Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Предел упругости имеет различные значения для разных материалов. Она является не вполне четкой определенной величиной. Разделение тел на упругие и пластические также в какой-то степени условно. Строго говоря, все деформации после прекращения действия внешних сил исчезают не полностью, а поэтому являются пластическими. Однако если остаточные деформации малы, то во многих случаях их можно не принимать во внимание. Как велика должна быть остаточная деформация, чтобы можно было так поступать, зависит от конкретных условий. В некоторых случаях, например, можно пренебречь остаточными деформациями, если они не превосходят О,1'/ от максимальных значений, достигавшихся под действием приложенных сил. В других случаях этот предел должен быть снижен до 0,01 / и т, д, 2.
В настоящей главе мы ограничимся изучением только упругих деформаций. При этом мы остановимся только на механике, но не на физике явлений. Механика описывает упрутие свойства тел посредством некоторых эмпирически вводимых упругих постоянных, различных для различных тел и зависящих от их физического состояния (например.
от температуры). Более глубоким является физический подход, рассматривающий явление деформаций с атомистической точки зрения. Этим занимается гпеория твердого тела. Она позволяет в принципе не только вывести основные уравнения механики деформируемых тел с атомистической точки зрения, но и 405 У!7РУ!'ИЕ НАПРЯЖЕНИЯ 5 74! установить связь между упругими постоянными вещества и другими его физическими свойствами. Тела мы будем считать идеально упругими. Так называются идеализированные тела, которые могут претерпевать только упругие, но не пластические деформации. Такими идеализациями можно пользоваться, когда силы, приложенные к реальным телам, не превосходят предела упругости.
Для идеально упругих тел суи4естеует однозначная зависимость между дейстеугощихи! силами и ел!зыааемыми ими деформаииями. В случае пластических деформаций такой однозначной связи не существует. Это видно хотя бы из того, что до и после пластической деформации тело имеет различную форму, хотя в обоих случаях оно не подвергается действию внешних сил. Мы ограничимся изучением только малых деформа74ий. Малыми называются упругие деформации, подчиняющиеся закону Гука.
Это приближенный закон, согласно которому деформги4ии пропорциональны силам, их аызыеаю7жим. 3. Твердые тела разделяются на изотропные и анизотропные. Изотропными называются тела, свойства которых по всем направлениям одинаковы. Анизотропными называются тела. свойства которых в разных направлениях не одинаковы. Типичными представителями анизотропных тел являются кристаллы. Приведенные определения отличаются некоторой неопределенностью, поскольку в них явно не указано, о каких физических свойствах идет речь. Дело в том, что тела могут вести седл как изотропные по отношению к одним свойствам и как анизотропные — по отношению к другим. Так, все кристаллы кубической системы ведут себя как изотропные, если речь идет о распространении света в них. Однако они будут анизотропными, если интересоваться их упругими свойствами.
В настоящей главе нас интересует изотропия или анизотропия тел по отношению к их упругим свойствам. Но мы ограничимся простейшим случаем, когда тела являются изотропнымн. Металлы обычно имеют поликристаллическую структуру, т. е. состоят из мельчайших беспорядочно ориентированных кристалликов. Каждый из таких кристалликов есть тело анизотропное. Но кусочек металла, содержащий множество их, ведет себя как нзотропное тело, если всевозможные ориентации кристалликов представлены с одинаковой вероятностью.
В результате пластической деформации хаотичность в ориентации кристалликов может нарушиться. Тогда после пластической деформации металл становится анизотропным. Такое явление наблюдается, например, при вытягивании или кручении проволоки. й 74. УПРУГИЕ НАПРЯЖЕНИЯ 1. Различные части деформированного тела взаимодействуют между собой на поверхностях раздела, вдоль которых они граничат лоь МЕХАНИКА УПРУ!'ИХ '1'Ю! !Гл. х друг с другом. Рассмотрим произвольное деформированное тело или среду.
Мысленно разделим его на две части: тело 1 и тело П, граничащие между собой вдоль поверхности АВ !рис. 197). Так как тело 1 деформировано, то оно действует на тело П с некоторой силой. По той же причине и тело П действует на тело 1 с такой же, но про- тивоположно направленной силой, Однако для и определения возникающих деформаций недо- В и'5 статочно знать суммарные силы, действующие в сечении АВ, Надо еше указать, как эти силы распределены по этому сечению. Возьмем на поверхности АВ бесконечно малую плошадку ! а>5, Пусть а>Р— сила, с которой на этой площадке тело П действует на тело !. Сила, от- ав несенная к единице нлои!ади, т. е. —, называ- ~~5' Рнс. >97 ется нанряжением, действующим в соответст- вующей точке на границе АВ тела 1.
Напряжение, действуюшее в той же точке на границе тела П, будет таким >ке, но его направление противоположно. 2. Ориентацию площадки а!Б можно задать, указав направление нормали к ней. Условимся эту нормаль проводить наружу от поверхности тела, на которое действует сила а>Р. Обозначим через и единичный вектор такой нормали, а через о„— соответствующее напряжение. Тогда а „будет означать напряжение на поверхности АВ тела П, с которым граничит тело 1, В силу равенства действия и противодействия о„= — о „. Вектор о„можно разложить на составляющую вдоль нормали и и составляющую, лежашую в касательной плоскости к площадке Ю.
Первая составляюшая называется норл!альным, а вторая — тангенЧиальным напряжениями, действующими на плошадке а5. Как и всякий вектор, напряжение о„можно характеризовать тремя составляющими его вдоль координатных осей Х, У, г. прямоугольной системы координат. Эти составляющие будем обозначать соответственно через о„., оно о„,. Первый индекс указывает направление внешней нормали к поверхности тела, на которой лежит площадка !!5, а второй — направление оси, на которую проецируется напряжение о„, В частности, о, означает напряжение на площадке, внешняя нормаль к которой параллельна положительному направлению оси Х. Величины ох„око о,. означают проекции вектора о, на координатные оси. 3.
Для того чтобы определить напряжение в среде на произвольно ориентированной площадке в какой-либо точке ее, достаточно задать напряжение на трех взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через эту точку. Это справедливо как для покоящейся среды, так и для среды, движущейся с произвольным ускорением. Для доказательства поместим начало координат в рассматриваемую 407 упРугие нлпРяжения 9 741 та = 1'+ о„В + о,.5„+ о,,ВР + о,Вх, Выполним в этом соотношении предельный переход, стягивая элемент ОАВС в точку.
При таком предельном переходе члены та и Г можно отбросить. Они пропорциональны объему элемента ОАВС и, следовательно, являются бесконечно малыми высшего порядка по сравнению с остальными членами, пропорциональными поверхности элемента. Как известно из геометрии, проекции плошади В на координатные плоскости выражаются соотношениями Бх = Яп„Б„= Впг, 54 = Бпг УЧТЕМ ДаЛЕЕ, Чта О х = — Ох, О = — О„О = — Ох. ТОГДа В РЕЗУЛЬ- тате предельного перехода получится (74.1) О„ = Охл, + О,П7 + О,П, . Так как координатные оси Х, у, г. можно выбрать произвольно, то это соотношение и доказывает теорему. Таким образом, напряжение в каждой точке упруго деформированного тели можно характеризовать тремя векторами о„о, о, или девятью их проекциями о„, ох, о„, ОХХ О" 7 ОХХ' (74.2) точку среды и выделим из нее бесконечно малый элемент объема ОАВС, ограниченный координатными плоскостями и пересекающей их плоскостью АВС (рис.
198). Пусть и — внешняя нормаль к плоскости треугольника АВС. Тогда си- с ла, действующая на грани АВС на выделенный элемент со стороны окружающей среды, будет о, В, где 5, 5,  — площадь этой грани. Аналогич- о но силы, действуюшие на трех боко- 5х и г вых гранях, будут о,б„о „5 „ о,бм где Бх, 5, Вх — площади этих л граней. Помимо этих сил на выделенный элемент могут действовать Рнс.
Е95 массовые или объемные силы, например сила тяжести. Обозначим равнодействующую таких сил через Е Сила 1 пропорциональна объему выделенного элемента. Если масса элемента т, а ускорение а, то 408 МВХАНИКА УПРУГИХ '1'Ю! сгд. х Совокупность этих девяти величин называется тепзором упругих нсспряжений. Вообще говоря, эти величины меняются от точки к точке среды, т. е. являются функциями координат. Только в статике в отсутствие массовых сил тензор упругих напряжений остается одним и тем же во всех точках среды.
4. Тензсср упругих напряжений симметричен, т. е. (74,3) о,"=о,ч (с,у=х, У, з). Для доказательства рассмотрим элементарный параллелепипед вещества со сторонами с1х, с(у, с1г (рис. 199). Момент сил М, относительно оси г,, действующий на этот параллелепипед, равен Мс = (оя~ с1у исг) Ых — 1о!» с1х с1г) псу= (о„у — о я) Лг, где асР— объем рассматриваемого элементарного параллелепипеда.
По уравнению моментов сСьс, (оя — о,,) сЛ' = 1.— „', где 1 и ьс, — момент инерции и угловая скорость относительно оси г,. Но момент инерции 1, пропорционален произведению массы на квадрат линейных размеров рассматриваемого параллелепипеда, т. е. является бесконечно малой величиной с,, более высокого порядки, чем объем параллелепипеда ас~г. Поэтому при стягивании параллелепипеда в точку правая сСьс часть 1с —," будет быстрее обращаться в вх нуль, чем левая. В пределе мы получим о, = о, Аналогично доказываются и остальные два соотношения: о = о.
н !'ис. !99 о,„= о„,. 5. Можно доказать, что координитную систему Х, '!', Х можно выбрать тик, чтобы в этой системе обритить в нуль все недиагпнальные элементы тензори упругссх напряжений, т. е. осз = 0 при с ~1. Не останавливаясь на доказательстве, заметим только, что это можно сделать потому, что тензор упругих напряжений о,, симметричен. Таким образом, в этой системе координат упругие напряжения в каждой точке тела характеризуются только величинами о„я, ог, и о, В целях краткости их можно обозначать с помощью одного индекса, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
