией. Проходящее через нее сечение (недеформированного) бруса плоскостью, перпендикулярной к плоскости рис. 207 ш называется нейшрильным сеченнеле Таким образом, все наружные волокна будут растянуты, Рис. 207 все внутренние — сжаты. Пусть Л вЂ” радиус кривизны нейтральной линии Лглг.
Тогда 1о = Яа, где а — центральный угол, опираюп[ийся на дугу оуоУ'. Рассмотрим волокно бруса, находящегося на расстоянии ч от нейтрального сечения. (Величина ч положительна, если волокно находится выше нейтрального сечения (рис. 207 6), и отрицательна, если оно находится ниже.) Если брус не слишком толст, так что )~) «кй, то длина рассматриваемого волокна будет 1= (Л+ ч)а, а удлинение Ж =1 — (о = ли. Следовательно, Ы ь с натяжение, действующее вдоль рассматриваемого волокна, т = 6 — = Ва —, го го или (80.1) Натяжение, таким образом, меняется линейно с расстоянием е. Ниже нейтрального сечения оно отрицательно, г. е. является давлением.
Сумма сил натяжения и давления, действующих в сечении АВ, может быть и отличной от нуля. Однако в этом случае на изгиб бруса будет накладываться растяжение или сжатие его, одинаковое для всех волокон. Опо может быть учтено особо и исключено из рассмотрения, когда речь идет об изгибе в чистом виде. Поэтому мы будем считать, что сумма всех сил натяжения, действующих в каждом нормальном сечении бруса, равна нулю, т.
е. ~ т г($ = О, 427 изгиь 8 во) или в силу (80.1) ~ ч Ы5 = О, где г(5 — элемент площади рассматриваемого поперечного сечения. Интегрирование ведется по всему поперечному сечению бруса. Отсюда видно, что нейтральная линия и нейтральное сечение проходят через центр тяжести поперечного сечения бруса. Из соотношения т т(5 = 0 следует, что момент сил натяжения Мг действующих на сечение АВ, не зависит от того, относительно какой оси он берется. Для вычисления М, проще всего взять ось, перпендикулярную к плоскости рисунка и проходящую через точку Л>. Очевидно, М,= ~ У,т (5=а ~ ~г,)5, или М,= — I, Е Я (80.2) где введено обозначение ~ -г,~5 (80.3) Величина У называется гиометапом инерции поперечного сечения бруса по аналогии с соответствующей величиной, вводимой при рассмотрении вращения тела вокруг неподвижной оси. Однако в отличие от последней величины, имеющей размерность массы, умноженной на квадрат длины, (80.3) есть чисто геометрическая величина с размерностью четвертой степени длины.
Можно воспользоваться формулами для моментов инерции, выведенными в 8 36, заменив всюду массу щ на площадь поперечного сечения 5. Если поперечное сечение бруса имеет форму прямоугольника с шириной а и высотой 6, то вь (80.4) гг' Для кругового поперечного сечения радиуса г (80.5) 7= д— гт. 4 Для цилиндрической трубы с внутренним диаметром г1 и наружным гг (80.6> а (гт,г)чг Если изгиб мал (у' <к1), то квадратом производной можно пренебречь. В этом приближении М, = Еуу . (80.7) 2. Вырежем произвольную (конечную или бесконечную> часть бруса, мыслено проведя в нем два нормальных сечения. В состоянии равновесия Направим ось Х вдоль нейтральной линии недсформированного бруса. Ось У направим к ней перпендикулярно и расположим в плоскости изгиба.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
