Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 98
Текст из файла (страница 98)
Опыт показывает, что под действием растягивающей или сжимиюи1ей силы г" изменяются не только продольные, но и поперечнь1е размеры стержня. Если сила Š— растягивающая, то поперечные размеры стержня уменьшаются. Если она сжимающаяч то они увеличиваются. Пусть а„— толщина стержня до деформации, а — после деформации. За толщину можно принять для круглого стержня его диаметр, для прямоугольного — одну из сторон его прямоугольного основания и т.
д. Если сила Š— растягивали Ла ющая, то величина — — — — называется относительным попела и речными сжатием стержня 1Ла = а — ае). Отношение относительного поперечного сжатия к соответствующему относительному 414 мвхлникл упгугих '1'ьд (гл. х продольному удлинению иазьявается коэфа!ициеяятомя Пуиссона по имени французского ученого Симеона Пуассона (1781 — 1840): (75.12) а/ 15!и Коэффициент Пуассона зависит только от материала тела и является одной из важных постоянных, характеризующих его упругие свойства. Случай сжимающих сил не обязательно выделять особо, так как сжимающую силу можно рассматривать как растягиваюшую, взятую с противоположным знаком.
Мод>ль К)нга Е и коэф(рициент Пуассона (х полностью характеризуют упругие свойства изотропного ляатериала. Все прочие упругие постоянные могут бьять вьгражены через Е и р.. 8. Заметим, наконец, что все модули и коэффициенты упругости, с которыми мы имели и будем иметь дело, следовало бы для точности называть изотермическими модулями и коэфя/тициентами. Они характеризуют деформации тел в предположении, что температура их поддерживается постоянной.
Это обычно имеет место в случае статических деформаций. Но если деформации динамические (например, волны в упругих средах), то они могут происходить настолько быстро, что разности температур, возникшие при деформации, не успевают выравниваться в результате теплообмена. Важнейшим является предельный случай, когда между различно нагретыми частями среды теплообмен совсем не происходит. Соответствующие процессы, модули и коэффициенты упругости называются адиабатическими.
Соотношения между изотермическими и адиабатическими модулями упругости будут рассмотрены в т. П. ЗАДАЧИ 1. Найти относительное удлинение вертикально подвешенного стержня под действием собственного веса Р. Плошадь поперечного сечения равна 5. Ответ. (1 — 1з)Ве = Р/(25Е). 2.
Упругий стержень массой т, длиной 1 и площадью попсрсчнош сечения 5 движется в продольном направлении с ускорением а (одинаковым для всех точек стержня). Найти упругую энергию деформации, возникающую вследствие ускоренного движения. Ответ П = ттитВ(бЕ51. 3. Какой максимальной кинеяической энергией может обладать маховик, объем которого )Я = ! мз, если прочность материала на разрыв Т = 10щ ди!я/см~. Всю массу маховика считать сосредоточенной в его обода (тонком по сравнению с радиусом маховика).
Показать, что при неизменной прочности материала маховика максимальная кинетическая энергия зависит только от объема, но не от массы маховика. Отвс!. К=Р2КТ=5 10 Дж. 4. Тонкий стержень длиной 21 равномерно вращается вокруг перпендикулярной к нему оси, проходящей через понт р стержня, с угловой ДЯФОРМЛЦИИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПЛРЛЛ)1ВЛВПИГ!ГДЛ 415 1 тб) скоростью со. Показать, что натяжение Т, возникающее в стержне при таком вращении, удовлетворяет уравнению 1Г г — = — рсо х, дк где р — плотность материала, а х — расстояние от оси вращения. Интегрируя это уравнение, найти распределение натяжения в стержне. В каком месте стержня натяжение максимально и чему оно равно? Показать, что максимальная кинетическая энергия, которую можно сообщить стержню при неизменной прочности его материала, зависит только от объема стержня Р, но не ог его массы. Вычислить максимальную кинетическую энергию для )с = 3 10 смг, если максимальное натяжение, которое может выдержать стержень, равно Т ..
= 10'о динс'см . Ответ. Т = 1)г рсог(11 — х ). Натяжение максималыю в центре и равно Тимо= ргр"'1. )Г„, = — РТ„, = 1О Дж. 3 1СР с задачей 3 к я !9 ) 5. Стержень поперечного сечения 5 растягивается силой Н, параллельной его оси, Под каким углом а к оси наклонено сечение, в котором тангенциальнос напряжение т максимально? Найти що напряжение. О т в е г.
а = 45', т = Р?25. б. Резиновый цилиндр с высотой Л, весом Р и площадью основания 5 поставлен па горизонтальную плоскость. Найти энергию упругой деформации цилиндра, возникающей под действием его собственного веса. Во сколько раз изменится энергия упругой деформации рассматриваемого цилиндра, если на верхнее основание его поставить второй такой же цилиндр? Ответ. 17 = Р~ас (бЕ5). Во втором случае упругая энергия увеличится в 7 раз.
В 76. ДЕФОРМАЦИИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА ПОД ДЕЙСТВИЕМ ТРЕХ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ СИЛ 1. Допустим, что однородное изотропное тело имеет форму прямоугольного параллелепипеда, к противоположным граням которого приложены силы Тк, Ту, Т„нор- у мальные к этим граням. Соответ- т ствующие им натяжения обозначим через Т„, Т, Т (рис.
201). ,т ~с Определим деформации, которые возникнут под действием этих сил. Будем предполагать деформации малыми. Тогда для рещения задачи можно воспользовать- гРТ- ся принципом суперпозиции малых деформаций. х т Направим координатные оси Рис. 201 параллельно ребрам параллеле- 4?6 МЕХАНИКА УПРУГИХ '1'Ш! 1гл. х пипеда. Пусть х, у, г — длины этих ребер. Если бы действовала толь- ко сила Р„то ребро х получило бы приращение Л?х, определяемое А?х соотношением — = —.'. Если бы действовала только сила Г „то разх Е уо меры параллелепипеда, перпендикулярные к оси у, сократились бы.
В частности, ребро х при этом получило бы отрицательное приращеАгх т ние Лгх, которое можно вычислить по формуле = — 1»~~. Нако- нец, относительное приращение ребра х под действием одной только А х т силы Р было бы равно ' = — 1» —,. Если все силы действуют однох Е' временно, то согласно принципу суперпозиции малых деформаций результирующее удлинение ребра х будет равно Ах = = Л?х + Лзх + Лзх. Аналогично вычислЯютсЯ УдлинениЯ паРаллеле- пипеда и вдоль остальных двух направлений У и Е. В результате для удлинений всех трех ребер параллелепипеда можно написать А» т, в ш — = — ',— -~(Т,+Тх), х Е Е У е ьв — = — ' — й(Т +Т.), А т, У Е Е х х (76.1) Лх 2', и ехвв — = — ' — (Т.+Т ), Е Е х У С помощью формул (76.1) это выражение приводится к виду и = — ??Тгх+ Тг+ Т~ — 21»(ТхТ, + Т Т + Т Тх) ), (76,З) Если из трех натяжений Т», Т,„Тх только одно отличается от нуля, то эти формулы переходят в более простые формулы (75.10) и (75.11).
Согласно формулам (75.11) плотность упругой энергии и пропорциональна квадрату натяжения Т (или давления Р). В общем случае, как показывает формула (76.3), плотность упругой энергии является квадратичной однородной функцией Т„, Т, Тх (или Р„Р, 2. При квазистатическом растяжении параллелепипеда вдоль оси Х совершается работа А, = ??2 5„Т»Ь», где 5, = уг — площадь грани, перпендикулярной к оси Х.
Эту работу можно представить Ах В ВИДЕ Л! = ! 2 Хуг Т,— = ?»2 Ъ'Тхгх, ГдЕ Е = Хуя — ОбЪЕМ Параплелепипеда. Аналогично запишутся работы при квазистатических растяжениях в направлениях координатных осей У и Е. Сложив эти три работы и разделив результат на объем параллелепипеда, получим следующее выражение для плотности упругой энергии в рассматриваемом случае: и = 2 (Т,е„ + Туеу + Т,в.). (76.2) 417 всестОРОннее Рлс'1'яжьиие и сжАтие з 771 Р,).
При заданных натяжениях (или давлениях) она обратно пропорциональна модулю упругости Е. Чем жестче пружина, тем меньше при неизменном натяжении ее упругая сила. Идеально твердые тела (для которых Е = ) совершенно не обладают упругой энергией, какие бы силы натяжения и давления на них не действовали, Натяжения Тх, Т,, Т. выражаются через е„е,„вх линейно, как это следует из формул (76.1). Поэтому плотность упругой энергии является квадратичной однородной функцией деформаций е„в, ех. В частном случае (е, = е, е, = с = 0) она пропорциональна квадрату деформаиии. При заданных деформациях ех, е, ех плотность упругой энергии и пропорциональна модулю упругости Е. Чем жестче пружина, тем больше ее упругая энергия (при неизменной деформации).
ЗАДАЧА Определить относителыюе изменение объема полого латунного шара радиусом )( = 5 см, в который накачан воздух до давления 11 атм (наружнос давление 1 атм). Толщина сферической оболочки г( = 1 мм. Модуль Юнга латуни Е = 10'~ дин!см~, коэффициент Пуассона и = 0,3. Решен не. В силу симметрии касательное напряжение т, действующее в оболочке, одно и то же и одинаково во всех направлениях. Возьмем малый элемент оболочки, имеющий форму прямоугольника, При вычислении относительного изменения площади этого элемента под действием касательных напряжений т можно отвлечься от кривизны элемента, приняв его за плоскую прямоугольную пластинку. Тогда вычисление дает — = 2(1 — И)— АЗ х ' е (изменение площади, вызванным нормальным давлением, пренебрегаем). Поскольку поверхность шара 5 пропорциональна )аа, где 1' — объем шара, относительное изменение объема будет — = — †.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
