Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 97
Текст из файла (страница 97)
е. о„о„и о,, Соответствующие координатные оси называют главными осями тензора упругих напряжений, РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ СТЕРЖНЕЙ Й 75. РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ СТЕРЖНЕЙ 409 е 75! 1. Возьмем однородный стержень и приложим к его основаниям растягивающие или сжимающие силы Р (рис. 200 и и д). Стержень будет деформирован, т, е, растянут или сжат. Мысленно проведем произвольное сечение С, перпендикулярное к оси стержня. Для равновесия стержня АС необходимо, чтобы на его нижнее основание С действовала сила Р, = Р, Это есть сила, с которой нижняя л часть стержня ВС тянет верхнюю или давит на нее. Такая сила возникает потому, что нижняя часть стержня деформирована, Верхняя часть стержня также деформирована и действует на нижнюю с силой, равной Р, и противоположно направленной. Такие силы действуют в любом поперечном сечении растянутого или сжатого стержня.
Таким образом, деформация стержня связана с возник- л 8 новением упругих сил, с которыми каждая часть стержня действует на другую, с которой она граничит. Силу, отнесенную к еди- и в нице площади поперечного сечения стержня, Рис. 200 мы назвали напряжением. В рассматриваемом случае напряжение перпендикулярно к поперечному сечению стержня. Если стержень растянут, то это напряжение называется натяжением и определяется выражением (75. 1) где Б — площадь поперечного сечения стержня, Если же стержень сжат, то напряжение называется давлением и численно определяется той же формулой Р = —,.
(75.2) Давление можно рассматривать как отрицательное натяжение и наоборот, т. е. Р = — Т. (75.3) Это замечание освобождает нас от необходимости рассматривать отдельно растяжение и сжатие. 2. Пусть 10 — длина недеформированного стержня. После приложения силы Р его длина получает приращение М и делается равной 1 = 1„+ М. Отношение А1 в=в 19 (75.4) 4!О мвхлникл упгу!'их '1'ю! 1гл. х называется относительным удлине>шем стержня.
В случае растягивающих сил оно положительно, в случае сжимающих сил — отрицательно. Относительное удлинение, взятое с противоположным знаком, называется относительньом сжатием. Таким образом, по определению относительным сжатием называется величина — 1И)110, Она положительна в случае сжимающих сил и отрицательна в случае растягиваюших. Опыт показывает, что для не слишкол! больших упругих дейзормадий натяжение Т (или давление Р) прапор!4иониггьно относительному удлинению !или относительному сжатию) Т=Š— или Р= — Š—, (75.5) !о !о где Š— постоянная, зависящая только от материала стержня и его физического состояния. Она называется модулем 1Онга по имени английского ученого Томаса Юнга (1773 — 1829).
Формулы (75.5) выражают закон 1ука для десрорма!4ий растяжения и сжатия стержней. Это приближенный закон. Для больших деформаций он может не оправдываться. Деформации, для которых приближенно выполняется закон Гука, называются малыми дес7оорз!ичиями. Если в формуле (75.3) положить И = 10, то получится Т = Е. Поэтому модуль Юнга часто определяют как натяжение, которое надо приложить к стержню, чтобы его длина удвоилась, если бы при такой деформации закон Гука оставался еще верным.
Недостаток этого определения состоит в том, что при таких больших деформациях закон Гука почти для всех тел становится недействительным: тело либо разрушается, либо нарушается пропорциональность между деформацией и приложенным напряжением. 3. Более общим, чем закон Гука, является утверждение, что в случае упругих десйормачий натяжение Т является однозначной функцией относительного удлинения г: Т = Тгг).
Эта функция должна обращаться в нуль при г = О, так как с исчезновением деформации г исчезает и напряжение Т. Поэтому в разложении функции Т1г) в ряд по степеням г должен отсутствовать нулевой член, Это разложение должно иметь вид Т Ес+ Агг+ Воз+ причем коэффициенты Е, А, В, ...
являются постоянными, зависящими только от материала стержня и его физического состояния. Если относительное удлинение г мало, то высшими степенями г можно пренебречь. Тогда мы придем к закону Гука (75.5). При этом мы делаем относительную ошибку порядка Аг~1Ег г.
Эти общие соображения показывают, что закон Тука и основанньи на нем расчеты верны с относительной ошибкой порядки г. Поэтому во всех таких расчетах мы не только можем, но и должны отбросить слагаемые, которые по сравнению с основными членами являются РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ СТЕРЖНЕЙ 411 Е 751 величинами порядка О, Ог и т. д. Например, относительное удлинение е можно определить не только выражением (75.4), но и выражением (ЛО((.
Дело в том, что разность этих двух выражений Л( Л! (1 — 10)Л1 (Л!)г О г (о 1 !(о 1!о второго порядка малости по О, а потому ею следует пренебречь, Таким образом, закон Гука (75.5) можно также представить в виде Т=Š—, Р= — Е— 1' 1' (75.6) л! т л( 1 Е' 1 Е' (75.7) Но Л( не обязательно разлагать на составные части Л,( и Лг(. Эту величину можно рассматривать как единое удлинение под действием результирующего натяжения Т = Т, + Тг. Поступая так, можно написать на основании закона Гука т т, т, 10 Е Е Е' Сравнивая с предыдущим выражением, получим Е = Тн что и тре- бовалось доказать.
Это замечание, касающееся точности вычислений, разумеется, от- носится не только к деформациям растяжения и сжатия, но и ко всем малым деформациям, о которых будет идти речь ниже. 4. Пусть в стержне создано натяжение Т,. Оно вызовет относил,! т, тельное удлинение — = —, и длина стержня сделается равной (о (, = (о + Л,!. Свойства материалов при деформациях, вообще гово- ря, изменяются. Поэтому можно было бы ожидать, что изменится и модуль Юнга. Однако если деформации малы (а только для таких деформаций и имеет смысл говорить о модуле Юнга), то с такими изменениями можно не считаться. Действительно, обозначим через Е( модуль Юнга деформированного стержня.
Если к деформирован- ному стержню приложить дополнительное натяжение Тг, то его лг( г длина получит дополнительное приращение Л (, причем — = —. г Е,' Принимая во внимание точность, с которой справедлив закон Гука, лг! л!! можно считать, что — = —. Имея еще в виду, что полное удлине- 10 ние равно Л! = Л,(+ Лг(, получим л! г, т, — = — + —. !О Е Е! 412 МКХЛНИКЛ УПРУ1'ИХ 'ГВЛ 1гл. х Приведенное рассуждение справедливо не только для деформаций растяжения и сжатия, но и для любых малых деформаций.
Если дефорл1ации л1алы, то упругие постоянные тел не изл!еняютея при деформг1ци11х. Отсюда следует, что если на тело действует несколько сил, то для вычисления результирую1цей деформации можно вычислить еначила деформации, вызываемые каждой силой е отдельности (как если бы остальных сил не было вовсе), а затем полученные дефорчации сложить. Это важное положение называется принципом суперпозиции малых деформаций.
5. Для того чтобы деформировать тело, над ним надо совершить работу. В свою очередь, деформированное тело само может совершать работу. Оно обладает запасом потенциальной энергии. Эта энергия называется упругой. Она равна работе сил, затраченной на деформацию тела, при том существенном условии, что вся эта работа тратится только на прирашение упругой энергии тела и не расходуется иа увеличение кинетической энергии. Для того чтобь! кинетическая энергия при деформации не возникала, надо деформацию производить достаточно медленно, постепенно увеличивая внешние силы, чтобы в любой момент времени каждая часть тела практически находилась в состоянии равновесия.
Иначе говоря, при деформации внешние силы все время должны уравновешиваться возникающими при этом силами внутренних напряжений. Если это условие выполнено, то говорят, что тело совершает кеазистатический процесс. Возьмем для иллюстрации спиральную пружину, которая может служить моделью деформированного тела. Повесим ее за верхний конец. К нижнему концу подвесим груз, удерживая его рукой, чтобы пружина не растягивалась. Если груз внезапно отпустить, то возникнут колебания.
Работа силы веса груза идет не только на растяжение пружины, но расходуется также на увеличение кинетической энергии груза и пружины. Это процесс не квазистатический. Для вычисления упругой энергии пружины такой процесс не годится. Прикрепим теперь к нижнему концу пружины легкую чашечку и будем очень медленно нагружать ее песком. Колебания не возникают, пружина медленно и непрерывно удлиняется по мере увеличения нагрузки. Вся работа силы тяжести идет на увеличение потенциальной энергии деформируемой пружины. Такой процесс является квазистатическим, и им можно воспользоваться для вычисления упругой энергии пружины. 6. После этих замечаний легко вычислить упругую энергию растянутого стержня.
Приложим к стержню растягиваюшую силу у(х) и будем непрерывно и медленно увеличивать ее от начального значения л = 0 до конечного значения У = г. При этом удлинение стержня будет меняться от х = 0 до конечного значения х = е1. По закону Гука у(х) = йх, где к — коэффициент упругости, который легко выразить через модуль Юнга.
Вся работа в РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ СТЕРЖНЕЙ 413 1 751 рассматриваемом процессе пойдет на приращение упругой энергии ег, а потому ш 1Г = ~ )'(х) ах = й ~ х йх = - я1 М) 2, (75.8) Так как в конечном состоянии т = ег1, то Е = 7'(И) = йЖ, Учитывая это, получим ег = — еи. (75.9) 2 Если бы к недеформированному стержню мы сразу приложили постоянную силу Е, то при удлинении его на еи была бы совершена вдвое большая работа Л = ФЛЕ Так как запас упругой потенциальной энергии в стержне получился бы тем же самь1м, то ясно, что только половина работы Л расходуется на приращение упругой энергии стержня.
Вторая половина этой работы тратится на кинетическую энергию упругих колебаний и волн, которые всегда возбуждаются в стержне при неквазистатическом воздействии на него, При квазистатическом воздействии колебания и волны не возникают. Вот почему в формулах (75.8) и (75.9) появился числовой коэффициент 1~2. Найдем объемнунз плотность упругой энергии, т. е, упругую ,энергию, и приходящуюся на единицу объема растянутого (или сжатого) стержня. Она найдется делением выражения (75.9) на объем стержня 1г = бй Это дает 1РА1 1 и = — —,— = — Тг. 25 1 2 (75.10) Если воспользоваться законом Гука, то эту формулу нетрудно привести к виду 2 Т' Рг и Есг 2 2Д 2Д' (75.11) 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
