Антидемидович 4 - ТФКП (1113365), страница 66
Текст из файла (страница 66)
~ — < / ~У(01!дь! У У(0йь 2ла / à — з 2аг(г — Я) г следует, что для выполнения соотношения (2) достаточно„чтобы йщ / !У(0~ Щ = М, М < оо. (5) Покажем, что разложение функции У можно получить и при более слабых ограничениях, чем (2). и 2. Целме и мероморфные функции Пусть существует такое целое неотрицательное число р, что 2б) (б) Достаточным условием соотношения (б) является следующее: — )' .у(() 1пп — у —, Щ < оо. (7) При !2! < )(! имеем 1 1 :=-':=Х: — '+ ).
— '=Е (- ( 1-а ("" < =о =у+! =а Подставим полученное разложение — '„в (3): у 1 Л ) = , 'д.( ) + „ '" ,†., У »=а =а р+ ! у )+! ("Ы ГР»2 (1 ' (аа> бг+)(б 2) =о Ы>„„"" )' Х(()А( (" а! 2>г! / (»)(( х) г„, Принимая во внимание равенства )'.ук) и) ""' <.> »=а »=о имеем ,"' г у(() =К" 'ЕЕ""' — ', у »=а »=о»=о У(0 У(у) = ~~! (д), (г) + Р), (2)) + — ! 2к! / ба»)(б — х) А(, »=о (8) где Р»(2) = ,'>" =о Переходя в А<»" >а" — многочлен степени не выше р. (8) к пределу при гп — ! со и принимая во внимание (б), имеем 1(2) = йш ~~' (д»(2) + р»(2)), ~2! < )2.
(9) 2*+11 вн2 +!)! ->у+1~ ~ 1 — 2у е2м 1 еьи2 .<-!) е — 2у 1 1 .) е-2у 2) а = х ж ! ()и + 1<) а, 2' а<2 +!) + 1 !оглу! = ез! ее<2 +0 у<2 +!) + 1 1+ < (ее<2 +'> — Ц 1 — е< Равенство (4) (или (9)) и является искомым разложением мероморфной функции на простые дроби. Пример. Найти разложение функции а ! с)82 на пРостые ДРоби. Имеем Ь» = йя (й Е Е), д» вЂ” — — '„.
Пусть 7 — границы квадратов с центрами в начале координат и сторонами длиной (2т+ 1))г, параллельными координатным осям. Оценим с)82 На сторонах квадрата; 1) параллельных мнимой оси; 2) параллельных действительной оси. 1) у = х(2<и+ 1) 2 + )У, 202 Гл. 7, Вычеты и их применения ы«-" Принимая во внимание,что †, ', „ > 1, получаем: 1+ ~с1ав) <, л б у 1 — е Условие (7) выполняется для сща при р = О. Действительно, --( ) )сгйл! 1+е 4(2то+1)тг 8(1+е ) 0(а! < при пт со. ~4 1 — е (то+ 11 л ! — е- 1/ 7 Таким образом, Р„(з) являются постоянными (многочлены нулевой степени): р сщГ Р„(з) = Аь = гез —.
- ( (10) Отсюда 1 Ра(т) = 0 Рь(з) = —. ля По формуле (9) получаем разложение сщ а на простые дроби сщл = — + йщ ~~> +— 1 2а .щ.=-+',)., ',, (12) гм Замечаяяе. В качестве у можно было взять окружности у = (з б С; ~з( = от -~- -'1. При злом оцеиз> ' ка (10) остается прежней. Рассмотрим задачи. 25. С помощью теоремы Митщг-Леффлера найти общий вид мероморфной функции у, имеющей полюсы второго порядка в точках Ьь = йк (й б Е) с главными частями в них 1 9.(л) = (л — пя)з Ч Очевидно, ряд из главных частей 2,'; — -' — т, п б Е, равномерно сходится на любом компакте (в смысле определения и.
2.2.), так как махсорируется в любом круге Кл — — (в б С: 14 < В) сходящимся рядом 2 -„— -' лгу. Поэтому по формуле (3), п. 2.2, полагая в ней Р„(з) = О, получаем: 1 ~(а) = й(л) + Е 1 26. В условиях запачи 25 найти функцию Ь, если У(л) = —, ми а М ФУНКЦИЯ а ь й(л) = -„+ — 2,' -,--' —,т ПЕРИОДИЧЕСКаЯ, С ПЕРИОДОМ тт. ИЗУЧИМ ЕЕ В полосе С = (я б С: 0 < Ве а < я). Имеем Чп б Х )в — пя( 3 гиг — )з( ) зг(п — 1). (символ,у указывает, что й принимает все значения из множества Е, за исключением й = 0). Принимая во внимание абсолютную и равномерную сходимость ряда (11), последнюю формулу можно также записать в виде б 2.
Целые и мероморфные функции 263 Следовательно, Е ! 1 7~ 1 ~ 1 ( — + чт +2 ~ -~О при х-~ос. (х — их)з ~ !х!г с-~ !х — ихр ~-~ (и — !)зхг =ть! Поскольку ~ пп'х( = з)из х+ з)тз у — со при з — оо, О < )(ел ( х, то функция 6 ограничена в полосе 0 и, в силу периодичности, она ограничена и в плоскости С. Согласно теореме Лиувилля, Ь(а) ш О. Таким образом, 1 у~ 1 2' згпг х ~-~ (х — их)з 27. с гюмошью теоремы миттаг-леффлера найти общий вид мероморфной функции г, имеющей полюсы первого порядка в точках Ь„= и (и Е Щ с вычетами в них соответственно равными и. и Имеем + — + (х — у! + ..., !4 < и, и и и 1 д„(х) = — = — —, = — 1 х — и (д) 1 — — * и(и — х) и(х — и) Принимая во внимание, что х' 1 <, УхЕ(хЕС:!4<ьГи), и(х — и) ьгй(и — т й) 2 делаем вывод о том, что ряд 2 „„', равномерно сходится на любом компакте К С С в смысле определения п.
2.2. Итак, согласно формуле (2),п. 2.2, имеем 2 У(х) = Л(х) + Е 28. Локазать равенство 1 1 ~-~ (-!)"2х — + с ~ хг изхгг х за их (и Е Е) 4 Функция г м „вЂ” „' имеет простые полюсы в точках Ь„= их (и Е Х), (-1)" У.( )= х — ил 1 2 2 1 2У ~ !Япх) Г (+1) з е( +1) г еа+е а сйр 2) х = а х ! ги+ — х 2 ! 1 2 2 1 1 ( — ( — ( 1. !а!и4 -( +1) . ( +1) ( +-) -( .$.-) аЬ (из+ -) зг а!г Т В качестве Т возьмем границу квадрата с вершинами в точках (ги -ь -!) х(~1 ~ 1). Оценим ! —: 1) на сторонах квадрата, параллельных мнимой оси; 2) на сторонах квадрата, параллельных дейстангельной оси. Имеем 264 Гл. 7. Вычеты н нх применения Таким образом, оценка (7), п.2.3., выполняется при р = О, Р„(2) = А~ = гез —,,'„.
Отсюда Ре(х) =- О, Р„(2) = — „' . По формуле (9), п.2.3, находим: 1 1 ~-~г ( ( — 1)" 1 1 1 ~- (-1)" 22 зги з х ~-~ 1 2 — пл пл 7 2 ~-~ х' — а'л' »=! 29. Доказать справедливость разложения М Заменив в (12), п. 2.3, з на !а и сократив на — 1, получим: Отсюда следует, что 2 2 2 х 2 2 ч-~ 22 = — — + — с!)2 — = — — + 1+ 7 е' — 1 2 2 2 2 аз+ 4пгггз 30.
Найти разложение мероморфной Функции 2 ! У(2) = л с!акт без использования формулы (12), и. 2.3 М Рассмотрим рял Фурье функции х ! 12(Х) = Савах, -гг < х < л. Имеем пЕХе. Поэтому япаа- 2аяпал ч — ~ „сохах совах = + ,7 ( !)" ал 2 Прн х = л получаем: сохах 1 ч 1 лсГаал = гг — = — +2а у ып агг а аз — пг ' Если продолжить аналитически это соотношение с действительной оси в комплексную плоскость, то получим решение задачи в внле $ '= — +,7 2 9 3. Бесконечные произведения Изучение функций в комплексной плоскости позволяет установить не только новые, иногда неожиланные их свойства (например, связь между показательной и тригонометрическими функциями), но и выделить отдельные классы функций. Целесообразность вьшеления таких классов должна быль подтверждена их значением лля развития самой теории функций и ее применений. аь соз ах = — + ~ а„соз пх, 2 =! х з 222 е* — 1 2 ~-~ з' + 4п'л' 1 ~-! 2» сгЛ.
= -+ ~ х ~ х2 ! п2222' Г „2а япал где а„= — / созахсозпхг(х =(-1)" —— л л а2 п2' 265 б 3. Бесконечные пропзведенпя 3.1. Числовые бескоиечиые произведения Предполагается, что читатель знаком с понятием бесконечного произведения действительных чисел и некоторыми результатами состветствуюшей теории. Пусть (з„) — произвольная последовательность комплексных чисел. Определение 1.
Бесконечное произведение П(1 +.„) (1) называется сходящимся, если последовательность (Р„) частичных произведений, гдг '- =П( +") »=! сходится к конечному и отличному ат нуля предельному эиачеиию Р: Р„-! Р, О < )Р~ < со, которое иаэываетгл значением бескаигчиага произведения (1) и обозначается через П(1+ х„).
Если среди множителей (1 + з„) есть конечное число равных нулю, то бесконечное произведение называется сходяшимся или расходяшимся в зависимости от того, каким является бесконечное произведение, полученное из данного пугем извлечения из него нулевых множителей. В случае, когда среди множителей (1+ з„) есть бесконечное множество нулевых, бесконечное произведение называется расходяшимся. В соответствии с данными определениями исследование сходимости бесконечного произведения сводится к исследованию сходимости бесконечного произведения, все сомножители которого отличны от нуля. Очевидно, для сходимости бесконечного произведения (1) необходимо, чтобы 1!ш э„= О. Действительно, 1пп (! + з„) = 1пп р~" — — р — — 1, следовательно, з„-! О.
Хеарема 1 (о рави осходимости бесконечного произведения и числового ряда). Бесконечное лроизввдгиие П(1+ э„) и рлд 2 1п(1+ х„), — т < !ш 1п(1 Е з„) < л, одновременно стдятсл или расходятся. щ Пусть бесконечное произведение П(1+ э„) сходится. Тогда 1пп Р„= Р, Р ~ О, Р т» со, гле Р„ = 2 (1 + х»), Р = ге'т. Если Р„ = г е'в", -и < (а„ ( к, 1 + э» = р»е'и", и < В» ( к, »=! то р„ )э, В» О при з» вЂ” О, Обозначим Я„ = ',Э" !п(1 + э„) Тогда »=! Я„= !пР„+ 2т„хг, (2) где т„— целое число.
Очевидно, 2т„!г = В, + В, + ... + „— (в„и, таким образом, 2л(т„ю — т„) = В„ю — ()з„»! — р„). Поскольку В„», О, (и„»! — р„-! О, то !2к(т„»! — т„)) < 2!г при достаточно большом и. Поэтому т„, = т„= т для указанных и и Б„= !п Р„+ 2тх!. Сяедовательно, ! цп Б„= '5 1п(1+ э„) = 1п Р + 2тх!', =! т.е. рял 2 !п(1+ э„) сходится. Пусть 2 )п(1 + з„) = Я. Из равенства (2) получаем е " = Р„, откуда !нп Р„т ехр ~ Вт Б„) = е = Р, т.
е бесконечное произведение П(1+ з„) слезится. Если бесконечное произведение П(1+ х„) расходится, то и рял 2 !п(1+ х„) расходится. Допустив, что этот ряд сходится, получили бы противоречие с доказанным выше. Аналогично, из расхолимссти Ря!т,> !п(1+ в„) слелует расходимость бесконечного произведения П(1+ э ). ~ 266 Гл. 7. Вычеты и их иримеиеиия Определение 2. Бесконечное произведение (1) называется абсолютно сходящимся, если бесконечное произведение (3) сходится. Бесконечное произведение (!) и ряд 2 з„одновременно абсолютно сходятся или расходятся. Действительно, из оценки 1+ 1з;1 < е!' ! следуют неравенства, выполняющиеся !гп е йй 1з!1+ 1сз1+ ., + 1з„1< (1+1з,1)(!+ 1з,1) ...
(1+1з„1) < е!'!!+~*О+"'~'"~. (4) Частичные произведения П (1+ 1з„1) и частичные суммы 2 , '1зй1 соответствующих бесконечного й=! й=! произвеления и числового ряда образуют монотонно возрастающие последовательности, которые, согласно неравенствам (4), одновременно ограничены сверху или неограничены. Теорема 2. Абсолютно сходящееся бесконечное произведение сладится. т Пусть бесконечное произведение (3) сходится, Є— его и-частичное произведение, Р„- Р.
Для частичных произведений бесконечного произведения (1) имеем 1Р.-Р.,1= 1Р. !11з.1 =114зй111+зз1... 11+я. !11з.1< (1+1з!1) ... (1+1з. !1) 1з.1 = Р.-Р„„ так как Р„= П(!+1,1), Р„- Р„, = (1+ 1.,1) ... (!+1 „,1)1.„1, > 2. й=! Поскольку Р„- Р, то рял ~ '(Є— Р„, ) (и > 2) сходится и, согласно теореме сравнения рядов, булет сходящимся ряд 2 ,'(Є— Р„,) (и > 2). Это означает, что ЄЄР, Ф оо. Осталось доказать, что Рв ~ О.
Согласно теореме 1, ряд 2 1л„1 сходится. Поскольку начиная с некоторого номера модули 11 -ь з„1 ограничены снизу, то ряд 2 , ') !*.л — ! сходится. Поэтому, по теореме 1, бесконечное произведение П (1 -ь ) —,'". 1) сходится, а вместе с ним и бесконечное произведение П о, где l о„= П ~1 — Д-) (чтобы убедится в этом, полагаем выше Р„' = о„, Р„' = П (1+ ~.Д-~) ), й=! й=! Таким образом, существует 1!ш !)„= !2в Ф О. Так как !2„= р', то Р„Р, ~ О. М Значение абсолютно сходящегося бесконечного произведения не зависит от порядка сомножителей. Действительно, в этом случае сходится ряд 2,'1з„1 (по теореме 1).
Пусть е = ! . Тогда существует такое и, Е )4, что тп > и, 1з„1 < —,' (т.к. 1л„1 О в силу необходимого условия сходимости ряда) . Для указанных и получаем оценку з„~й" 2 3 ''') ~ 2 3 1 1 1 1 1 1 «<1 + — — -)- — — +... < 1-)- — + — + ... = 2, 2 2 4 3 2 2! из которой следует, что чя > и, 1!п(1+я„)1 < 21з„1. Следовательно, ряд 2 )п(1+ я„) абсолютно сходится. Теперь утверждение о независимости значения абсолютно сходящегося бесконечного произведения (!) является следствием равенства (см. теорему !), поскольку лля абсолютно сходящихся рядов выполняется свойспю коммутатив- ности. 267 $3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
