Антидемидович 4 - ТФКП (1113365), страница 64
Текст из файла (страница 64)
(» Из, (г 1)з 2,, 4(»2 б) Аналогично, е'" гю аа — гсз + гсз аа 12+02 '44 141 +О 4 -за1 +О У е'*, е" !пп — + йш 'ха за 1+$0 4 — ы» — $0У (' ') 1 езгзаз — е 44"1 яп за 2$0 2$а о 2$ видно, что она четырехзначная и что конечной особой точкой олнозначного характера для кахгдой из ее ветвей является простой полюс », = 1. Точки »з — — О н г, = -1 являются точками разветвления, т.е, особыми точками неоднозначного характера.
Вьшелим четыре однозначные ветви функции У в области С (Зпоскости С с выброшенной отрицательной действительной полуосью) их значениями в фиксированной точке, например, в точке г = 2. б 1. Определенме вычета. Основная теорема 251 10. Найти вычеты следуюгдих функций относительно всех конечных изолированных точек и на бесконечности, когда она является изолированной особой точкой: 3 1 а) У(а) = з!и —; б) 1(з) = (Ь т'- 0); а+1' х (! — е-ь*) 1/ 1 в) У(а) = — ~1 Ь вЂ” + — +... -Ь 1 + х (1 -Ь з)' (1 + х)" / М а) Воспользуемся формулой (3), п, 1.2: з / гез з!и — = !пп з ~ з!п1 — згп — ) = Йп 2зз!и '+' соз .+1 .
~ .+1) 2 2 = соз 1 !пп з 1 — — 1 = соз 1 Игл — = соз 1. г-Ь1/ а+1 Согласно формуле (2), п. 1.3, имеем з 3 гез $!и — = — гез 3!и — = — соз 1. г+! а+1 б) Особыми точками функции /' являются гь = зь„' (й Е Х). Точка з = 0 — полюс второго порядка, а точки зь при (г зь 0 — полюсы первого порядка. Применив формулу (2), п.1.1, получим: И / з т и, 1 — е ~*(1+Аз) -ь / . ебг ~1-е — -) 1 — (1+ 6а) ~! — )гг+ ь а~+ о(з~)) ! 1+ дз з ь' ' + ( з) — 1!гп -о (1 — 1+ Ьз + о(г))' о Изг'+ о(аз) 2 Для вычисления вычетов функции У в точках гь (я ~ 0) воспользуемся формулой (5), п.
!.1, полагая р(з) = — ', гР(я) = 1 — е ь*. Тогда ( — '" ) ~'(з)~, „.и„; -'ь 'ь 2Ьг!' — /ге в) При !з -ь Д < 1 имеем 1 = —, 1, = — 2,(1+ з) ь=о гез — 1+ — +... + 2 = гез (-1 — (1+ х) — (1+ а) —...) ~1-Ь вЂ” +... + 1 2 и = геа — ... — — — (и+ 1) +... = -и. — (1+я)" (1+~)""' 1+я Далее, /1/ ! =и — и — 1= -!. в -~ ~» \, !+я "' (1+я)" / Гл. 7. Вычеты и их применения 252 11.
Вычислить интегралы: а),, г =(т„,тл),т„=( бс:! !«В),п<В'<а+г,пбг(; ,/ ег" — ! г„ б) / ~/ — 42, Г„= (т„т~), -г, = (2 б с: !2! = г), г > 2 и при больших !г! ~~, = ! е о(!). г. ~ Окружность ч„охватывает 4п+ ! полюса подынтегральной функции: точку 2 = О н на каждой окружности .! „= ( б С: !2! = ч%) (Ь = 1, и) лежит четыре полюса з = Лег г (пг = О, 1, 2, 3). Согласно формуле (1), п. 1.3, получим: =4(2 2 г ~ 2яг' 4лге' '2"'2™ ) [,2лг лгу' ь=г =о б) Воспользуемся бюрмулой (2), и 1.2: — 4(2 = 2ггг гез г;.
Тогда ~) = — 4(з = -2лг геь — = -2яг' гез, = -2лг геь 1 — — 4 а — = -2лг. М ~/з+ = . ~l +2 (,), ~ ° ~.) г,. 2 12. Доказать равенство 4+В! 8 !4 — 4 2 22(У вЂ” а)(Ь вЂ” У) Ь4гг(Ь вЂ” а) г. Здесь Г„= (у„, у„'"), у, = (2 б С: !з! = г), О < !а! < г < !Ь!.
„г М Поскольку 2 б у„~ зу = г', 2 = — ", то (24 + 1)4(2 (гг — аз)(Ьл — г') 2' Подынтегральная функция имеет два простых полюса 2, = —" и з, = — ", причем полюс 2, охватывается кривой .у„. Поэтому з«+1 22гг, 24+1 г'+Ь 1 = 22гг гез — — Нпг = 2ггг 4 (гг — аа)(Ьх — гг) Ь „4 гг — аз Ь4гг(Ь вЂ” а) ' ь ь 13.
Вычислить ! 4(2 , Г= (1,7„), 7 = (з ЕС: !2)=2). 1 (з — 3)(зг — 1) ™ г «г Окружность 7 охватывает олпу особую точку подынтегральной функции !з! = 1 следова ,. 24 тельно, точки ль = ег ь (Ь = О, 4) — ее простые полюсы. Согласно формуле (1), п. 1.3, 4(2 1 (з — 3)(22 — 1) ~-« , . (л — 3)(ль — 1) = 2я(~ геа г ь=о б 1. Определение вычета.
Основная теорема Поскольку Е., 1 1 ге о + гео -ь гео =О, *, (з — 3)(го — 1) з (г — 3)(ез — 1) о (г — З)(яз — 1) о=о ( г(з ( 1 1 = -2згз гео, + гео (г — ЗКзз — 1) ~, з (г — 3)(г' — 1) (г — 3)(гз — 1) г' В окрестности г = со имеем 5 — — 6 1-ь-+ — +" 1+ —,+" следовательно, гео, „, „= О, поэтому г(г й 1 2яз згг' = -2яггео = — 2гго 1ип (г — 3)(гз — 1) з (г — 3)(зз — 1),-з гз — 1 242 121 г Применив формулу (2), и. 1.3, мы избежали громоздких вычислений. ° / го(г 14. Вычислить У = гг , Г = (7 уор) ' 7 = (з Е С: /г 2! = г ) ' / (з — 1)(з — 2)' ' г' и Окружность у охватывает одну изолированную особую точку г = 2 полынтегральной функции у, являюшуюся ее полюсом вгорого порядка.
Следовательно, г( зг (г — 2)гг з г( г' г 'з — 1 1 = 2яг гео г (г) = 2яз 1!гп — ~ г) = 2яз 1ип — ( — ) = 2ггг !ип —, = -2яз. !и г .-г г(г 1,(г — 1)(з — 2)г) *-г Вг з — 1 г (г — 1)' Г гойг 15. Вычислить у = /, Г = (7, у ), 'у = (г Е С: !г! = 1) . -/ 2,+! !' м Подынтеградьная фугзкция у имеет простые полюсы в точках 1, ого го= — е о (л=0,1,2 3).
Я Согласно формуле (!), п. 1.3, имеем 3 1 = 2гп'~~з гезу(г). о=о з Поскольку 2 гезу(г) + гезу(я) = О, то 1 = -2лзгеоу(г). Из разложения о=о 'г "'-2. 1+ -2. ' 2." следует, что гео у(я) = -с, = — -' (см, формулу (2), п. 1.2). Следовательно, У = яо. и 16. Вычислить 1= г(г, Г = (у,7о),.у=(я ЕС: !я(= !). у я'(я' — 9) г М ПОдЫНтстрапъиая фуНКцня Г ИМЕЕТ ПОЛЮС ВтОрОГО ПОрядКа В ТОЧКЕ я~ го О И ПрОСтЫЕ полюсы в точках ег = -3, зз = 3, однако окружность .у охватывает лишь точку я„поэтому г( У е* з, е*(яг — 2я — 9) 2яо з = 2зп гео го(е) = 2яо йш — ~ — ) = 2ого 1ип а -а о(я 1, зг — 9) *-а (гг — 9)г 9 Гл. 7. Вычеты и ю! применения 254 1 1 1 17.
Вычислить Е = —. / нп — Их, Г, = (7„, 7."), 7„= (х б С: ~х! = г). 2лв',/ г„ м Точка х = О является существенно особой для подынтегральной функпии. Поскольку 1 чз — а (-1) в!и- = з х с-~ (2п+ 1)!х'""' ' =а то гев З (х) = 1, .1 = гев 1(х) = 1. а а а 18. Вычислить1= — / ип — о(х, Г= (7„,7„"),.г, =(х ЕС: ~х!=г) 2 я!,/ х г. м Поскольку в разложении в ряд Лорана отсутствует член вида с,х „то гевал — = О, 1 = ге!в!п — = О.
и -! 2! ° 2! о * о 1 1 „! 19. Вычислить 1 = —, / х"еа !(х, и Е Е, Г„= (7„, 7, ), У = (в Е С: ~х! = г). 2т!' / г. м Поскольку ! 2 х"е* = '-Е, й'х" ~2 1 = гевх"е = (и 4 1)!' и) )-1, если если и < -1. и 2 20. Вычислить 1 = / 1 ду (о > 1). / а+ сову о м Произведем в интеграле замену переменной ево = х. Тогда лх 1 2х 2 ! лх ау=в 1= /' Г = ( Г, 7~,), 7 = (х Е С ! (х! = 1). ы о+оову хз+2ех.1-!' ! / хо+ 2ех+ ! г уравнение х' + 2ох + 1 = О имеет корни хв, ! — — -о ж вгау — 1, причем лишь точка х! — — -о 4 зуав — 1 охватывается окружностью 7 (т.к.
~ъ~о~ — 1 — о! = ~ — — 4 -~ < 1). По формуле (1), «+Уа! ! п. 1.3, имама 2 = 4ог , хв+2ах+1 2х+2а) вГау — 1 ! то при и = й — 1, й б а,а, т.е. при и > -1 гевх"е = — ', „а прн и < — 1 гевх"ет = О. о а Следовательно, 255 б 1. Определение вычета.
Осиовиаа теорема 21. Вычислить 1 = / (а>Ь>0). (а+ Ь сов у)2 о и Воспользуемся решением предыдущего примера. Для этого представим интеграл 1 в виде 2 2 г го 2 у ( ~у Ь ( стуку 1(( ду 4 ( ду 1=— .-( а / (а+Ьсоьу]2 а 1 а +Ьсоьу а / (а+Ьсоьу)» а ~/ а+ьсоьу ТЬ/ а+Ьсоьу о о о о о Согласно решению примера 20 имеем г 2 »(у 1»(у 1 2л 2л 2 1 4 Ьсоьу Ь / г ' ч/аг:Ьг ь ~/ о» вЂ” 1 / ач-Ьсоьу Ь / о о 41 (»(у»1 ( 2а ') 2»гЬ 4(Ь / а+Ьсоьу 4(Ь ( г/аг — Ьг/ ( 2 Ьг— о 1( 2л 2лЬ 2»г , г г „ 2»га , (аг — Ь +Ь) = а '», ь аг — Ь (аг Ьг)2 / а(аг Ьг)2 (а» Ьг)г 2 Ау 22.
Вычислить 1 = ( ,/ (а+Ьсоь'у)' а < Аналогично предыдущему, представим 1 в виде 2 2 1 г 1 ( 4(у Ь ( сов»у»(у 1 ( 4(у Ь 4( / 4(у 1=— 2 2 а / а+Ьсоь'у а / (а+Ьсоь'у)2 а / а+ Ьсоьг у а»(Ь / а+ Ьсоь у о о о о 2 2« -ь Ь— а ~/ а+ьсоь'у 4(ь / а+ьсоь'у о о Полагая 2у = 1, получим: Ь Ь гле А = а+ —, В = —. 2' 2 Ау 1 . Ау 1 ( »В ач-Ьсоьгу / А+Всоь2у 2/' А+Всеь(' 4 2,/ А+В соь( »/Аг — В~ г озг ы г/аз + аЬ о г/ — ° Поскольку А ( Ду Д ( 2л '~ аЬ Ь— ,=ь ( ИЬ„/ а+Ьеги»У аь г»/Р+аь/ ( г+ о о о о Принимая во внимание решение предыдущего примера, а так:ке то обстоятельство, что при изменении ( от 0 до 4л замкнутый контур, охватывающий полюсы подынтегральнбй функции, обходится два раза, получим 25б Гл.
7. Вмчетм и их применения 1 2а )гаЬ ~ )г )г(2а + Ь) 1=— 2 (2(а + аЬ) — аЬ) = и а + а (аз+ аЬ)2/ а(аз+ аЬ)2 1 1 2 2 а)(, +Ь)2 2 23. Вычислить 1= / е '~сов(п)2 — япу))((З) (и Е У). о м Воспользуемся формулами Эйлера для преобразования подынтегральной функции. Имеем 2 2 Произведя в интеграле замену е*~ = С получим: 1= — / (Г" 'ер+Г " 'е')г(Г, Г=(7,7„), 7=(ГЕС:!1!= !). 22 / !' Согласно формуле (1), и.1.3, находим: 1=0, если п < О, 1 = л гез (Г" 'е Г +1 " 'е)) = л ( — ', + — ', ) = — ',",, если и > О.
м о 24. Вычислить 1= / гб(л+ )о)г(е. о м Преобразуем подынтегральную функцию с помошью формул Эйлера: е(+! ) -(*+ ) ! *2* 2 гя(л + )о) = 2(еч*ы")+е '("('")) 2 е' +е' Полагая еР ы = С после замены переменной в интеграле получим: 1 ! à — е' 1= — -/ 2 (2(р Г=(727рр)р 7=(1ЕС(!1!=1) г Если а > О, то окружность Г охватывает Лишь точку Г = 0 — простой' полюс подынтегральной функции. В этом случае имеем 1 — ег 1 — ег" 1 = -л) гез = -л) Шп — = )п'. о 2(1+ ег") 2 - о!+ е™ Если а < О, то кроме полюса 1 = 0 кривая 7 охватывает и полюс Г = — е' подынтегральной функции. В этом случае 1 — е à — е 2 2 гез, = !пп .2- 2(г + е' ) (- ,2. г — е)" 2 — е)" 1=-)п гез + гез ) =-л)(-1+2) =-л!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
