Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 103
Текст из файла (страница 103)
Сама граница В перемешается вправо с постоянной скоростью с. В акустике, как правило, имеют дело с так называемыми малыми возмуи4ениями. В этих случаях скорость вещества с бывает очень мала по сравнению со скоростью распространения возмущения с. Нарушение этого условия наблюдается только в случае очень сильных возмущений, называемых ударными волнами, которые здесь рассматриваться не будут. Мы ограничимся исследованием распространения только малых возмущений. 3. Вычислим скорость распространения малых продольных возл1уи1ений в стержне, возникших в результате действия постоянной силы давления Р, приложенной в некоторый момент к его свободному концу (рис.
219). Этот момент в дальнейшем принимается за нулевой, т. е. за начало отсчета времени. В возмущенной области стержня все вещество в любой момент времени 1 движется с постоянной скоростью о, а сам стержень в указанной области всюду деформирован одинаково. Если т — масса деформированной части стержня в момент 1, то его импульс в тот же момент будет тс. При- 438 механика упруГих 'тел (ГЛ. Х ращение импульса стержня за время Л, т. е.
о((ти), равно импульсу силы Р ((1 за то же время. Это дает 4(лге) (81.1) с(т (81.2) Р= рсо. Давление Р связано с относительным сжатием стержня соотношением Р = Ее. Для нахождения е заметим, что к моменту времени 1 правый конец сжатой области стержня В еще не успел переместиться, тогда как левый свободный конец его А' двигался в течение времени г и переместился на расстояние оп В результате длина возмущенной области стержня по сравнению со своей исходной длиной укоротится иа Л/ = оп Поэтому 2(1 е а = ! с' (81.3) Ее Р= — ' с ' (81. 4) Исключая Р из формул (81.2) и (81.4), получим с = 11'=. (81.5) Р Этой формулой и определяется скорость распространения упругих возмущений в рассматриваемом случае.
4. Работа, совершаемая силой Р за время г, равна Л = Рш = = Р5ес( = Ре); где )г — объем возмущенной части стержня. С другой стороны, потенциальная энергия, запасенная при сжатии, Если раскрыть произаодную, то получится кч — ю= Š— о — '. лл и е' (81.1а) Это соотношение яяляется частным случаем ураяиения (21.2). Достаточно замеситтч что возму~с(самую часть стержня можно рассматривать как тело с переменной массой, причем о = — о. Формулу (8!.2), которая выводится ниже, можно получить и из уравнения (81.1а), заметив, *по я рассматрияаемом случае — "=О, — '"=зря. ьы о ' ю За время Г возмущение проходит путь! = сц так что масса возмущенной области стержня будет лт = р5сц где 5 — площадь поперечного сечения стержня, а р — его плотность. Строго говоря, под 5 и р в этом выражении следовало бы понимать значения этих величин для невоэмушениого стержня, Однако в пределах принятой здесь точности расчета в соотношениях подобного рода нет необходимости учитывать разницу между значениями р, 5 и аналогичных величин в возмущенном и невозмушенном состояниях.
Это необходимо делать только при рассмотрении сильных возмущений. Подставив в формулу (81.1) т = р5сц Р = Р5, где Р— давление в возмущенной области стержня, получим СКОРОСть РАСНРОСТРХНВНИЯ ВОЗМУщвниЙ В СТРРЖНЯХ 439 1У = 'лг2 Рср. Таким образом, 1/ = ',г2 .4. Только половина работы идет на увеличение потенциальной энергии стержня. Другая половина тратится на приращение кинетической энергии. В калсдый момент времени кипетичеекая энергия равна потен!4иальной.
Этим свойством, как будет показано в следующем параграфе, обладает любое малое возмущение, распространяющееся в одном направлении. 5. Если в некоторый момент времени сила Р прекратит свое действие, то в стержне образуется возмущенная область, ограниченная с обеих сторон. Это нетрудно понять, воспользовавшись прежней моделью из прямолинейного ряда соприкасающихся упругих шаров (см.
рис. 217) и выполнив затем предельный переход к сплошному стержню. Таким же путем нетрудно убедиться, что обе границы возмущенной области должны распространяться в одном направлении и с одной и той же скоростью. Последняя определяется формулой (81.5). Для доказательства достаточно в возмущенной области провести произвольное сечение — «ч — — «. с (рис. 220), все время состоящее из одних и тех же час- Р тиц. Очевидно, такое сечение А в будет двигаться вправо со Рис. 220 скоростью вещества в. Оно играет роль свободного конца стержня. На него оставшаяся часть деформированного стержня, расположенная левее, давит с силой Г = Р5.
Поэтому к части стержня, расположенной правее рассматриваемого сечения, полностью применимо наше прежнее рассуждение. Из него следует, что граница возмущений области В будет распространяться вправо со скоростью с, определяемой формулой (81.5). 6. Рассуждение не меняется существенно, если вместо постоянной силы давления к концу стержня приложить в некоторый момент времени постоянную силу натяжения. Разница состоит только в том, что по стержню вместо возмущения сжатия побежит возиуи4ение разрежения.
Скорость распространения такого возмущения по-прежнему будет определяться формулой (81.5). Модель, состоящая из соприкасакпцихся упругих шаров, в этом случае, конечно, неприменима. Но ее можно заменить моделью, в которой соприкасающиеся шары связаны между собой бесконечно короткими пружинками пренебрежимо малой массы. 7. В предыдуших рассуждениях предполагалось, что возмущение в стержне вызывается поетошпн)й силой, приложенной к его концу в какой-то момент времени. Обобщение на случай переменной силы не представляет труда.
Обратимся к нашей прежней модели, состоящей из ряда упругих шаров, но скрепленных пружинками пренебрежимо малой массы. Если по первому шару наносить удары различной силы в определенный моменты времени, то и сообщаемые ему скорости будут различными. В соответствии с этим распределение скоростей можно представить прежними схематическими рисунками (см. рис. 217). Однако скорость и будет меняться от шара к шару. Выполнив предель- 440 МВХЛНИКЛ УПРУГИХ '1'Ю1 1гл.
х ный переход к непрерывному стержню, получим возмущение, распространяющееся в определенном направлении, в котором скорость вещества непрерывно меняется от точки к точке. Может изменяться даже направление скорости и, если сила, приложенная к концу стержня, меняет свое направление. Возмущенная область будет ограничена с обеих сторон, если возбуждающая сила действует ограниченное время, Докажем, что для рассматриваемого возмущения остаются справедливыми формулы (81.2) и (81.3), а следовательно, и формула (81,5).
На рис, 221 возмущенная область заштрихована и представлена в два бесконечно близких момента времени 1 и 1 + Ж, За время и'1 возмущенная область перемещается на расстояние с 01. Проведем в возмущенной области произвольное сечение А, состоящее из одних и тех же частиц А У Х Д вЂ” - С Рис. 221 вещества. Оно перемещается вправо со скоростью 0, которую имеют частицы вещества в сечении А в момент времени и За время 01 частицы переместятся в А', пройдя малое расстояние и Л, которь1м мы пренебрегаем. Само возмущение переместится на много большее расстояние с Юп Найдем приращение импульса вещества, расположенного правее выделенного сечения А. Возмущение из точки А переместится в точку Р, пройдя расстояние с и'1, Вещество, расположенное правее Р, в момент 1 + ~й будет обладать в точности таким же движением, каким обладало в момент 1 вещество, расположенное правее А. Поэтому ясно, что искомое приращение импульса будет равно импульсу, локализованному между сечениями А' и Р, т.
е. 5с Ж рщ Оно равно импульсу сил давления Р5 и'1, действующих в течение времени 01 в сечении А. Приравнивая оба выражения, получаем формулу (81.2). Так же легко получить формулу (81.3). Рассмотрим бесконечно малую возмущенную область А'Р (рис, 221). Ее первоначальная длина была равна 1 = с пб Но возмущение достигло сечения А' на время 011 раньше, чем сечения Р.
Благодаря этому путь, пройденный веществом, связанным с сечением А', будет на и 01 длинее пути, пройденного веществом, связанным с сечением Р. Значит, укорочение области А'Р в результате деформации равно И = и и'и Разделив И на 1, получим формулу (81.3). Плотность кинетической энергии в возмущенной области г г щ„и„= — ри~. Плотность потенциальной энергии щи„= — ' с~ = 441 ш*имвнкния ш инципл сю<н позиции 1 зг! П ог = = —,. Подставив сюда выражение для с из формулы (81.5), получим шя„, = ',<г Рог.
Таким обРазом, ш„,„= шо<т Во вгиком бегУЩем упругом возмущении, т. е. возмуи1ении, распространюощемея в определенном направлении, полная энергия распределяется поровну между кинети <еской и потенциальной. й 82. ПРИМЕНЕНИЯ ПРИНЦИПА СУПЕРПОЗИЦИИ 1. Мы пользовались уже при<щипом суперпозиции в статике. Но этому принципу подчиняется также распространение малых возмущений. Пусть в среде распространяется какое-либо возмущение. Смещение какой-либо частицы среды из положения равновесия в этом возмущении обозначим через з,(го, г).
Вектор го означает радиус-вектор рассматриваемой точки в состоянии покоя, т. е. до того момента, когда до нее дошло возмущение. Пусть зг(го,?) — смещение во втором возмущении в той же среде. Какое возмущение возникнет в среде, если в ней возбудить оба эти возмущения'? Принцип суперпозиции утверждает, что результирующее смещение будет з('о г) — з<(го г) + зг('о ?). Это означает, что всякое возмущение, существующее в среде, не влияет на распространение другого возмущения. Каждое возмущение распространяется так, как если бы других возмуи4ений в среде не было. Примером могут служить волны на поверхности воды. Если на спокойную поверхность пруда бросить два камня, то из точек падения будут распространяться круговые волны. Там, где они накладываются одна на другую, возникает довольно сложное результирующее движение.
Но каждая волна после прохождения через область наложения остается в точности такой же, какой она была бы при отсутствии другой волны. Разумеется, принцип супсрпозиции справедлив не только для двух, но для произвольного числа возмущений, накладывающихся друг на друга. Принцип суперпозиции в том виде, в каком он сформулирован выше, следовало бы назвать при<щипом суперпозиции смещений. Но он справедлив и для скоростей частиц, поскольку скорости получаются дифференцированием смещений по времени. Он верен и для упругих напряжений, поскольку последние линейно выражаются через деформации, т. е. смещения. Принцип суперпозицни можно рассматривать как опытный факт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
