Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 106
Текст из файла (страница 106)
227 Р е ш е н не. Для общности будем считать, что стержень представляет собой цилиндрическую трубку с внутренним радиусом г! и нарухсным радиусом г . Пусть к основанию трубки приложены постоянные касательные напряжения, создающие вращающий момент М относительно ес геометрической оси. В трубке возникнет деформация кручения, скорость распространения которой обозначим через с.
В возмущенной области вещество будет вращаться с постоянной угловой скоростью «э. Если момент М действовал в течение времени т, то, очевидно, 8 841 СКОРОСть НОПЕРГЧНЫХ ВОЗМУ!ЦКНИЙ в НАТЯНУТОМ ШНУРЕ 451 гнутого шнура грие. 227). Будем предполагать, что деформации натянутого шнура, связанные с поперечными смещениями его частиц, малы. Тогда можно пренебречь изменениями натяжения Т, обусловленными изгибом шнура при таких малых деформациях. В этом приближении натяжения Т, действующие на концы участка АВ вдоль его оси, одни и те же. Их составляющие, касательные к основаниям участка АВ, равны Т Рйп 7 Ту.
Поэтому на основаниях рассматриваемого участка будут действовать касательные напряжения т = (Т/5)7, где 5 — площадь поперечного сечения шнура. Деформацию участка АВ можно рассматривать как сдвиг под действием таких касательных напряжений. Сравнивая поэтому предыдущее выражение с формулой т = 67, находим, что роль модуля сдвига играет величина б = Т/5. Подставим это выражение в формулу (83.5) и введем обозначение й = Р5. Тогда для скорости распространения поперечных возмущений в шнуре получим с = )à —.
184. 1) Величина Ь равна массе, приходящейся на единицу длины шнура. Она называется линейной плотностью шнура. 2. Если возмущение в шнуре распространяется в одном направлении, то в таком возмущении плотности кинетической и потенциальной энергий в любой момент времени, конечно, будут одинаковы.
Направление распространения возмущения можно опрсделигь из энергетических соображений. Для этого помимо формы шнура в рассматри- — ~ с ваемый момент времени надо еще задать скорость каждой его точки. Так, например, возмущение, представленное на рис. 228, распространяется вправо. Вертикальными стрелками обозначены скорости частиц шнура в рас- Рнс. 228 сматриваемый момент времени.
Если мыслещю провести в шнуре какое-либо поперечное сечение, то угол между силой натяжения, действующей на правую часть шнура, и ее скоростью в рассматриваемом сечении будет острым. Напротив, сила натяжения, действующая на левую часть шнура, составляет с соответствующей скоростью тупой угол. Это значит, что над правой частью шнура сила натяжения совершает положительную, а над левой — отрицательную работу. Нозтому-то возмущение и распространяется вправо. Если изменить на нротивоположныс направления скоростей всех частиц, то возмущение пойдет влево.
3. Формулу (84.1) можно получить также следующим, очень поучительным способом. Пусть в шнуре возбуждено поперечное возмущение, распространяющееся, например, вправо (рис. 228) со скоростью с. Рассмотрим явление в системе отсчета, равномерно движущейся вправо со скоростью с. В этой системе отсчета возмущение будет стоять на месте, а весь шнур — двигаться влево со скоростью с. 452 МВХЛНИКХ УПРУГИХ '1'РЛ1 Ггл. х В возмущенной области на это движение будут накладь1ваться малые поперечные колебания частиц шнура. Ось шнура является траекторией движущихся частиц, находящихся на этой оси.
Если на шнур надеть надлежащим образом изогнутую цилиндрическую трубку, неподвижную в рассматриваемой движущейся системе отсчета, то наличие такой трубки никак не отразится на движении шнура. Шнур будет просто протягиваться через трубку, нигде не касаясь ее стенок, Для того чтобы зто имело место, необходимо тянуть шнур с вполне определенной ско- 1 г ростью с, При малых возмущениях скорости попе! л речных движений частиц шнура и малы по сравне! нию с с.
В выражении для полной скорости частиц У ег + гг квадратом малой величины е можно прео небречь. В этом приближении полная скорость ча- стиц считается одной и той же на протяжении всей Рис. ггз его длины н равной с. Однако в области трубки, где шнур изогнут, его частицы движутся ускоренно.
Их ускорения направлены нормально к траектории н определяются выражением и = егггс. Для создания таких ускорений нужна сила, действующая нормально к траектории. Она возникает нз-за изгиба шнура. Найдем ее значение. Выделим мысленно бесконечно малый элемент изогнутого шнура АВ, длину которого обозначим через х (рис. 229). Его можно рассматривать как бесконечно малую дугу окружности радиуса Я. На концы этого элемента действуют продольные натяжения Т, н Т . Их абсолютные величины в пределах принятой точности расчета одинаковы (Т1 = Тг = Т). Но направления немного отличаются друг от друга. Благодаря этому н появляется результирующая сила, направленная нормально к элементу АВ. Она равна г" = 2Т з!п — Тп = Т вЂ”. ч 1 2 Л' Приравнивая зту силу массе элемента АВ, умноженное на его ускорение, получим с Т вЂ” = хб —, л л' откуда снова получается формула (84,1).
й 85. СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЗВУКА В ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ 1. Жидкости н газы обладают только объез1ной улругоетьк>, но не упругостью формы. Поэтому в ннх могут распространяться только продольные возмущения, но не могут распространяться возмущения поперечные. Скорость распространения продольных возмущений в жидкой или газообразной среде можно вычислить по формуле 453 СКОРОСТЬ ЗВУКЛ В ЖИДКОСТЯХ И ГЛЗЛХ 1 551 181.5). Но для этого надо решить, чтб в этом случае играет роль модуля Юнга Е.
Вообразим, что жидкая или газообразная среда за- ключена в гладкую прямолинейную трубу постоянного поперечного сечения. Трением между средой и стенками трубы пренебрежем. Стенки трубы будут препятствовать поперечному движению среды, нисколько не мешая продольному движению. Газ или жидкость в такой трубе можно рассматривать как стержень, вдоль которого рас- пространяются продольные возмущения. Отличие от твердых тел со- стоит в том, что газы могут существовать только под давлениелк При отсутствии такового всякий газ неограниченно расширился бы. Поэтому необходимо предполагать, что в невозмущенном состоянии давление внутри газа отлично от нуля. Обозначим его через Рш Так же будем поступать в случае жидкости.
Если давление внутри газа получит приращение и сделается равным Р = Рв + АКР, то изменит- ся и объем рассматриваемой массы газа. Определим, как изменение объема газа ЛР связано с прираще- нием его давления ЛР. При этом мы будем предполагать, что ЛР малб по сравнению с Рь: ЛРчсРш Если газ заключен в трубе, один из концов которой закрыт неподвижным поршнем, то при измене- нии давления на поршень на величину АКР длина газового столба из- менится на И. Величина — (И/1) есть относительное сжатие столба газа. При малых сжатиях ЛР= — А —, Л/ где А — постоянная. С другой стороны, формулу 175.5) для стержня можно переписать в виде ЬР = — Е, где Л1451) — приращение Л(Ы) 1 длины стержня при изменении давления на ЛР.
По смыслу оно сов- падает с тем, что в случае газового столба мы обозначили через ЛЕ Поэтому, меняя обозначение, модуль Юнга можно определить также с помощью формулы ЬР = — Š—. l ' 185. 1) Из нее видно, что в случае газового столба А = Е. Длина столба га- за 1 пропорциональна его объему 1', и предыдущую формулу можно записать в виде ЛР ЛР = — Š—. к ' В этом виде формула сохраняет смысл для любой формы сосуда, в котором заключен газ, тогда как формула 185.1) относится только к газам в сосудах цилиндрической формы. Будем считать, что давление газа зависит только от его объема И.
Тогда для малых изменений объема АР= — ОР дР ди или 454 мвхлникл упРуГих тю! [гл. х Сравнивая эту формулу с предыдущей, видим, что в газах (и жидкостях) роль модуля 1Онга играет величина Е = — И вЂ”. (85.3) йУ' Вместо объема тела г' удобнее ввести плотность р. Величина Гр есть масса тела, остающаяся постоянной при всех изменениях, Из соотношения Ир = сопз! путем дифференцирования находим а!' дй !' р' а потому Е= р— а'р (85.4) (85.6) где Я вЂ” постоянная.
Если газ взят в количестве одного моля, то постоянная Е будет иметь одно и то же числовое значение для всех газов. Она называется универсальной газовой постоянной и равна Я = 8,31 10! эрг К 'моль '. Напомним, что молем называется количество вещества, масса которого в граммах численно равна молекулярной массе этого вещества 14.
Отсюда следует, что плотность р связана с объемом 1г моля идеального газа соотношением 14 = рг'. В результате получаем (85.8) (85.9) Подставляя это выражение в формулу (81.5), получаем для скорости звука в газах и жидкостях (85.5) ~ йр ' 2. Применим формулу (85.5) к вычислению скорости звука в газах. Впервые это было сделано Ньютоном. Он принял, что изменения давления и плотности газа в звуковой волне подчиняются закону Бойля — Мири от т а (Роберт Бойль (1627 — 1691) — знаменитый английский физик и химик, Эдм Мариотт (1620 — 1684) — французский физик): Р = Ар, где А = сопя!. Отсюда ар!'ар = А = Р/р.
В результате получается формула Ньютона си= 1 —. Р Здесь скорость звука обозначена через сн, чтобы подчеркнуть, что речь идет о скорости звука, вычисляемой по формуле Ньютона. Преобразуем формулу (85.6) к другому виду, более удобному в численных расчетах. Как известно, объем, давление и абсолютная температура Т идеальных газов связаны соотношением РИ = ЛТ, (85.7) 455 СКОРОСТЬ ЗВУКА В ЖИДКОСТЯХ И ГЛЗАХ 1 55! Вычислим по этой формуле скорость звука в воздухе при 0'С (7' = 273 К). Воздух есть смесь различных газов, основными частями которой являются азот (1Г = 28) и кислород (р.
= 32). Среднюю молекулярную массу такой смеси примем равным 1г = 28,8. Подставляя в формулу (85,9) числовые значения, получим сн = 280 мlс, Опыт дает с = 330 мlс. Налицо значительное расхождение между теорией и опытом. Причина этого расхождения долгое время оставалась непонятной, Она была установлена Лапласом (1749 — 1827) лишь в начале Х1Х века.
Закон Бойля — Мариотта относится к таким изменениям давления и объема газа, при которых его температура остается постоянной. Между тем звуковая волна состоит из следуюших друг за другом сжатий и разрежений газа. Над сжатыми областями производится внешняя работа, которая идет на повышение их гпсмпсратуры. Разреженные области сами совершают внешнюю работу и благодаря этому охлаждаются, Так как сжатия и разрежения совершаются очень быстро, то температуры между ними не успевают выравниваться: сжатые области всегда теплее разреженных. Наличие этой разности температур повышает перепад давления между сжатиями и разрежениями и ведет к увеличению скорости звука в газах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
