Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 108
Текст из файла (страница 108)
Изучив поведение моделей реальных систем, можно с помощью теории подобия или размерности сделать выводы о поведении самих систем в реальных условиях. Теория размерности сводит вопрос о подобии физических явлений в указанном выше смысле к анализу размерностей физических величин. 2. После этих предварительных замечаний установим общий вид формулы размерности. Как разъяснено выше, мы должны требовать, чтобы из уравнения у = у'(х) вытекало уравнение У = у(Х), где Х = ах, У = ру. Аргумент х и параметр а могут независимо принимать любые значения.
Задача состоит в том, чтобы по заданному значению а найти значение р. Путем дифференцирования при фиксированных а и р находим г (х), У (Х). Вторую из этих формул запишем в виде Поделив ее почленно на первую формулу и заменив а и р выражех ) ((х) ниями а = —, р = — =, получим х' у )'(х) ' Г'(х) 7'(Х) 7'(х) 7" (Х) ' Слева стоит функция только х, справа — та же функция только Х.
Обозначив ее через Г, имеем г(х) = г"(Х). Но в силу произвольности и параметра а аргументы х и Х = ах могут независимо принимать любые значения. Поэтому равенство г(х) = г"(Х) должно выполняться тождественно, каковы бы ни были х и Х. Это значит, что г"(х) есть постоянная. Обозначив эту постоянную че- 460 МЕТОДЫ ПОДОЬИЯ И РАЗМЕРНОСТИ (гл. х| рез т.
получим дифференциальное уравнение х =т, У'(х) )'(х) иу(х) |(х У (.| ) = т —. Отсюда находим У(х) = г" х'", где г' — постоянная интегрирования. Таким образом, у = Т"вх . Аналогично У =,г"0Х~ или ру = У (ах)'". Исключая почленным делением х и у, находим ))=а . (87.1) Это и есть формула размерности. Мы видим, что требование независимости функциональной связи между х и у от выбора мзсштаба единицы основной физической величины х может быть удовлетворено только тогда, когда размерность выражается формулой степенного вида. Приведенные рассуждения без труда обобщаются на случай, когда рассматриваемая физическая величина зависит от нескольких основных физических величин.
Для этого в рассуждениях надо только фиксировать единицы всех основных физических величин, за исключением одной из них. Таким путем нетрудно показать, что формула размерности должна быть степенного вида относительно всех основных физических величин. Допустим, например, что число основных величин выбрано равным трем, и за них приняты длина (Е), масса (М) и время (Т). Тогда размерность любой физической величины у представится формулой [у! =ЕРМ Т", (87.2) где р, в, г — постоянные числа. Формула (87.2) означает, что если единицы длины, массы и времени уменьшить соответственно в а, 1) и ( раз, то единица производной величины у уменьшится в аерчу' раз, а следовательно, ее числовое значение увеличится в такое же число раз. 3.
Если посмотреть на размерности физических величин, фактически встречающих в физике, то нетрудно заметить, что во всех случаях числа р, и, г оказываются рациональными. Это не обязательно с точки зрения теории размерности, а является результатом соответствующих определений физических величин. Так, например, скорость вводится по формуле с = зу( и поэтому имеет размерность длины, деленной на время. Для нее р = 1, () = О, г = — 1.
Но в принципе теория размерности допускает введение величин с иррациональными значе- 461 Фогмю!л Рлзмквности ! 87! ниями р, !/, г, например величины (1/!) х'з. Для такой величины было бы р = !/2. Подобные величины не вводятся в физику не по каким-то принципиальным соображениям, а просто потому, что в них нет надобности. Теория размерности здесь ни при чем. 4. Часто размерность физической величины отождествляют с ее единицей в соответствующей системе единиц.
Так, например, говорят, что скорость имеет размерность см/с, а сила — г см/сз. Хотя это и нелогично, но особой беды в этом нет. Всегда, если есть необходимость, единицы такого типа позволяют перейти к формулам размерности, в которых масштабы единиц основных величин не фиксированы. 5. В зависимости от выбора основных величин, а также от вида формул. связывающих эти величины с производными, одна и та же физическая величина получает в разных системах единиц не только различные числовые значения, но и различные размерности. Так, например, в системе 1.МТ размерность силы устанавливается из второго закона Ньютона У = Сгли, в котором коэффициент С условно считается безразмерным и полагается равным единице.
Тогда сила получает размерность 1.МТ ~. Но так поступать не обязательно. Можно коэффициенту С приписать произвольную размерность и придать произвольное числовое значение. Тогда получится новая система единиц, в которой сила будет иметь уже другую размерность. Наприт!~и! мер (и так иногда делают), в уравнении / = С,, выражающем закон всемирного тяготения Ньютона, приравнивают гравитационную постоянную б единице и считают эту величину безразмерной.
Тогда сила / получает размерность Мз1. з, а во втором законе Ньютона / = Ста появляется коэффициент С с размерностью М1. зТ~. Разные физические величины могут иметь одинаковые размерности даже в одной и той же системе единиц. Примерами могут служить в механике работа и кинетическая энергия или работа и момент сил (система М).Т, а в учении об электричестве и магнетизме — емкость и индуктивность, имеющие в так называемой гауссовой системе единиц размерность длины. В таких случаях и единицам этих физических величин часто дают одинаковые наименования, хотя по существу это совершенно разные вещи. Одинаковая размерность двух различных физических величин в какой-либо системе единиц говорит не об их тождестве, а только о том, что в рассматриваемой системе масштабы единиц этих величин меняются одинаково при изменении масштабов единиц основных физических величин.
В других системах единиц размерности тех же физических величин могут и не совпадать. Несовпадение размерностей одной и той же величины в разных системах единиц иногда истолковывают как некоторое логическое противоречие, требующее объяснения. Оно подало повод к постановке вопроса об «истинной» размерности физических величин. На основании изложенного нет никакой необходимости доказывать, что физи- 462 МЕТОДЫ ПОДОЬИЯ И РАЗМЕРНОСТИ игл. х1 ческой величине самой по себе не свойственна никакая размерность. Последняя появляется лишь после установлений той или иной системы единиц, а вопрос об «истинной» размерности физических величин, по меткому замечанию Макса Планка, имеет не более смысла, чем вопрос об «истинном» названии какого-либо предмета. 6. Безризмерггыми комбинациямгг физических величин называются такие комбинации, которые в рассматриваемой системе единиц имеют нулевую размерность.
Их числовые значения не меняются при изменении масштабов единиц основных величин, Легко привести примеры таких комбинаций. Если величина у имеет размерность величины х в степени а, то очевидно, у/х будет безразмерной комбинацией, составленной из х и у. Обший метод нахождения безразмерных комбинаций можно разъяснить на примере системы единиц, построенной на основе трех величин: длины 1ь), массы 1М) и времени 1Т). Пусть и величин х„х, ..., х„в этой системе имеют размерности соответственно ЮМ«Т", 1РгМ«Т", ..., 1Р»М«Т" . Требуется составить из них безразмерную комбинацию. На основа- нии теоремы, доказанной в п. 2, искомая комбинация должны иметь вид х", хг ...х„".
Ее размерность будет (1.»гМ«гТгг)ггг(1РгМ«гТ"г) г (1Р„М«„Т"„)гг„ т. е, 1РМ«Т", где р = р~аг + ргаг+ ... + р„агн г/= г/га, + г/газ+ ... + г/на„, г = г, а1 + ггаг + ". + г„а„. (87. 3) (87.4) г/гаг + г/гаг + " + г/„а» = О, г,а, + ггаг+ ... + гна» = О с неизвестными а,, аг, ..., а». Одно из этих неизвестных всегда можно выбрать произвольно, так как безразмерная комбинация остается безразмерной, если ее возвести в произвольную степень.
Фиксируем, например, а,. Тогда получится три уравнения для определения н — 1 неизвестных, за котоРые Удобно пРинЯть отношениЯ аг/а„аг/а,, ..., а„/аи Если эти уравнения независимы, то 1л — 1) — 3 = и — 4 отношений Для того чтобы комбинация была безразмерной, необходимо и достаточно, чтобы р= и= г = О, Это приводит к системе трех однородных уравнений р,а, + ргаг+ ...
+ р„а„= О, 464 МЕТОДЫ ПОДОБИЯ И РАЗМЕРНОСТИ 1гл. х| 2. Доказанной теореме можно придать другую форму. Разрешим уравнение 188.1) относительно одного из аргументов, например первого, и результат умножим на знаменатель этого аргумента. Получим х2 х,=агфчс" р '1аги|ксп (88. 2) где р — какая-то функция безразмерных аргументов, Это означает, что во всяком физическом законе типа А= В размерности обеих частей равенства должны быть одинссковьс.
В таком виде доказанная теорема получила название правила разлсерноснсей, В равенство типа А= В могут входить в качестве множителей либо постояннме коэффициенты, либо безразмерные комбинации физических величин. Над размерными величинами правило размерности допускает выполнение только степенных математических операций. Все прочие математические операции (зсп х, в-', 1п х и т. и.) могут выполняться только над безразмерными величинами. Правило размерности очень полезно для проверки формул.
Если вычисления проводятся в какой-то одной системе единиц, то размерности обеих частей всех полученных равенств должны быть одинаковы. Несовпадение размерностей указывает на наличие ошибки, допущенной при вычислениях, Из доказанного отнюдь не следует, что невозможны физические законы, выражающиеся в виде равенств между величинами разной размерности.
Равенства подобного рода встречаются в физике сплошь и рядом. Например, скорость свободного падения можно вмразить приближенной формулой с = 101 1если начальная скорость равна нулю), а гидростатическое давление слоя воды формулой Р = 1/10й. Однако подобные формулы справедливы только тогда, когда точно фиксированы единицы входящих в них физических величин. В приведенных примерах предполагается, что время С измеряется в секундах, скорость с — в метрах в секунду, толщина слоя воды и — в метрах, давление Р— в атмосферах. Изменения масштабов единиц такие формулы не допускают. Но в таком случае нет смысла говорить и о размерности входящих в них физических величин. 3. Теория размерности сама по себе, т. е. без использования добавочных данных, не может привести ни к каким конкретным физическим выводам, поскольку в ее основах не заложены никакие физические законы.
Для того чтобы извлечь из этой теории конкретные выводы, нужно установить, лсежду какими физическими величиссалси существуют количественные связи. На этот счет теория размерности не может дать никаких указаний. Это можно сделать только либо опытным путем, либо с помощью каких-то физических законов. Приводимые ниже примеры могут служить иллюстрацией высказанных утверждений. ПРАВИЛО РЛЗМ>ВНООТИ 465 1 вв> ЗАДАЧИ 1. Составить все независимые бсзразмерные комбинации из величин 1, лп, Г, лл, и, р, Е, |р П вЂ” длина, и — масса, > — время, и — скорость, и— ускорение, р — плотность вещества, Š— модуль Юнга, лр — угол, измеренный в радианах). Р е ш е н и е. Проще всего поступить следующим образом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
