Антидемидович 4 - ТФКП (1113365), страница 69
Текст из файла (страница 69)
(4) и (ияи 1нп М(В ) = О, где (В„) — такая лосоедовательность чисел, что лооуокрухсности ун„с н„ центром в начале координат не содерхсат особых точек функции У). Тогда оЛ > 0 выполняется предельное соотношение Гл. 7. Вычеты и их применения 276 пы у!.... =.(..е.,(г!,.")) ь ь=! Пример. аа(пЛе тесы 2я!.
ге " — вх = (гл 2я! гез =1гп = ге 1+ хз, 1+ зз 2! 4) Пусть функция 7' удовлетворяет условиям 2) и, сверх того, имеет конечное множество простых полюсов (Ь,; 7' = 1, и!) на действительной оси, т.е. !пзЬ; = О. Тогда справедлива формула 1 г! )! - ь!(2 ' г! ! — 2 У(*)), 2 ь, з=! (12) где интеграл вычисляется в смысле главного значения относительно всех точек Ь, и со. м Рассмотрим замкнутую жорданову кривую 7„„= (-)2, )2) ( („) (Ь, — ° « * Ь, -Ь ) ( ) 7, ( ) „, з=! з=! где уз„— верхняя полуокружность радиуса г с центром в точке Ь, и г достаточно малое, у веРхнЯЯ полУокРУжность с центРом в начале кооРдинат и Гь достаточно большое, а кРиваЯ ул охватывает все особые точки аь (Ь = 1, п).
Рассмотрим кусочно-гладкую положительно ориен- тированную замкнутую кривую Г„„= (Г„Г,„, Г„..., Г,„„Г ч„Г„), состоящую иэ упорядо- ченного набора ориентированных глалкнх кривых (рис. 86). Применив теорему Коши о вычетах, имеем +! У(е)!(е = ~~~ / у(е)!(з+ ~~! / Г(а)!(е+ / у(е)!(з = 2яз~~ геа,((г). чь г у=! г у=! г ь=! а ! г. Я Э Гл.
7. Вычеты и их применения вследствие чего имеем х~ 'Г(х)!(х = -е1~ '!! ' / х '3(х)г(х = 2яй~~! гезз" 'у(з). й й о й=! Таким образом, интеграл ~ х 'Т(х)!(х существует и о 1- х у(х)г(х = . ~' геях у(з). 1 — е'!" о й=! (15) Пример. Вычислить Т = 3' -! †* .
Здесь р = О, д = 2, а = -', и условие р < а < е !/Ы(*!.!.4) ' о выполняется. Согласно формуле (15) имеем х ( ) л(е 6 — е !) з(е й — е 6) .4 ! — е ! 4.2. Применение вычетов и вычислению сумм рядов. Пусть У вЂ” мероморфная функция, имеющая конечное множество полюсов (а„; л = 1, и), среди которых нет целых чисел. Пусть, далее, (т ) — последовательносп замкнутых жордановых кривых, окружающих начало координат и не проходящих через целые точки з = и, а также через полюсы функции у и таких, что г -+ со при ш -+ оо, где г — расстояние от начала координат до кривой т . Тогда, если 1!ш / У(з)сздза!(з = О, Г = (у, т~), г„, ( у(з)г(з (пп =О, ,! яп хз г, и соответствующие ряды сходятся, то справедливы соответственно следующие равенства: 1(п) = — л )' гезу(х)сгб7Гз (3) «й й=! (-1)" У(п) = -зг ) гез— 3(х) зю !гз =! й=! (4) и Докажем справедливость формулы (3).
Для простоты считаем, по кривая у симметричная относительно мнимой оси. Выберем гп настолько большим, пабы все полюсы ай (й = 1, и) охватывались кривой Т, н обозначим через 2Р количество целых точек, охватьшаемых этой кривой. Тогда, согласно теореме о вычетах, имеем и Р— у(х) стб аз !(з = ~~! газ я у(х) с1д лх+ ~~! газ я) (х) сгд ха = ~~! газ х)(х) сгдиз+ ~~!,у(3). 2!и / й !' й й=! у=-л. й ! !=- Р г Перейдя в этом равенстве к пределу лри ш — оо и приняв во внимание соотношение (1), получим формулу (3). 5 4.
Применение вмчетаа дла вычислеииа интегралов и сумм рядов 279 Формулу (4) получим аналогично с помощью соотношения (2), приняв во внимание, что гез ~~ = (-1)г Щ). Условия (1) н (2) выполняютсл, если 1(г) = 0(г~) при г — со, а у г .[г Е С г [г[ = гп+ -'), так как в этом случае Чг Е 7 1+с 1 [сгйлг[ <, [г!плг[ < —. 1 — е 5!г ПРимеР. Найти сУммУ Рвла 2; — '-т, и Е Ж Имеем 7(г) = --ьмт, г = -- — полюс втоРого поРЯдка фУнкции 1, ! г 4 (легаль [гч ь) ) л и лг — йп = — 1пп — — с!ало = а дг ) (а+ьг)г /, а ьз дг ьгг'пз гв ь / * ь Е 1 лс(алг = — мо (а+пЬ)з а (а+Ьг)г ь Рассмотрим задачи. 40.
Доказать равенство 2л если а>О, ъ'аг -Ь Ьг 2л — если а < О. »газ+ ЬУ 2 а — оЬС051 о 41. Вычислить интеграл соз пох 1= Дх, а О)й, [а[ уо 1, пь Е [ь( 7 1 — 2асозх+а м поскольку функцил х ь х(х) = —,-в"— -"--т, Р,, = [-ог, л[, нечетнаа, то ) у(х) ~хх = О, в силу чего е' 'ах 1= 1 — 2асгмх+ а' ° Ф В соответствии с формулой (!), п. 4.1, рассмотрим функцию 1 2о 2ь < Ьгг+Ь+г2аг Ь(г — г~)(г — гз)' а — 1Ь.-'г ~ где г, = -' [-а+ ъгау+ Ьг), гг = -* [-а — ьгао+ Ь ) . Если а > О, то точка г, охватывается окружностью 7 = [г Е С: [г[ = ! ), а точка г, лежит вне у и по формуле (1), п. 4.1, получаем М 2$ 4л( 2п = 2лгез а — ьЬ сох( „Ь(г — г!)(г — гг) Ь(г! — гз) ььаз+ Ьз о Если а < О, то точка г, находится вне окружности у, а точка гз охватывается ею, в силу чего, применив упомянуьую формулу, имеем »(1 4л! 2п а — гЬсоьт Ь(г, — гг) «'аз»- Ь~ о Гл.
7. Вычетм и вх применения С помощью замены переменной е'* = з преобразуем интеграл 1 в интеграл по положительно ориентированной окрухсности Г = (7, 7,„), 7 = (з Е С:14 = 1): з в(з 1=— а,г' (з — а)(з — -) г Если 1а( < 1, то Если 1а~ ) 1, то 2х 1= . в в (,вз 1)' 42. Вычислить интеграл 1= / е"'*сов(з(пх)созпхв(х, п бр(. о < Поскольку 1 Е В, 1в Е)й, где 1, = 1 е'а соз(япх)иппхох, то 2 2 2 2 г' 2У о о о Легко убедиться в том, что 1, = О. Полагая в интеграле е'" = з, получим: 1 = — / з" '(е' Ье*)аз, Г = (7,7о,), 7 = (з б С: ~4 = 1].
2в / г Так как Функция з ь з" 'е' аналитическая, то по теореме Коши з ~е аз=О, г поэтому 1 Г., 1= — ~ з е* в(з. 2в 1 По основной теореме о вычетах имеем 1 вг 1= ягезз" е ° = —. м о и! 43. Вычислить интеграл о 4 Функция х Г(з) = в'.,т имеет в плоскости С восемь просзьвх полюсов взвыв зд =ев в (я=0,7), в 1=— а 2 па 2за а —— 1 ~ 3' 1 — а ' а 4. Првиененне вычетов дла вычисления интегралов и сумм рядов 281 ь з 3 1=- у' г(х = згв ~ тев =,/,+хв = 2., „,в ь=в 3 зп' 1 зп' гк — — = — (ге в 8 вь 8 ь=в гз .з 7 +е ге +е ге +е *в ) = лв г = — ~(е 'в+с 'в)+г(е 'в 8 +е 'в))= — ((е в л/ л Злз) — взп — + взп— 4188) ,з ,з — е р) -Ь (е ' в + е' в ) ~ = ° ) .2 = — нп — сов — = — '~( 1+ —. > 8 41' г' 44.
Вычислить интеграл совах 1= /' з(х (а ) 0). -/ . +.;! в М Находим особые точки функции в -зв-ч-, принаалежашие верхней полуплоскости: мв= ы' з, ! з в =е'3 = — +в —, в!в - е'3 = — -+в— 2 2 ' 2 2 По формуле (!0), и.4.1, получаем: 1 / совах 1 / е'" ( е'' ег"" 1=— г(х =— г(х = лв гев + гев 2/ х+хз+! 2/ х+хзв1 1,. вв+ з+1, вввзз+1/ сз = зп з г ! е*" ~ ле ' з е'з е з з з з 2 Л 2чзз ! / 3 з2 61 45. Вычислить интеграл з х — 6 ниах з' ? 3 1 = / — — г)х (а ) О, Ь ) О).
х'+ Ьз х в чг Очевидно, что 1 1 х — Ь' ниах 1 1 *' — Ь' ев" 1= — ! — г(х = — 1пз ! — — дх. 2/ хз+Ьз х 2 / хз+Ьз х * -ь Функция х з /(х) = вт=.ьт ' —, имеет в верхней полуплоскости один простой полюс х, = вЬ и один простой полюс аз — — 0 на действительной оси. По формуле (13), п.4.1, получим: 1 .-ь .
-ь 1 = — 1га(2лвтев/(х)+ лв зев/(е)) = -1ю(2лве + лв( — !)) = ле 2 гь в 2 2' из которых первые четыре принадлежат верхней полуплоскости. Применив формулу (3), п.4.1, ь получим (приняв ао внимание четность функции уз(х) = )ьч-т, Ю„= (-оо, +со)); 282 Гл. 7. Вычегм и их применения 46. Вычислить интеграл Г х — ошх г= ~ з г 2 г(х (а>0). / з( г + аг) о а Функция х г-г р(х) = ф=-ф" —,-, Р, = (-оо, аоо) — четная, в силу чего + е 1 / х — ипх 1 /' х + г(е'* — 1) г(х =— о(х.
(1) 2 / х'(хо+аз) 2 / хз(хо+аз) Действительно, з сох х — 1 г!х зе О, хз(хг + аз) так как подынтегральная функция нечетная, поэтому равенство (1) справедливо. Применим формулу (13), п. 4. 1: х ! П ! х + з(е*" — 1) 1 * + з(ег — 1) '~ 2 = ггг гез -ь — гео 22(22+а') 2 о 22(22-Ьаз) / 1 — е' 47. Интегрируя функцию г у(2) = (а > О, га > 0) по границе полукольца 22(хг + аг) Хл„— — (з б С: г < (2) < Я, 0 < ага 2 < л) доказать, что озп пзх ггх гг -2 = — (2апг+ е — 1). з( 2+аз) 4 з( о М Пусты.
< а < Я, т = (2 Е С: 2 = Хе', 0 < г < гг), у, = (2 6 С: 2 = г е', 0 ~< 1 < гг). Рассмотрим упорядоченный набор гладких ориентированных кривых Г = (ÄÄ, Гг, Г„), являющийся кусочно-гладкой положительно ориентированной замкнутой кривой (рис. 88). Функцил У имеем в точке х = за пРостой полюс, пРичем 2 Е Хл„. Согласно основной теоРеме о вычетах, получаем: / 1 — ез 1 1 — ез ' 1 1 — е* * !" 1 — е* ,/ хг(хг + аг) )г хг(гг + аг) )г хг(хг + аг) / хз(хг + аг) 2'(2) г)х = ах+ г)х + г(х + г(х = га 1 — ег' л(е з 1) = 2ггзгез хг(22+аз) аз Устремляя Н в бесконечность, а г — к нулю н принимая во внимание, что / 1 — ег о йщ гух = О, л , ) хз(х2.!. аг) 283 и 4. Применение вычетов длв вычисление интегралов и сумм радов Г 1 — еа~* 1 Гтт т2ти т Г4 з 2пт'1 1пп/ т(а=1пп — 1 1 — — +2ит +т'~-ит + — ~а+ .. йа= — l "("+") "./ г г = йпт — ! ~-2пт+т2ти ге'~+о ~-пт + — тт ет + ат/ аз / о 2гитг т(ут аз получим: Г 1 — е' ' 2титг йгп / й= —, ° о / аз(ат + ат) аз г;.
2 — 2соз2тих Г яп тих л(е т — 1) 2тил л(е з "— 1 ттх = 4/ т(х = + хт(хо+ ат) / хт(хо+ ат) аз ат аз + 2тиа) 48. Вычислить интеграл Замена переменной х = -1 (! > О) в интеграле -и приводит к интегралу !и ! -1- ттг М. 1т + ат После зтой замены перейдем в равенстве Г(е) т(а = — ( 1п а + $ — 1 ="( ) а~ 2) г к пределу при )2 +со и г О. Получим +от + г/ — ",'~, о Г 4х л тл' +т г / — = — 1па+ —, ,/ хт+аз а 2а о о откуда 1п х т(х тг — = — 1п а. хо+аз 2а о !пх 1= / — лх (а>0).
/ хт+ ат о М ИнтегРиРУЯ фУнкцию а т Г(а) = -т":зт (1пх = 1п'!х)+тагйа) по кРивой Г (см. Рис.88), получим !та Е (г, В)т 1пх Г (п» Г 1пх Г )пг У(х)аз =/ т(х+/ ах+ / т т ах+ / т от(з -/ хз- ат /.о+аз 1 хт+.з /, +а г г„ -и г„ !пх л Г,л'т = 2лт'гез = — (!па+ о — ) . ,„от+а а ( 2) ' 284 Гл. 7. Вы мтм и нл применения Если а = 1, то 1п х г(х =О.м хг+ 1 о 49. Вычислить интеграл х )(х 1= (хг + аг)' о 2 и Функция» ~ 1(») = --!*в г-! имеет полюс второю порядка» = !а в верхней полуплоскости !*в ) плоскости С. Так как 1 / хгг(х Е=— 2,/ (хг+ аг)г' то ма)кем применить формулу (3), п.4.1.
Имеем !»г 4»г(» — )а) 4 1» ')г 2га» ' л 1 =2л!гео г г г л! !!м г г г Я! Вт ) ' ) лг 1)го ," 2 (»г+аг)г, г 4» (»г+аг)г ., 4» (»Ч!а),-. (»+(а)г оа' о м Функция» ~-~ 1(») = -т! — „- имеет полюс в-го порядка в точке» = г, лежащей в верхней о +о" полуплоскости» -плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
