Антидемидович 4 - ТФКП (1113365), страница 68
Текст из файла (страница 68)
и из -~-1 „" 3 =2 зз.и „, „,П(~ -) 22 > М Согласно теореме 1, и. 3.1, указанные бесконечные произведения сходятся или расходятся вместе с рядами 1' / »."'<"-)--2. <"-) "2. — " »." "- =-2."<'"- и( 2 из) и и 2 из) Поскольку рял ~"("-.) сходится (1п(1+ -)т) — ',), а ряд Е 1 акгб— и расходится (ак<б — — „), то первое бесконечное произведение расходится, а второе — сходит» з ся. В 33. Найти области сходимости бесконечных произведений "П("'-.): "П("-*.): '>П('"!)* И а) Поскольку йго (з) Ф О, если )»! ) З„то для этих значений» бесконечное про> наведение расходится. Если (») < 3, то указанное бесконечное произведение сходится абсолютно, так как ряд ~ 12) — сходится.
При этом схолимость равномерная в любом круге К = (» б С: 1»( < т < 3). Следовательно, данное бесконечное произведение определяет в круге К„аналитическую функцию Р. б) Бесконечное произведение сходится в С и является целой функцией. Это следует из абсоюотной и равномерной сходимости ряда 2 -'-т в любом круге Кн = (» б С: ~4 < 22 < 1). в) Данное произведение является бесконечным произведением Вейерппрасса при а„= -и и р„= 1. Следовательно, оно сходится в С и является аналитической функцией в С.
И Итак, любая мероморфная функция является частным двух целых функций. Очевидно, справедливо и обратное утверждение: частное двух целых функций есть мероморфная функция. Отсюда следует второе определение мероморфной функции (первое определение дано в п. 2.2): Фунннин Р називаетсв мерам арф ной, если она является частным двух Иелмх Функций. Рассмотрим примеры. Гл. 7. Вычеты и их врнмевения 272 34.
Исследовать на абсолютную сходимость бесконечное произведение П вЂ”,-4 М Согласно теореме 1, п.3.1, данное бесконечное произведение сходится илн расходится абсолютно вместе с рядом 1 ! (1--„')" ~ ~"' Этот ряд по степеням —,' сходится лишь прн !з) ) 1. Следовательно, областью абсолютной сходимости бесконечного произведения является множество Р = (з б С; ~4 > 1). И 35.
Доказать, что бесконечное произведение П (1 — — 11 е абсолютно сходится прн с+ и) всех з, если только с не является отрицательным целым числом. М Пусть г б С вЂ” фиксированное. При больших и получаем асимптотическую формулу — — — )и - -(~- )(~ — ' ° о( —,)) = = — — — +о —, = +о Если с не является отрицательным целым числом, то ряд (! — (1 — — ) е ) абсолютно сходится, поскольку сходится рял (,.'".',."М Согласно теореме 1, и. 3.1, данное бесконечное произведение абсолютно сходится, если с Ф вЂ” и, пбМ. > 36. Пусть (л„) — последовательность комплексных чисел, удовлетворяюшая условиям: а) )Гп б г( 0 < !л„( < 1 и 1з„~ < (з„ы П б) ряд сходится.
Доказать, что бесконечное произведение (2) сходится в круге К = (х б С: ф < !) и представляет в этом круге аналитическую функцию Р, обрашаюшуюся в нуль лишь в точках зь еп ... и удовлетворяюшую неравенству 1Р(з)( < 1. М Рассмотрим в круге К1„! = (з б С: !з! < )зь|) функцию з„— з -П вЂ”" (3) ! — зз„ =ь Все сомножителн в (3) отличны от нуля. Из оценки 1(з„— з)д„1 — )з.!т 2(1- 1я.И 1 — ля„)! — ау„) 1 — )за ~ н схолимости ряда (1) делаем вывод о том, что бесконечное произведение (3) равномерно сходится к функции, аналитической в круге К1,„! и отличной от нуля в этом круге, а бесконечное б 3. Бесконечные проюведеиия 273 произведение (2) является функцией Р, аналитической в круге К), 1, обращающейся в нуль лишь в точках г„зг, ..., г„,.
Так как 1цп г„= 1 (это следует из сходимости ряда (1)), то Р является Функцией, аналитической круге К = (г Е С: !г! < 1), обрашаюшейся в нуль лишь в точках г„гг,.... Оценим модуль произвольного сомножителя бесконечного произведения (2) прн !4 < 1; ! — г„< 1У„) < 1. 1 — гг„ Следовательно, |Р(г)1 < 1 т'г Е К. И 37. Доказать равенство г г +ь, гг (а — 6) з \ е ' — е * = (а — Ь)ге г *П ~1+ 4пгя' ) ' м Воспользуемся формулой разложения синуса в бесконечное произведение (см, п. 3.4).
получим после некоторых преобразований; е* — е*=е г *(е г * — е г 'гг=2е г "ьй — з= — 2(е г *пп 2 2 ьь, г(а — Ь) ' (а — Ь) г ' .ьь, г (о — Ь) г " / г г, I г г; — * — гП~ !+ 4ягпг ) ) = (а — 6)хе г * П ~ 1+ 4пг,г =ь =г 1 1 1 38.
Пусть аг ь — — —, аг„= — — + —. Доказать, что бесконечное произведение П(1+а„) сходится, а ряды ~~ь а„и р а„расходятся. г М Если о,„, = 0 (+), аг„= 0 (~), а,„, = 0 (-'), о,'„= О ( г ) при и со, то а„= 0 (+), о„' = О ( г ) при и ог и ряды 2 , 'а„, 2, а~ расходятся по признаку сравнения с гармоническим рядом.
Необходимое условие сходнмосги бесконечного произведения П(1+ а„) выполнено. Оно сходится тогда и только тогда, когда сходится П(1 4 а,„, К1 4 от ). Поскольку 1 (1+ а,„,)(1+ аг.) =— и,/й и ряд 2 —,-'~ сходится, то вместе с ним сходится и данное бесконечное произведение, м 39.
Найти поршюк функции г у(г) = сохах', где а Е С. м Поскольку ~г«ь 1!г+ М(г) = шах !сохах~) = гпах аыгь" < = = ей!а!г '-~ (2п)! с-~ (2п)! 2 ь =ь ,. ьщл г и в точке гь = ььг!ге ' г у(гь) = сй !а(г, то е!'*!" + е ! !" М(г) = 2 Поэтому, применив формулу (4), п.3.5, получим: 1 !гь-г !г д= Ппг и и г 1п((д)г~ + !и(! + е-'! !" ) — 1п 2) = Ппг — 2.
> )цг 0 Ьзг Гл. 7. Вычеты и ах ирвмеиеиия 5 4. Применение вычетов для вычисления интегралов и сумм рядов 4.1. Примевевие вычетов дла вычвслевва определевиых ввтегралов. Основная теорема о вычетах (см. теорему 1, п. 1.3) позволяет свести вычисление интеграла по замкнутой кривой к вычислению суммы вычетов подыитегральной функции относительно ее особых точек, охватываемых кривой. Иногда с помощью этого же метода удается вычислять ии- тегралы по незамкнутым кривым и, в частности, некоторые определенные интегралы от функций действительной переменной.
При этом специальными преобразованиями вычисление таких ии- тегралов сводится к вычислению интегралов по замкнутым кривым, к которым мокло применять теорему Коши о вычетах. 1) Пусть (х, у) й В(х, я) — рапиоиальиая фуикцяя от я и у, ие имеющая особых точек на окружности у = ((з, у) Е Ж: з Е р' = 1) . Тогда справедлива формула з =Г.([- ) ! /! /з — — ь+-'й В(ь(пг, соьь) г(1 = 2я ~ геь 1 -Л ~ — ', — *~ (1) й1ь 1, 2ь ' 2,/ о йы где (ьй! ь = 1, и) — полюсы функции размещенные в едииичиом круге К = [з Е С: [з[ < ! ).
1)дя получении формулы (1) следует в иитеграле перейти к комплексному переменному ии- тегрироваиия з = е". Тогда ( . )., (з — — з+ -й йь 1 22(ыпь, соьг) Й = )à —, ~ Г = (717 ь) й, 2ь ' 2,~ ьь' ь г Осталось применить теорему Коши о вычетах, в результате чего получим формулу (1). 2) Пусть функция у аналитическая в верхней полуплоскости, включая и действительную ось, за исключением конечного миожеспи точек (ьй) й = 1, и), лежащих в верхней полуплоскости (1т зй > О т» = 1, и). Пусть, далее "у„= (ь Е С: з = 22е, О < С < 1г), М(Я) = гпах [((ь)[, 22 > птах [ьй[ о<ай< и !пп 22М(В) = О.
яТогда справедлива формула (2) У(я) яя = 2я(~ геь ((ь). йы (3) ° Пусть 7 = [-22, зь[ ы 7», Г = (7, 'ум) = (Гп Г») г!сложительио ориентированная кусочио-гладкая замкйутая кривая (рис. 85). Согласно основной теореме о вычетах выполияется равенство г .ьь я )"=1 (.)" +1 '"= -Ы ' г -я г йы » Перейдем в этом равенстве к пределу прв  — +ос, привяв во внимание соотиошеиие (2). Получим формулу (3). И в 4.
Г)рвмеиение вмчетов для вычленения интегралов и сумм рядов 275 1нп ~$(г)от~* дг = О, Гл м ("1„, У,о) йгп Т(з)е'"' дз = О, Г = (Ун„, 7~ ) . (5) н т !и м,/ г„ тя м Оценим интеграл в левой части формулы (5), используя известное равенство з!п1 > —, й выполняющееся ч( Е (О, з ) . Имеем гл = 22(М(К) ~е '"'д(< 2ЛМ(Н>~е «и = г() — е ") . Л о о Из условия (4) и полученной оценки следует справедливость соотношения (5). р Замечание 1. Анализируя доказательство леммы Жорлана, убеждаемся о том, что условие аналитичности фуикпии 1 не является существенным.
Замечание 2. Лемма Жорлана, доказанная лля верхней полуплоскости, может быть сформулирована н доказана без всяких затруднений и дол других лолуплоскостей. Считая во всех случаях Л > О, а полуокружность чн лежащей в соответствующей полуплоскости, запишем формулу (5) для случаев: а)Я =(гЕС:1шз<0), )нп У(г)е '"*да=О; (6) н д гл б)Яп=(зЕС:Кег>0), йп У(г)е "'де=О; г„ в) Ял — — (* Е С: Кег <О), йш 1 У(г)е~*дг = О. (8) н- г гл Если функция 1 удовлетворяет условиям леммы Жордана и имеет в полуплоскости Яп конечное множество особых точек (аь! й = 1, и), 1тп аь > О, то, повторяя рассуждения, проведенные в 2), получим ЧЛ > 0 формулу +с Т(х)ег дх = 2ят ~~~ геь (Т(х)ег"') . ь ьт Отсюда +Х Ле)ь 1.ь=г (~ г;- (Гьь-')). ь ьт (10) 3) Лемма (Жордана). Пусть функция У аналитическая в верхней нолуляоскости Я~ ш (г Е С:!гп г > О) за исключением конечного мнолсества изолированных особых точек и 1!тп М(Н) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
