Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 109
Текст из файла (страница 109)
Из перечисленных величин угол ~Р уже является безразмерной величиной. >>алое замечаем, что Щ имеет размерность длины, а> — размерность скорости, р1з — размерность массы, ро — размерность давления, а следовательно, и размерность г модуля Юнга. Поэтому сразу можно написать следующие безразмерные комбинации: (88.3) Этот способ обладает, однако, тем недос~атком, что он не дает ответа на вопрос, исчерпываются ли рядом (88.3) все независимые безразмерные комбинации рассматриваемых физических величин.
Общий метод, изложенный в в 87, и. б, свободен от этого недостатка. Поэтому мы приведем решение также по этому методу. При отыскании безразмерных комбинаций угол р, как величину безразмерную, можно не принимать во внимание. Из оставшихся семи величин составим комбинацию вида 1 тв(тлллилрвЕ . Если выразить размерности г, и, р, Е через размерности основных величин 1, ш, Е то эта комбинация перейдет в ! плв(т>вбв>лргллпв>-г „т- Ег, т. е. в комбинацию !чтл-ы-зл- ~я-в<-,(л-л-гл-г 'Ш Дгля того чтобы эта комбинация была безразмерной, должно быть а+Ь+>,— За — в=О.
б+ >л+ у — Ь вЂ” 2Л вЂ” 2т = О. Из этих трех уравнений три неизвестных параметра можно выразить через оставшиеся четыре. За независимые параметры проще всего принять Ь, >., >л, л, так как уравнения фактически уже разрешены относительно оставшихся неизвестных а, 3, >ч а = — Ь вЂ” >. + 3>л + ю б = — лл — щ ! = Ь+ 2Л+ 2т. Параметры Ь, )., а, т мол ут независимо принимать любые значения. Полагая последовательно 1) Ь = 1, >. = !л = т = 0; 2> Л = 1, Ь = >л = т = 0; 3) >л=1, Ь=Л=т=О; 4) в=>, Ь=Л=ц=О, получим 1) а= — 1, 3=0, у= 1; 2) а= — 1, >3=0, 7=2; 3) а=З, 0= — 1, 7=0; 4) а=1, >л= — 1, 7=2.
466 мвтоды подопия и глзмь виости (тл. хг Этим значениям соответствуют следующие безразмерные комбинации: 1) —, 2) — '", 3) Я вЂ”, 4) — ' 1 1 и ч Присоединив к нич угол ю, получим всего пять независимых безразмерных комбинаций. Все они являются функциями безразмерных комбинаций (88.3>. Значит, рядом (88.3) исчерпываются все независимые безразчсрныс комбинации, которые можно составить из рассматриваемых физических величин. 2.
Как зависит от высоты а скорость свободного падения тела, если начальная скорость его равна нулю? Решен не. Ускорение свободного падения я постоянно и не зависит от массы, плотности, упругих свойств тел и пр. Поэтому искомая скорость о может зависеть только от я и 6. Из безразмерных комбинаций (88.3> можно составить всего одну независимую безразмерную комбинацию пгда или и98)г, содержащую только длину, скорость и ускорение. Она получается делением первой безразмерной комбинации ряда (88.3) на вторую. Поэтому должно быть 1' — — О, откуда а!8>г — С вЂ” сопи, или г — Св)к Числовой г д Ж коэффициент С из теории размерности найти нельзя. 3.
Пользуясь соображениями размерности, найти зависимость периода колебаний Т физического маятника от его приведешюй длины 1, ускорения свободного падения в и угловой амплитуды и. Ответ. Т = р(гг)И/д. Вид функции ~р(а) из теории размерности определить нельзя. Если эту функцию разложить в ряд Тейлора и сохранить в нем только нулевой член (что можно делать в случае малых колебаний), то получится Т = СуЪд, где С вЂ” постоянный числовой коэффициент, значение которого из теории размерности определить также нельзя. То обстоятельство, что С ~ О, также не вытекает из теории размерности, а должно быть установлено особо (например, опытным путем).
4. Пользуясь соображениями размерности, определить зависимость скорости распространения о продольных упругих возмущений в стержне от модуля Юнга В и плотности материала р. Ответ. г = Свар. Числовой коэффициент С из размерных соображений найти нельзя. 5. Две нсвзаимодействующие материальные точки, находящиеся в центральном силовом поле, описывают геометрически подобные траектории. Сила Е, действующая на каждую материальную точку, пропорциональна ее массе и меняется с расстоянием г до силового центра как г', где л — постоянная.
Как связаны длины 1, и )г геометрически подобных дуг траекторий с временами Т, и Т, затрачиваемыми материальными точками на прохождение этих дуг? Решен ив. Должна существовать связь между длиной дуги траектории 1, временем Т, затрачиваемым материальной точкой не прохождение этой дуги, а также ускорением а, направленным к силовому центру. Ускорения можно выбрать в произвольных, но обязательно подобно расположенных точках. Из этих грех величин можно составить единственную независимую безразмерную комбинацию, за которую можно принять аТгД. Следовательно, должно быть аТг(1 = сопз1. Для ускорения можно написать а = Аг", где А — постоянная, одинаковая для обеих материальных точек.
В силу геометрического подобия траекторий, по которым дви- 467 ИРАВилО РлзмеРИОцти 8 вв! жутся материальные точки, можно также написать а = В!", где  — другая постоянная, также одинаковая для обеих точек. В результате получим Т /" = сопз1, а потому Тг/", ' = Тг/г . В частных случаях и = 1 и и = — 2 получаем Т = сопзг и Т йз = сопз1. Первое соотношение означает, что в случае гармонического осциллятора период колебаний или период обращения вокруг силового центра не зависит от амплитуды или размеров орбиты. Второе соотношение выражает третий закон Кеплера.
Однако этот закон доказан здесь не в общем виде, а только для частиц, движущихся по геометрически подобным траекториям. 6. Наряду с гравитационной постоянной С = 6,6726.!0 з см г г с г и скоростью света в вакууме с = 2,9972438 см/с в физике особую роль играют две фундаментальные постоянные: постоянная Планка й = = 6,6261741 1О гг эрг.си постоянная Больцмана й = 1,380662 эрг/К. Определение последней см.
в т. П (9 62, п. 3). Планк построил естественную систему единиц, в которой эти четыре фундаментальные постоянные полагаются равными единице. Выразить единицы длины, времени, массы и темперщуры в планковской системе через соответствующие единицы в сисгеме СГС, дополненной единицей температуры — ксльвином (К). Р е ш е ц и е. Удобно считать. что обе системы единиц принадлежат к одному и тому жс классу, в котором за основные единицы приняты длина, время, масса и температура. Они отличаются одна от другой только различным выбором единиц этих величин.
Поэтому любое равенство двух величин одинаковой размерности в одной системе единиц должно быть справедливо и в другой. В качестве таких равенств можно выбрать следующие: / = с/, тсг = й//, Спгг// = тг (или Ст// = с ), йТ = тсг. Не требуется, чтобы эти равенства выражали какие-то физические законы. Требуется лишь, чтобы: ! ) правые и левые части этих равенств имели одинаковые размерности; 2) числовые значения длины /, времени /, массы пг и температуры Т были подобраны гак, чтобы рассматриваемые равенства выполнялись. Первое требование выполняется: в случае первого равенства это очевидно, остальные содержат только члены размерности энергии.
В планковской системе единиц с = й = С = й =!. Но тогда из написанных равенств следует / = / = т = Т = 1. Это значит, что значения /, 1, т, Т являются единицами длины, времени, массы и температуры в планковской системе. Решая уравнения (1), находим искомый ответ / = У йС/сл = 4, 051 10 з' см; / = //г = 1,351 ! 0 'з с; т = й/(/с) = 5,456 10 ~ г; Ф = йТ = пгсл = 4,904 1Огв эрг= 3,061 10гэ ГэВ; Т = гпсг/й = 3,552 !Озг К. В теоретической физике вместо постоянной й предпочитают применять постоянную й = й/(2я) = 1,0545887 эрг с. Тогда получается / = РгйС/с' = 1,616. 1О " см; 1 = !/с = 0,5390.! 0 " с; т = й/(/с) = 2,177 1О э г; Х' = /сТ = тсг = 1,956 10!в эрг = 1,22 ! .
! Огг ГэВ; Т = тсг/lс = 1,417 10зг К. ГЛАВА Х)1 МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ В В9. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ 1. В отличие от твердых тел жидкости и газы в состоянии равновесия не облидиют упругостью формы* ). Они облидают только объемн<>й упругостьн>. Я состоянии ривновесия напряжение в жидкости и газе всегди нормально к площадке, на которую оно действует. Касательные напряжения вызывают только изменения формы элементарных обьемов тела (сдвиги), но не величину самих объемов. Для таких деформаций в жидкостях н газах усилий не требуется, а потому в этих средах при равновесии касательные напряжения не возникают.
С точки зрения механики жидкости и газы люгут быть определены как тикие среды, в которых при равновесии касательные нипряжения существовать не могут. Из этого определения следует, что в состоянии равновесия нормальное напряжение в жидкости нли газе не зависит от ориентации площадки, на которую оно действует.
Для доказательства возьмем произвольно ориентированную площадку, внешнюю нормаль к которой будем характеризовать единичным вектором и. Так как напряжение нормально к площадке, то его можно представить в виде о„= — Рп. Напряжения на площадках, перпендикулярных к координатным осям, запишутся как о„= — Р,1, оу = — Рт), о. = — Р,1<, где 1, 1, 1< — координатные орты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
