Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 112
Текст из файла (страница 112)
Она охватывает всю гидро- статику, излагаемую в школьных курсах физики. 3. Остановимся теперь на законе Архимеда и связанных с ним вопросах. Выделим мысленно из жидкости произвольный объем, ограниченный замкнутой поверхностью 5 (рис. 232). Если жидкость гидгостлтикл ньсжимлгмой жидкости 477 находится в механическом равновесии, то, разумеется, должен находиться в равновесии и выделенный объем. Поэтому должны обращаться в нуль равнодействующая и момент внешних сил, действующих на рассматриваемый объем жидкости. Внешние силы — это вес 1з выделенного объема жидкости и давление на поверхность Б со стороны окружающей жидкости, Значит, равнодействующая Р сил гидростатического давления, действующих на поверхность 5, должна равняться Д вЂ” весу жидкости в объеме, ограниченном поверхностью 5. Эта равнодействующая должна быть направлена вверх и проходить через центр масс А выделенного объема жидкости, чтобы полный момент внешних сил, действующих на него был равен нулю, Допустим теперь, что жидкость из выделенного нами объема удалена, и на ее место помещено 0 лгобое твердое тело.
Если это тело удерживается в равновесии, то в состоянии окружающей жидкости никаких изменений не произойдет. Не изменится и давление, оказываемое жидкостью на поверхность 5. В результате мы приходим к закону Архимеда. Если тело, погруженное в жидкость, удерживается в мехиническом ривновесии, то со сгпороньг окружиющей жидкости оно подвергается выталкивиющей силе гидростатического давления, численно равной весу жидкости в объеме, вытесненном тело,ч. Эти выталкивагощая сила направлени вверх и проходит через центр масс А жидкости, вытесненной телом.
Точку Л будем называть центром плавучести тела. Ее положением, как будет показано ниже, определяются ривновесие и устойчивость плавающего тела. 4. С помощью закона Архимеда решается вопрос о равновесии тел, плавающих в жидкости. Для равновесия необходимо, чтобы вес тела был равен весу вытесненной ил~ жидкости, а центр пливучеети Л лежил на одной вертикали с ценгпром масс самого тела.
Что касается устойчивости равновесия, то при решении этого вопроса надо различать два случая. Слу чай 1. Плавающее тело погружено в жидкость целиком. В этом случае при любых смещениях и поворотах тела его центр масс С и центр плавучести А сохраняют свое положение относительно тела. Равновесие устойчиво, если центр масс тела С лежит ниже его центра плавучести А, и неустойчиво, если он лежит выше А. Действительно, если тело слегка повернуть относительно положения равновесия вокруг горизонтальной оси, то в обоих случаях момент пары сил () и Р будет стремиться опустить точку С и поднять точку А (рис. 233).
В результате этого тело приходит в положение устойчивого равновесия, в котором точка С расположена ниже точки А. С л у ча й 2. Плавающее тело погружено в жидкость не целиком, а частично выступает над ее свободной поверхностью. По сравнению мвхлникл жидкосткй и глзов 478 !гл. хп с предыдущим этот случай более сложен, так как при смещении тела из положения равновесия меняется форма вытесняемого им объема жидкости.
Вследствие этого положение центра плавучести относительно плавающего тела изменяется, что и усложняет исследование. Рассматриваемый случай представляет основной интерес при исследовании устойчивости плас вающих кораблей. На рис. 234 а схематически изображен корпус с кораоля в «килевом» положении, когда центр масс корабля С и 0 центр плавучести А лежат на одРнс. 233 ной вертикали, совпадающей с вертикальной осью симметрии корабля. При наклоне корабля на малый угол Р (рис. 234 б) центр плавучести смещается относительно корабля в точку А', оставаясь практически на прежней высоте.
Выталкивающая сила теперь проходит через точку А', и линия ее действия пересекает вертикальную ось симметрии корабля в точке М, называемой метацентром. Если ме- Рис. 234 тацентр лежит выше центра масс корабля, то момент пары сил О и Р будет возвращать корабль в исходное положение. В этом случае равновесие корабля устойчивое. Если же метацентр М лежит ниже центра масс корабля, то пара сил О и Р будет еще больше отклонять корабль от исходного положения. В этом случае равновесие неустойчиво.
Расстояние л между точками С и М называется метацентрической высотой. Если метаиентрическая высота положительна, то равновесие устойчиво, если отрицательна, то неустойчиво. Чем больше й, тем устойчивее равновесие. Момент пары сил О и Р, возвращающий корабль в исходное положение, называется вынрямляюи4им моменгном. Он, очевидно, равен М= ДЬ гйп р.
(91.3) 5 9!! гидгостлтикл нксжичлвмой жидкости 479 Величина 6 сама зависит от р, так как при изменении наклона !р меняется и положение метацентра относительно корабля. Найдем это положение и вычислим метацентрическую высоту л в предельном случае бесконечно малых углов наклона р. Так как выталкивающая сила проходит через точку А'и направлена вертикально вверх, то ее момент относительно точки А будет Ю = Ц.АМ з1п !р или (при малых р) Л!= !.г(Ь+ а) р, где а — расстояние между центром масс корабля и его центром плавучести в положении равновесия.
Величина а считается положительной, если точка С лежит выше А, и отрицательной, если она лежит ниже А. Момент Ж, конечно, не зависит от того, в какой точке линии А'М выбрана точка приложения выталкивающей силы Р. Разложим силу Р на составляющую Р1, параллельную оси корабля ЛМ, и составляющую Р, к ней перпендикулярную. Если точку приложения силы Р поместить в Л', то составляющая Рг не даст момента относительно центра плавучести А, и вычисления упростятся. Тогда полный момент л7 будет создаваться только составляющей РР Понятно, что момент этой составляющей будет одним и тем же относительно всех точек, лежащих на оси ЛМ.
Из изложенного следует, что величину Н= Д()7+ а)!р можно рассматривать как момент выталкивающих сил давления относительно произвольной точки оси АМ, если из этих сил вычесть их составляющие, перпендикулярные к той же оси. Поэтому момент Ж можно вычислить иначе. Если корабль наклонен на угол р, то выталкивающие силы давления с правой стороны увеличатся, а с левой — уменьшатся. При этом мы имеем в виду не полные силы, а только их составляющие, параллельные АМ. Пусть х — расстояние (координата) произвольной точки плоскости НН от оси У, проходящей через О перпендикулярно к плоскости рисунка. Тогда увеличение давления в соответствующей точке дна будет руху, а момент Н представится выражением ~хг ~г „,1, где 7 — момент инерции поперечного сечения корабля вдоль ватерлинии относительно оси У! 1 = ~ хг а!5 (ср. З 80, п.
1). Сравнивая оба выражения для г!!', получаем Ь= — „.— а, (91.4) где К = Я/(р8) — водоизл!еи1ение корабля, т, е. объем вытесняемой им воды. 5. Рассмотрим теперь жидкость в сосуде, равномерно вращающемся вокруг вертикальной оси с угловой скорость со. Будем предполагать, что жидкость вращается вместе с сосудом, а сам сосуд обладает осевой симметрией, например имеет цилиндрическую форму. Эта задача сводится к статической, если перейти во вращающуюся систему отсчета, в которой жидкость покоится. Теперь в уравнении мьхлникл жидкостяй и глзов 480 !гл.
хп (90.5) 1 слагается из силы тяжести ря и центробежной силы рсогг, где г — радиус-вектор, проведенный от оси вращения к рассматриваемой точке и перпендикулярный к оси. Если поместить начало координат на оси вращения так, чтобы ось Е совпала с осью вращения, то уравнения (90,б) примут вид (91.5) Считая р постоянной н интегрируя, получим Р= — !это (х +У ) — Рфг+Ро, ! или 1 Рщ г Рь"г+ ~ о (91.6) (91.ба) Уравнение свободной поверхности Р = сопя! принимает вид 1 — шг(хг + уг) — яя = сопя!. Это — параболоид вращения, обращенный своей выпуклостью вниз.
Если начало координат поместить в вершину параболоида, то постоянная Ро будет иметь смысл наружного атмосферного давления. Уравнение свободной поверхности жидкости будет г г гг г+ д) Конечно, рассмотренную задачу можно трактовать и как чисто динами- ческую. Если жидкость вращается как целое, то при таком движении в ней не возникают силы вязкости. Естественные поверхностные силы, действую- щие в жидкости, сводятся к силам нормального давления. Поэтому в этом случае можно пользоваться уравнением Эйлера (90.7) независимо от тощ, является ли жидкость идеальной или вязкой.
При равномерном вращении производная — сводится к центростремительному ускорению — о~ г. Поэтодг г ю му, полагая в уравнении (90.7) Г = ря, получим — рюгг = ря — агам Р, а эпо векторное уравнение эквивалентно трем уравнениям в проекциях (91.5). Давление в центре, таким образом, минимально и монотонно возрастает к краям. С этим связано, например, следующее явление. Если чайной ложкой привести во вращение воду в стакане, то после прекращения помешивания чаинки и песчинки, имеющиеся в ней, со- Если сосуд имеет плоское дно, то для определения давления на дно надо в формуле (9!.ба) положить з = — (т, где и — высота уровня жидкости над дном на оси вращения (напомним, что ось У направлена вверх). Получим Р— Р = рФ + г р ггг.
(91. 7) гидгос!'Атика несжимлвмОЙ жидкОсти 431 1 9!! Р = рд ~ (г! + г) а!5 = р51', (91.8) где 1г — объем жидкости в сосуде. Как и следовало ожидать, полная сила давления равна весу этого объема жидкости. ЗАДАЧИ 1. Жидкость налита в сосуд, имеющий форму прямоуюльною параллелепипеда. Вычислить момент сил гидростатическою давления, действующих на боковую стенку сосуда, относительно ее нижнего основания.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
