Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 102
Текст из файла (страница 102)
Надо еще потребовать, чтобы у и у' обращались в нуль и на другом конце стержня. Это даст два новых условия: 1) соз Ы = 1; 2) ып Ы = О. Из них получаем )41 = 2л, 4п, ... Критическая длина в этом случае в два, а предельная нагрузка в четыре раза больше, чем в предыдущем: гх, „ГЕГ 4х»Е1 (80. 24) Если один конец стержня жестко закреплен, а другой закреплен в шарнире, то для тех же величии получаем »Е~ (80. 25) 2 Е' 41» ЗАДАЧИ 1. Определить стрелу прогиба центра однородной бш»ки под действием собственного веса Р, если балка лежит своими концами на двух опорах.
Рз Ответ. 2= — —. ш' Р Р Зза Ет' 2. То же для балки, обоими концами жестко закрепленной в стене. Ответ Заа ЕС Л С В 3. Определить распределение веса Р балки, Рис. 215 лежащей на трех опорах А, В, С (рис. 215). Средняя опора С расположена посередине между крайними опорами А и В и смещена на величину Х вниз опюсительно горизонтальной плоскости, в которой лежат крайние опоры. Решение. При равновесии В»+ Гг+ Вз = Р, причем в силу симметРии Р» — — Вг. Мысленно УбеРем опоРы, заменив их силами Р», Вг, Рз, с которыми они давили на балку. Кроме топь закрепим балку посередине.
От этого деформации балки не изменятся. Воспользуемся формулами (80В) и (80.18). Под действием силы Г» левый конец балки поднимется з Е»»'1) относительно средней опоры на величину у = —, — . Под действием ЗЕ» ~ 2) з Е 1»'11 собствешюго веса тот же конец опустится вниз на у = — —, — . Общее 2 ВЕЦ(г) ' поднятие вверх будет у, — уг.
По условию оно равно К В результате получим = —,~ )'+ з, В = —, 1' — з 3 24Е»1 5 азы Л 1 2 з ' 3 Когда все гри опоры находятся на одной высоте, го 1 2 ' 3 и МЕХАНИКА УПРУГИХ ТЮ! (Гл. Х В этом случае распределение веса балки между тремя опорами не зависит от ее упругих свойсю, хотя без учета последних задача становится неопределенной (ср.
й 44). Эта зависимость объясняется тем, что мы не учитывали деформацию самих опор. 4. Та же задача (см. рис. 2(5), но опора С не находится посередине между опорами А и В (АС = а, СВ = Ь Х Решение. Поместим начало координа! в нейтральном сечении над опорой А, направив ось Х вправо, а ось У вЂ” вниз. Написав уравнение равновесия для частей АС(х < а) и СВ(х > а) и интегрируя их прн условиях у 4 В при х 4 В и х = а + Ь ю 1, а также у = 2 при х = а, получим Х 21х г г Рх з з у= — 'х+ — (а — х) — ' (а — х) (хка), а ЬЕ! глен Л ц ) + г х) (Ь2 П )2) Р)! —.) (Ьз (1 )3) Ь ЬЕ! 24ЕП Далее, надо потребовать, чтобы в точке С у балки не бьщо иююма, !. е. чтобы первые производные обоих выражений в точке х = а совпадали Наконец, надо учесть, что при равновесии суммы всех внешних сил и их моментов, действующих на балку в целом, равны пулю.
В результате получим Згг) +Р За чпЬ вЂ” Ь В а(атЬ) зе! 1 + Р зь'ч~аь-ч' ,ь В И,-ь) ЗЕГ(чьб ) + ! Забтч тЬ агбг В аЬ 5. Цилиндрический стержень и трубка одинаковой длины и массы, изготовленные из одного и тою >ке материала, лежат своими концами на двух опорах и прогибаются под действием собственного веса. Определить отношение их стрел прогиба ),г/22, если радиус стержня равен г, а наружный радиус трубки Л.
От вот. )З/),г — — (2Я вЂ” г )/г . 6. Если на две опоры положить концами бумажный лист, то он прогибается и падает под действием собственного веса. Если же лист скатать в сплошной цилиндр или свернуть в трубку, склеив его края, то получившиеся тела ведут себя как твердые. Их можно даже нагружать без заметного прогиба. Вычислив моменты инерции /п 12, 1з соответствующих поперечных сечений, обьяснить явление. Длина листа бумаги (расстояние между опорами) 1, ширина а, толщина Ь. Ответ. 1, = — аьз, 12 — — — (ал)г, 1з — — — азь. З2 4ч Ваг 7. Из круглою бревна диаметром /) требуется изготовить балку прямоуюльною поперечною сечения, чтобы ее изгиб был минимальным. Определить ширину а и толщину Ь такой балки. От вет.
а = —, Ь = — /). Задача сводится к исследованию экстремума Уз 2' 2 выражения аьз при дополнительном условии а + Ьг = сопз!. скО!'Ость Рхсн!'ОстРлн11ния ВОзмущениЙ В сте!'жнях 435 1 8!! й 81. СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПРОДОПЬНЫХ УПРУГИХ ВОЗМУЩЕНИЙ В СТЕРЖНЯХ 1. Если в каком-либо месте упругой среды возникла деформация, то по прекращении внешних воздействий она не остается на месте, а распространяется в среде во всех направлениях.
В таких случаях говорят о распространении в среде упругих возмушений или «олн. Примерами могут служить звуковые волны в твердых телах, жидкостях или газах, Закрепим, например, в горизонтальном положении длинный железный стержень. Если ударить молотком по одному концу стержня, то на этом конце возникает деформация сжатия, которая начинает распространяться вдоль стержня с большой скоростью. Чтобы обнаружить такую деформацию, наденем на стержень проволочную катушку, концы которой присоединим к осцил- Рнс. 2!6 лографу (рис. 216).
Железный стрежень всегда намагничен, хотя бы потому, что он находится в магнитном поле Земли. Пока нет возмущения, магнитный поток через катушку остается постоянным, и электрический ток через нее не идет. Но если возмущение достигает той части стержня, на которую надета катушка, то магнитный поток через нее изменяется. Возникает индукционный электрический ток, фиксируемый осциллографом. Проследить за распространением упругого возмущения вдоль стержня довольно затруднительно из-за большой скорости распространения и малости самого возмущения. Но это легко сделать на модели, взяв вместо стержня длинную спиральную пружину из мягкой проволоки, подвешенную горизонтально на нескольких нитях.
Если по одному концу пружины нанести легкий удар, то видно, как деформация сжатия распространяется вдоль пружины. Если же конец пружины был оттянут, то возникает деформа14ия растяжения, также распространяющаяся с определенной скоростью вдоль пружины. 2.
Важным является вопрос о скорости распространения упругих возмуи1ений. Рассмотрим этот вопрос сначала для упругих возмущений, распространяющихся вдоль стержня. Начнем с модели. Пусть имеется прямолинейный ряд, состоящий из одинаковых твердых идеально упругих шаров, соприкасающихся между собой. Ряд таких шаров неограниченно простирается вправо (рис. 217).
436 мкхАникА упРуГих тю! 1Гл. х Модель не предназначена непосредственно для решения вопроса о скорости распространения упругих возмушений в стержне. Но она позволяет простейшим образом составить представление о распределении скорости движения вещества в стержне, когда в нем распространяется возмущение, возникшее в результате действия определенной силы. Нанеся удар по первому пззру, сообшим ему некоторую скорость и (рис.
2!7 а). Первый шар ударится о второй. При упругом ударе шары просто обмениваются скоростями: первый шар остановится, а второй придет в движение с той же скоростью и (см, з 28), Затем второй шар передаст движение третьему, а сам остановится и т, д, Движение будет передаваться от шара к шару. В результате возникает возмущение, распространяющееся вдоль ряда шаров, Скорость распространения такого возмугдения обозначим через с.
Ее нельзя смешивать со скоростью и того шара, который в рассмзтриваемый момент движется. Изменим теперь постановку опыта. В тот момент, когда при столкновении со вторым шаром первый шар остановится, нанесем по нему второй удар, чтобы он приобрел прежнюю скорость и. Тогда в этот момент первые два шара будут иметь одну и ту же обшую скорость и. Затем при ударе о третий шар второй шар передаст ему О свою скорость, а сам остановится.
Первый шар при столкновении со вторым сделает то же самое. В результате движение перейдет от первых двух шаров ко второму и третьему. Затем оно будет передано третьему и четвертому шарам д и т. д. Короче говоря, вдоль ряда шаров побежит возмушение, в коРис. 217 тором в каждый момент движутся какие-то два шара, соприкасаюшиеся между собой, а остальные покоятся (рис.
217 б). Допустим теперь, что всякий раз, как первый шар передает свое движение второму шару, он получает удар, в результате которого его скорость ц восстанавливается. Состояние движения представлено на схематическом рис. 217 в. Все шары, расположенные левее некоторой границы, движутся с одной и той же скоростью о, а шары, расположенные правее этой границы, находятся в состоянии покоя.
Сама граница перемещается вправо со скоростью с, так что в движение вовлекаются все новые и новые шары, 1 8!! скО!'Ость Рлсн!'ОстРлнвния ВОзмущениЙ В сте!'жнях 437 Рис. 2!9 Очевидно, ничто не изменится, если вместо шаров взять прямолинейный ряд, состоящий из упругих цилиндриков, соприкасающихся между собой своими основаниями (рис. 218).
Это замечание позволяет легко выполнить предельный переход к сплошной среде. Допустим, что длины цилиндриков неограниченно уменьшаются, а число их неограниченно растет, Вместе с тем удары, которым подвергается первый цилиндрик, становятся все чаще и чаще, а сила каждого уда- Рис. 218 ра — все слабее и слабее. В пределе получится сплошной стержень, на свооодный конец которого действует постоянная сила г ! рис. 219). От реального стержня наша модель отличается тем, что она не оказывает сопротивления на разрыв. Но это несущественно, когда рассматривается вопрос о распространении возмущения сжатия, поскольку сопротивлением на сжатие модель „ л В обладает.
Можно было бы усовершенствовать модель, введя между цилиндриками пружинки пренеб- Л В ре>кимо малой массы, связываю- У Р щие их между сооой. Но при рас- с смотрении возмущений сжатия в этом нет необходимости. Мгновенное состояние движения стержня, возникшее под действием постоянной силы Г, может быть охарактеризовано слсдуюецим образом. Вешество стержня, находящееся левее некоторой границы В, движется с одной и той же постоянной скоростью с, а всецество правее этой границы находится в покое.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
