Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 104
Текст из файла (страница 104)
Он является также следствием линейности уравнений (относительно смешений), которым описываются малые возмущения. Для сил<а<их возмущений принцип суперпозииии не справедлив. 2. В предыдущем параграфе было показано, что полная энергия бегуи1его возмущения распределяется поровну между кинетической мвхлникл упгу!'их '1'ю! [гл. х и потенциальной. Необходимость такого результата выступает особенного отчетливо, если к вопросу подойти с точки зрения принципа суперпозиции. Для определенности рассмотрим возмущения, распространяющиеся вдоль стержня, хотя наши рассуждения имеют общий характер. Пусть в начальный момент времени некоторая область стержня деформирована, но все вещество внутри этой области находится в покое. Вся начальная энергия стержня будет чисто потенциальной, Обозначим ее через Е, Если убрать внешние силы, создавшие начальную деформацию, то из возмущенной области вдоль стержня в противоположных направлениях побегут два возмущения, Если первоначальное возмущение было симметрично, то, очевидно, полная энергия Е разделится поровну между обоими возмущениями, возникшими из него, Покажем теперь, что в каждом из этих двух бегущих возмущений кинетическая энергия равна потенциальной.
Для этого рассмотрим оба возмущения в начальный момент времени, когда они полностью перекрыва!отся. Если Р, и Рз— давления, а г! и цз — скорости вещества в обоих возмущениях, то по принципу суперпозиции в начальный момент Р, + Рз = Р, и! + пз = О, где Р— давление в возмущенной области в тот же момент времени. В силу симметрии Р, = Рз = "г Р. Такое же соотношение между давлением в соответствующих точках сохранится и в каждый последующий момент времени.
В частности, оно останется справедливым и тогда, когда оба возмущения разойдутся, т. е. перестанут накладываться друг на друга. Тогда уже имеет смысл говорить о разделении полной энергии между возмущениями, возникшими из начальной возмущенной области. Так как потенциальная энергия пропорциональна квадрату давления, то потенциальная энергия в каждом из бегущих возмущений будет Е/4, а потенциальная энергия обоих возмущений вместе — Е/2. Для сохранения энергии необходимо, чтобы другая половина полной энергии перешла в кинетическую, Понятно, что и кинетическая энергия распределится поровну между обоими бегущими возмущениями. Таким образом, в каждом бегущем возмущении кинетическая и потенциальная энергии будут одинаковы и равны Е/4.
3. Приведенное рассуждение, поскольку оно основано на соображениях симметрии, не вызывает возражений, если начальное распределение деформации само обладает требуемой симметрией, Но рассуждение остается применимым и в тех случаях, когда это условие не выполняется. Чтобы убедиться в этом, достаточно мысленно разбить начальную возмущенную область на бесконечно малые области. Внутри каждой из таких бесконечно малых областей давление можно считать постоянным, а его распределение можно изобразить в виде бесконечно узкого прямоугольника. Таким образом, начальное распределение давления в каждой из бесконечно малых возмущенных областей будет обладать требуемой симметрией. По принципу суперпозиции возмущения, исходящие из каждой беско- 443 Ц!'ИМВНЕНИЯ ПРИНЦИПА СУЦЕРЦОЗИЦИИ ! вг! вечно малой области, совершенно не зависят от того, возмущены или нет другие бесконечно малые области. Поэтому к этим возмущениям полностью применимы рассуждения, приведенные выше.
За время ! возмущения из рассматриваемой бесконечно малой области Рис. 222 распространяются на расстояние ск Если возмущения, возникшие из всей возмущенной области в момент ! уже ие перекрываются, то не будут перекрываться и возмущения, возникшие из отдельных бесконечно малых возмущенных областей (рис.
222). Для них остается справедливым соотношение Р, — Р2 — — !'2 Р. Отсюда следует, что в каждом из бегущих возмущений, возникших из возмущенной облисти, равны не только полные кинетические и потенциальные зпергии, но и их плотности. 4. В приведенном рассуждении предполагалось, что оба бегущих возмущения возникли из начальной деформированной области, находившейся в состоянии покоя. Те же рассуждения, понятно, можно было бы провести и для возмущений, возникших из недеформированных областей, частицам которых в начальный момент времени сообщены скорости, произвольным образом распределенные по этим областям (см.
задачу 1 к этому параграфу). 5. Итак, для того чтобы возмущение было бегущим, необходимо, чтобы плотности кинг!наческой и потендиальпой энергий в нем были одинаковы. Вопрос в том, в какую сторону будет распространяться возмущение, легко решается с помощью энергетических соображений. Пусть, например, возмущенная область АВ распространяется вправо (рис. 221). Проведем в ней произвольное сечение 5. Чтобы возмущение распространялось вправо, необходимо, чтобы часть стержня А5 совершала положительную работу над частью БВ, т. е. должно быть Ри > О, если условиться считать скорости частиц стержня положительными, когда она направлены вправо.
Если е > О, то должно быть Р > О, т. е, напряжение в сечении 5 должно иметь характер давления. Если же с < О, то должно быть Р < О, т. е. напряжение в сечении Б должно сводиться к натяжению Т = — Р. Чтобы возмущение распространялось влево, необходимо выполнение условия Ри < О. Если равенство кинетической и потенциальной энергий в возмущении не имеет места, то возмущение разделится на два возмуи1ения, распространяющихся в противоположных направлениях. В общем случае эти возмущения будут уносить разные энергии. Например, если всюду в начальной возмущенной области Ри>0, то 444 МЕХАНИКА УПРУ!'ИХ '1'Ю! !Гл.
х Растяжение энергия, уносимая вправо, будет больше энергии, уходящей влево. При Ро < О соотношение между этими энергиями будет обратным. Если же Ри = О, то оба возмущения унесут одинаковые энергии. 6. Из изложенного следует, что в бегущей волне сжатия частицы стержня движутся в тол! же направлении, в каком распространяется само возмущение.
Если же возмущение носит характер растяжения, то эти направления противоположны. Предположим сначала, что возмущение является сжатием и распространяется вдоль стержня слева направо. Исследуем, что произойдет, когда оно достигнет правого конца стержня. Будем предполагать, что правый конец стержня свободен, т. е. не закреплен. Тогда с приходом возмущения частицы на конце стержня приобретут скорости, направленные вправо. Так как конец стержня свободен, то остановиться эти частицы могут лишь тогда, когда со стороны стержня на них подействуют силы, направленные влево. А для этого стержень у правого конца должен оказаться растянутым.
Сжатие на конце стержня переходит в растяжение. Последнее вызовет в стержне возмущение растяжения, которое будет распространяться в нем влево (рис. 223). Все Рис. 223 происходит так, как если бы в некоторый момент времени был оттянут свободный конец стержня и в нем создана деформация растяжения. В возмущении, распространяющемся налево, поскольку оно является возмущением растяжения, частицы среды должны иметь скорости, направленные вправо. Эти скорости частицы приобретают под влиРастяженис янием сил натяжения, с которыми на иих действуют ~::) растянутые части стержня, лежащие правее. Мы видим, что от свободного конци стержня возмущение ежа!ие сжатия отражается и переходит в возмущение растяжения.
Аналогично ведет себя и возмущение Рис. 224 раетяжсиия. ОНО танжЕ Отражастея От СВОбадНО- го кониа и переходит в возатущепие сжития (рис. 224). В обоих случаях при отражении от свободного конца стержня знак деформации меняется на противоположный, тогда как знак скорости вещества и сохраняется неизменным.
Иначе ведет себя возмущение при отражении от закрепленного конца стержня. В общем случае возмущение распадается иа два: одно возвращается назад в виде отраженного возмущения, другое проходит в среду, с которой граничит закрепленный конец стержня. Только в предельном случае, когда эта среда бесконечно жесткая, возмущение отражается целиком. Рассмотрим этот предельный случай. Когда возмущение достигает границы, то сжатие (растяжение) продолжает оставаться сжатием (растяжением), так как конец стержня закреплен и смещаться не может. Но силы, действующие на этот конец со стороны среды, с которой он граничит, меняют направление скоростей частиц на противоположные. Знаки деформа- 445 ПРИМЕНЕНИЯ ПРИНЦИПА СУПЕРПОЗИЦИИ 8 вг) ций при отражении сохраняются, а знаки скоростей изменяются. В результате возмущение сжатия отражается также в виде возмущения сжатия, а возмущение растяжения — в виде возмущения растяжения, ЗАДАЧИ 1.
В упругом стержне создана такая начальная деформация сжатия, что скорости всех частиц в деформированной области направлены в одну сторону (напримср, вправо), причем в каждой точке плотность потенциальной энергии в а раз превосходит плотность кинетической энергии. Определить, какая доля первоначальной энергии будет унесена возмущением, распространяющимся вправо, а какая доля — возмущением, распространяющимся влево. Решен не. Для простоты введем !акис единицы, чтобы плотности кинетической и потею!иальной энергий выражались формулами !э „= гг, ш„к = Рг.
Представим начальные значения Р и о в виде Р=Р!+Р, о=н!+!г. ПУСТЬ КажДОЕ ИЗ НаЧаЛЬНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ Р1, Е! И Рг, Нг ПОРОжДаЕт ВОЗМУЩЕ- ние, бегущее в одном направлении. Тогда Рг = ог, Рг = ог. Если первое возмущение бежит вправо, а второе — влево, то Р!о! > О, Ргпг < О. Учитывая это, получаем о1* Рг "г и далее Ртт Р— 1 1 ' 2 2 2 ' 2 Отношение энергий, уносимых возмущениями, равно г 1тг!ста !тат!) 1 — г""т ! 'а — Г> ' Если в начальном возмущении вся энергия либо кинетическая 1а = О>, либо ПОтЕНцнаЛЬПая (а = !ч >, тО Е, = Ег.
2. Стальной цилиндр 1 = 10 м, движущийся вдоль своей оси со скоростью о, сталкивается торцом с таким же неподвижным цилиндром, ось которого является продолжением оси первого цилиндра. Рассматривая упругие возмущения, возбуждаемые при ударе, определить время соударения цилиндров. При каких значениях скорости о наступают пластические деформации цилиндра или их разрушснису Для стали Е = 2 10'глин/ем~, р = 7,8 г!см~, предел упругости Ро = 2.10 дин/ем~. 446 МНХАНИКА УПРУГИХ '1'Ю! (Гл. Х Р е ш е н и е. В момент соприкосновения цилиндр А движется со скоростью 2, цилиндр В покоится, оба цилиндра не деформированы (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
