Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 99
Текст из файла (страница 99)
Так квк поверхность ислк з ах к 2 х кривлена, то натяжение т создаст разность нормальных давлений. Для нее нетрудно получить 2тг(111 (см. формулу хталласа в учении о поверхностном натяжении, том П), Эта разность должна быть уравновешена разностью давлений газа (хр по разные стороны оболочки. В результате получим — = — "— ") — схР 5 10 ~. г лл В 77.
ВСЕСТОРОННЕЕ И ОДНОСТОРОННЕЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ 1. Рассмотрим частный случай, когда все натяжения Тх, Т,, Т. равны и отрицательны. В этом случае на параллелепипед со всех сторон действует постоянное давление Р = — Т = — Т = — Т,. Как видно из х У 4!8 МВХАНИКА УПРУГИХ '1'Ю! 1гл. х формул (76.1), все три относительные деформации г„, е„, г„равны между собой и определяются выражением е„= е, = е, = — — (1 — 2р.).
(77.1) или — = е,. + е, + е,. (77.2) Поэтому формулу (77.1) можно представить в виде Ь!' Р !' К' (77.3) где постоянная К определяется выражением К= и ЗΠ— 2„! (77.4) Эта постоянная называется модулем всестороннего сжатия. Формула (77.3) применима к телам произвольной, а не только прямоугольной формы. Для доказательства достаточно заметить, что произвольное тело можно мысленно разделить на малые части, каждая из которых имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Эти части находятся под постоянным внешним давлением. Относительные изменения их объемов, а следовательно, и относительное изменение объема всего тела одинаковы и определяются формулой (77.3). Выражение (76.3) для плотности упругой энергии в случае деформа!4ии всестороннего сжатия переходит в (77.5) 2Е 2К' Так как величина и существенно положительна, то должно быть 1 — 2р > О, т.
е. р ( —. (77.6) 2. Рассмотрим другой важный случай — деформацию одностороннего растяжения или сжатия. Пусть однородный стержень мохсет свободно растягиваться или сжиматься в направлении его оси (которую мы примем за координатную ось Х), а его поперечные размеры изменяться не могут. Этот случай имеет важное значение в теории распространения продольных волн в неограниченной упру- Их легко выразить через относительное изменение объема параллелепипеда при деформации. Действительно, взяв логарифмические производные от обеих частей равенства р = хуг, получим ау Ах+ лу+ 2! !' х у 419 ВСЕСТОРОННЕЕ РАС'1'ЯЖЕИИЕ И СЖАТИЕ 9 771 Отсюда Т,=Т = — ь — Т 7 - 1 (г х' 177.7) (77.8) Введем обозначение х' е — ~ — к — -ь —— 1 (г 2(гг (1 Ч- И) (1 — 2(г) ' (77.9) или 2 1 3(1 -~- а) 3(1 — 2И) (77.10) Тогда Ах х Е' (77.11) Это соотношение аналогично соотношениям (75.7).
Постоянная Е' называется лгодулелг одностороннего раслгяженил. ЗАДАЧА Прямоугольная пластинка зажата между вертикальными плоскостями, псрпсндикулярными к оси Х, так что в направлении этой оси частицы пластинки смещаться не могут (рис. 202).
В направлении оси У пластинка подвергается равномерному одностороннему давлению р. Определить давление р„которому подвергается пластинка со стороны плоскостей, между которыми она зажата. Найти выражение для Рис. 202 той среде (см. 3 83). Можно мысленно вырезать часть среды, имеющую форму стержня, направленного вдоль распространения волн. Такой «стержень» может сжиматься или расширяться в продольном направлении.
Однако изменениям его поперечных размеров препятствует окружающая среда. Форма поперечного сечения стержня не имеет значения. Возьмем стержень с прямоугольным поперечным сечением, чтобы можно было воспользоваться формулами (7б.1).
Пусть вдоль стержня действует постоянное натяжение Т„, Поперечные напряжения Т и Т, найдутся из условия неизменности размеров стержня в направлениях координатных осей У и У. Полагая в формулах (76.1) Лу = Лз = О, получим Ту — (л(та+ Тх) — О, ҄— )х(Т„+ Т ) — О. 420 МЕХЛНИКЛ УПРУГИХ '1'Ю! )Гд. Х плотности упругой энергии и, а такжс относительнос сжатие пластинки в направлении оси л и относительное расширсние в направлении оси У. Ответ.
Р„= рР, — !'-= — (! + р), = = — — (! — Ит), и = — (! — рт), Л вг Е 2 у Е в Е ' ' 2Е й 78. СДВИГ 1. Возьмем куб из однородного и нзотропного вещества. Приложим к противоположным граням его АР и ВС равные и противоположно направленныс касательные силы (рис. 203 а). Они образуют пару сил, под действием которых куб начинает вращаться. Для устранения вращения приложим такие же касательные силы к граням АВ и СР.
Тогда куб вращаться не будет, а будет только деформироваться. Необходимость приложения касательных напряжений к с' В С вЂ” 7с' l / I l и Рис. 203 граням АВ и СР непосредственно следует также из симметрии тензора упругих напряжений (см. 5 74). Опыт показывает, что под действием приложенных напряжений квадрат АВСР переходит в ромб А'В'С'Р'. При этом длина диагонали АС увеличивается, а диагонали ВР— уменьшается. Объем тела, как будет показано ниже, при такой деформации практически изменяться не будет. Относительные изменения объема будут величинами более высокого порядка малости, чем относительные изменения длин диагоналей АС и ВР.
В теории малых деформаций такими изменения пренебрегают. Высшего порядка малости будут и изменения длин сторон квадрата АВСР. Поэтому куб после деформации можно повернуть так, чтобы новое основание А'Р' совместилось с прежним основанием АР (рис. 203 б). Отсюда видно, что рассматриваемая деформация состоит в том, что все слои куба, параллельные основанию АР, сдвигаются в одном и том же направлении, параллельном тому же основанию. Поэтому зта деформация называется сдвигом.
Сдвиг пропорционален расстоянию сдвигаемого слоя от основания АР. Угол ) между гранью АВ до деформации и той же гранью АВ' после деформации назы- 421 сдвиг з 78! вается углом сдвига. Конечно, ту же деформацию можно получить путем сдвига параллельно грани АВ или С2э на тот же угол у. Мы предполагаем, конечно, что угол 7 мал 17««1) и пользуемся законом Гука. Для деформации сдвига этот закон можно записать в виде (78.1) где т — касательное напряженне, действующее на гранях куба. Постоянная С называется модулел~ сдвига и зависит от материала, из которого изготовлен куб.
2. Найдем выражение для плотности упругой энергии при деформации сдвига. Закрепив неподвижно основание А1г (рис. 203 б), будем производить сдвиг квазистатически. Тогда вся работа, затрачиваемая иа сдвиг, пойдет на увеличение упругой энергии тела. Совершаемая работа, очевидно, пойдет на увеличение упругой энергии тела. Совершаемая работа, очевидно, равна А = с з т5 Лх, где съх— смещение грани ВС при сдвиге, а 5 — плошадь этой грани. Если а — длина ребра куба, то Лх = ау, а потому А = = Рй т5 ау= Рй Рт б где Р— объем куба, Таким образом, объемная плотность упругой энергии выражается формулой ЗВ' (78. 2) 3.
Тангенциальные напряжения, действующие параллельно граням куба, можно свести к совокупности натяжения и давления, равных по модулю и действующих во взаимно перпендикулярных направлениях. Действительно, проведем диагональное сечение куба АС (плоскость, перпендикулярной к плоскости рис. 203 а). Сила Р, действующая на часть куба АСгз на плоскости АС, будет нормальна к этой плоскости и направлена внутрь рассматриваемой части.
Это и есть сила нормального давления. Определим это давление. Если длина ребра куба есть а, то сила Р, очевидно, равна Р = аз(т вйп 45' + т соз 45') = я'Хазы Площадь диагонального сечения АС есть аз т'2. Разделив Р на эту площадь, получим искомое давление Р = т. Итак, в диагональном сечении АС и во всякой плоскости, ему параллельной, напряжение сводится к нормальному давлению, численно равному т.
Рассуждая аналогично, можно доказать, что в диагональном сечении ВЮ и во всякой плоскости, параллельной ему, действует нормальное натяжение Т, также численно равное т. 4. На основании изложенного ясно, что сдвиг эквивалентен растяжению тела в некоторож направлении и сжатию в перпендик> лярном направлении. Вырежем, например, мысленно из нашего куба прямоугольный параллелепипед с поперечным сечением РЯБ (рис.
204). В направлении диагонали куба АС он будет растянут натяжением Т = т, в перпендикулярном направлении ВР— сжат дав- 422 МВХЛНИКЛ УПРУГИХ '1'Ю! )ГЛ. Х лением Р = т. В направлении, перпендикулярном к плоскости рисунка, размеры параллелепипеда останутся неизменными.
Направим ось Х параллельно ребрам РЯ и БЯ, а ось У вЂ” параллельно ребрам ДР и Р5. Тогда, подставляя в формулы Г76.1) в с -т с Т,=т, Тг=т, Т,=О, получим е„=О, ! е„+ е! = О. В силу соотношения !77.2) Л г' = О. Деформация не сопровождается изменением объема тела — утверждение, которое упоминалось выше без доказательства. 5. Таким же путем из формулы Г76.3) получаем для плотности упругой энергии при сдвиге и= — ~ 2. ! -)- и !78.3) Рис.
204 Эта величина должна совпадать с Г78.2), так как значение и не может зависеть от способа вычисления. Сравнивая оба выражения, получим 2(! -)- )' !78.4) Эта формула устанавливает связь между модулем Юнга Е, коэффициентом Пуассона )) и модулем сдвига б. Используя ее, а также формулы Г77.10) и (77.4), получим Е' = К+ — о. 3 ! 78.5) й 79.
КРУЧЕНИЕ 1. Деформации, о которых шла речь до сих пор, были деформациями однородными, т. е. такими, когда все бесконечно малые элементы тела деформированы одинаково. Дегрор нации кручении и изгиби, к изучению которых мы обращаемся, являются дефорх)ициями неоднородными. Это значит, что в этих случаях деформации внутри тела меняются от точки к точке. Возьмем однородную проволоку, закрепим ее верхний конец, а к нижнему концу приложим закручивающие силы, создающие вращающий момент М относительно продольной оси проволоки.
Проволока закрутится — каждый радиус нижнего основания ее повернется вокруг продольной оси на угол Р. Такая деформация называется кручением. Закон Гука для деформации кручения записывается в виде !79.1) где Т вЂ” постоянная для данной проволоки величина, называемая ее модулем кручения. В отличие от ранее введенных модулей Е, К, 423 КРУЧЕНИЕ 9 791 В7~«~Ь« и = (79.2) Ту же величину можно выразить иначе. Вырежем мысленно из трубки бесконечно короткую часть, изображенную на рис. 205. В результате деформации кручения бесконечно малый элемент трубки АВХ>С перецдет в положение А'В'Х>С. Это есть сдвиг. Таким обРнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
