Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 118
Текст из файла (страница 118)
Ограничимся линейным приближением, т. е. будем пренебрегать квадратами и высшими степенями скоро- стей деформаций. В этом приближении касательные напряжения яв- ляются линейными однородными функциями скоростей деформаций ди, дь, дь, ди дь дь, — ', — ', — ~, =, =, — '. Если бы из этих шести производных на граду' дх' дх' ду' дх' д; ' дю нице СР была отлична от нуля только производная — ', то вдоль оси ду ' Х на этой границе действовало бы касательное напряжение ди, дь, т' . = т~ —.*.
Если бы отличалась от нуля только производная — ', то Ух ду' дх' касательное напряжение имело бы то же направление и было бы дь, дь равно т" = д — "'. А если отличны от нуля обе производные — ' и Ух дх' !" л в т,„ Примем в согласии с опытом, что формула (96.3) справедлива не только для равномерного течения, но и для течения, скорость их которого зависит от времени.
Касательное ~ух — — напряжение на нижней границе слоя — хх т , направлено в сторону, противоположную тг„. Оно отличается от т хх бесконечно мало в виду бесконечной мало- -У Стн тоЛЩИНЫ СЛОЯ аУ ( ту х т — Хх) Нис. 257 4. Выделим теперь в том же параллельном потоке жидкости бесконечно малый параллелепипед АВС22 с ребрами, параллельными координатным осям (рис. 258). Тензор напряжений, как следует из уравнения моментов, симметричен (см. 8 74, п. 4). Поэтому на основаниях параллелепипеда ВС и Ах>, перпендикулярных к потоку, должны также существовать касательные напряжения, причем дю т = т,„= и — ', Таким образом, касательные напряжения дейст- 503 Вязкость 5 9б! дю то дх' касательное напряжение на границе СР будет (дв, до ') т х= т,, + т„х= т)~ — '+ д ).
Этв НЕПОСРЕДСТВЕННО СЛЕДУЕТ ИЗ предположения о линейнои однородной зависимости между касательными напряжениями и скоростями деформаций жидкости. Отсюда же следует, что найденное выражение для тхх сохранит свою да, до силу, каковы бы ни были значения других производных — ', — ' и дт' ду т. д.
Рассуждая аналогично, найдем выражения и для всех остальных касательных напряжений, действующих на гранях параллелепипеда АВСР. Именно, (9б.4) (да дв„') Если жидкость несжимаема, то этих выражений достаточно для вывода дифференциальных уравнений движения жидкости. Если же жидкость сжимаема, то к ним надо добавить еще выражения для нормальных напряжений. Мы не будем приводить здесь эти выражения, так как они нам не понадобятся. 5.
Рассмотрим частный случай, когда вязкая жидкость вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью со. Линии тока имеют форму окруж- ностей. Пусть А — бесконечно малый участок линии тока длиной гачр (рис. 259). Касательное напряжение на цилиндрической поверхности, на которой лежит этот участок, очевидно, направлено в сторону вращения. Его следует обозначить через т. тт т, . Первый индекс г указывает направление дт, внешней нормали к цилиндрической поверхности, второй индекс Чт — положительное направление касательного напряжения.
В рассматриваемом случае роль Ыу играет г(г, роль дх — длина АВ =Ыр. Поэтому из (96,4) для касательного напряжения т, получаем Т„=Ч~ — т+ "). В ~очке А радиальная составляющая скорости о равна нулю. В точке В появляемся составляющая ач, скорости вдоль радиуса ОА, равная т(г„= — н с(т, так что — ' = — н, а потому 'т д,р (96.5) МЕХАНИКЛ ЖИДКОСТЕЙ И ГЛЗОВ 504 (ГД. Хп Подставляя сюда в = огг, получим т дм т, = 2)г —. д.' (96.6) Вязкис напряжения исчезают, сели — = О, т. с. если жидкость вращается как дчг дг целое, подобно твердому телу.
Этого нс получилось бы, если бы в формуле (96.7) не было учтено второе слагаемое. 6. В качестве примера на применение формулы (96.5) рассмотрим установившееся движение жидкости между двумя равномерно вращающимися коаксильными цилиндрами. Пусть 1 — высота цилиндров, )(1 и Йг — их радиусы, а й, н йз — угловые скорости. Величину 1 будем предполагать очень большой по сравнению с толщиной зазора нг — нг между цилиндрами. Тогда цилиндры можно считать бесконечно длинными и отвлечься от осложняющих обстоятельств, вносимых их краями. Проведем в жидкости произвольную цилиндрическую поверхность радиусом г (рис.
260). Момент сил вязкости, действующих на этой поверхности, относительно оси вращения равен М = 2лг21тт = 2лт)(г 22 дг' Рис. 260 При установившемся вращении жидкости этот момент не должен зависеть от радиуса г. Только при этом условии момент сил, действующих на жидкость, заключенную между двумя любыми коаксиальными цилиндрическими поверхностями, обращается в нуль, а момент импульса жидкости сохраняется. Таким образом, мы приходим к уравнению г — = сопв1. з дм дг Обозначая входящую сюда постоянную — 2А и интегрируя, получим сг = —, + С, А где С вЂ” постоянная интегрирования.
Постоянные А и С определятся из гра- ничных условий. Так как вязкая жидкость прилипает к поверхности тела, которое она обтекает, то угловая скорость сг при г = Йг должна обращаться в йг, а при г = )(2 — в йт. Это приводит к двум уравнениям — +С=й, — '+С=й, А А 1 г 2* 1 2 решая которые, находим 112В2 2 1 2 2 кп,— Л,О, С= 112 112 2 1 505 1 96! ВЯЗКОСТЬ и далее (96.8> Л2 Л> 2 Момент сил вязкости, действующих на внутренний цилиндр, равен 2 2 М = 2я>1(( — 2А) = 4ят)1,' ',(Пт — П,).
2 2 (96.9) у л — л 4, 1 Л2Л2О' 2 2 (96.10) ЗАДАЧИ 1. Введя локальную систему координат с началом в рассматриваемой точке пространства, убедиться непосредственным дифференцированием, что формула (96.7) при вращении жидкости переходит в формулу (96.5). Р е ш е н и е. Проведем через рассматриваемую точку пространства А круговую линию тока. По- А местим начало локальной системы координат в точку А, направив координатные оси Х и У, как указано на рис. 261. Для координат и компонен- т тов скорости в точке В получим х=«з1п Р, У=гсоз Р— ге, п2 = н соз р, 2, = — н з1п р, т ' т т Рис. 261 где ге и г — радиусы-векторы точек А и В, а е скорость жидкости в точке В. Дифференцируя эти соотношения и полагая в окончательных результатах Р = 0 (точка А), получим в точке А ь>х = го г(2> 2>у = т(г 4(г = 4222, 2(2>2 = 2' 2(Т.
Отсюда После подстановки в (96.7) получаем (96.5). Формула (96.9> ложит в основе практического метода измерения вязкости жидкостей и газов. Внутренний цилиндр подвешивается в исследуемой жидкости в вертикальном поло>кении на тонкой нити, а наружный приводится в равномерное вращение с угловой скоростью (22 = П. Измеряется угол закручивания нити ч>, при котором внутренний цилиндр находится в равновесии. Это будет тогда, когда момент вязких напряжений >(2 уравновешивается моментом закрученной нити гл>, где г' — модуль кручения. Вязкость рассчитывается по формуле мехАникА жидкоствй и ГАЗОВ 506 (гл. хп й 97.
СТАЦИОНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ПО ПРЯМОЛИНЕЙНОЙ ТРУБЕ. ФОРМУЛА ПУАЗЕЙЛЯ 1. Пусть вязкая несжимаемая жидкость течет вдоль прямолинейной цилиндрической трубы радиусом )х. Линии тока параллельны оси трубки. Если выделить произвольную бесконечно узкую трубку тока, то из условия несжимаемости следует, что скорость течения о будет одна и та же вдоль всей трубки тока — скорость жидкости не может меняться вдоль трубы.
Но она, конечно может изменяться с изменениl ем расстояния г от оси трубы. Таким 1 1 образом, скорость жидкости и является Р (х) Р(хгг(х) функцией радиуса г. Примем ось труоы за ось Х, направленную в сторону течения. Выделим в трубе произвольную бесконечно коротРис. 262 кую цилиндрическую часть длиной г(х и радиусом г (рис. 2б2). На ее боковую поверхность в направлении движения действует касательная сила г(в вязкости ггР= 2лгт) — ггх. Кроме того, на основания цилиндра в 1(Г том же направлении действует сила разности давлений 2 г(Р о1Р1 = лгз[Р(х) — Р(х + с(х)1 = — лгз — с(х, При стационарном течении сумма этих двух сил должна обращаться в нуль, а потому ~/ю с'Р 2т1 —, = г —.
~М Скорость о(г), а с ией и производная — не меняются с изменением г(г йР х. Поэтому должна быть постоянной и производная —, причем эта г(х производная должна быть равна (Рз — Р1)71, где Р, — давление на входе трубы, Рт — на выходе, а / — длины трубы. В результате приходим к уравнению ,(в Р1 — Рт г(г 2в( (97.1) 2. Как изменится формула (96.9) в предельном случае, когда юлщина зазора меткду цилиндрами 6 = ((з — Д1 пренебрежимо мала по сравнению с радиусами йг и дт? Отвг:т.
М= (Пт (21)' (96.11) Зту формулу можно также получить, рассматривая слой жидкости между цилиндрами как плоскопараллельный и используя формулу (96.2). Зго рекомендуется сделать читателю. ФОРмулл пулзейля 507 1 971 Интегрируя его, получим Рг г и= — г +С. 4чг Постоянная интегрирования С определится из условия, что на стен- ке трубы, т. е. при г = Я, скорость о должна обращаться в нуль.
Это дает Р, — Р. о — 1 2(яг г2) 4чг (97,2) Скорость и максимальна на оси трубы, где она достигает значения Рг г (97.3) При уда,гении от оси скорость и меняется по параболическому закону. 2. Подсчи~аем расход жидкости, т. е. количество ее, ежесекундно протекающее через поперечное сечение трубы. Масса жидкости, ежесекундно протекающей через кольцевую площадку с внутренним радиусом г и внешним г+ Ыг, равна ЫЦ = 2лг дг рщ Подставляя сюда выражение для и и интегрируя, находим искомый расход жидкости Ц = пр ~ 1Я2 — гг)гдг, о или (97.4) — 1 но.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
