Антидемидович 4 - ТФКП (1113365), страница 60
Текст из файла (страница 60)
ИтаК, Об С Е, т. е. Š— открытое множество. Пусть бь — предельная то'ка множества Е и Ос, — окрестность этой точки, рассмотренная выше. В этой окрестности найдется такая точка Х Е Е, что продолжение элемента Р вдоль кривой Гс приводит к элементу (2< = О~. Повторяя приведенные выше рассуждения, получим, что аналитические продолжения вдаль кривых Гг и Г, приводят к одному и тому же элементу г;)г" = Ог = („г, т. е. Хь Е Е, откуда следует, что Š— замкнутое множество.
Следовательно, о Е = 1 и, в частности, Я' = О, по и требовалось доказать. т ь Замечаиие. Если хотя бы вдоль одного из дусей Гг, определяемого гомотолией ь», элемент Р аналитически не продолжается, то результаты его продолжения вдоль кривых Гь и !'! могут оказаться разными. Для иллюстрации сказанного вернемся к примеру, рассмотренному в конце и. 1.2. Элемент Рь можно продолжить ьлохь нижней единичной полуокружностн гг = (» б С !» = е *™, 1 б 10, 11 = Рг с помощью ели»яства элементов Р,' = (Клог, Хг~), где Кл, — — (» б С: )» — е * ') < 1), 1» = "Угг' — — — к! < Р < — — кг.
Тогда Р„= Ра, но Р! Р Р,, хотя их круги схолимости одинаковые. Рассмотрим, » например, значения 1!(г) и 1~~(») в точке» = — 1; 1!( — !) = е', Х!~(-1) = е, 1!( — 1) Р 1!( — 1). Это объясняетсв тем, что гомотолию Т н Т, можно осуществить лишь в области, содержащей точку» = О, однако аналитическое продолжение элемента Рь вдоль луги, проходящего через точку» = О, невозможно (в конце п.
1.2 показано, что 1»(») со лрн» О). Теорема 2 (о монодромни). Пусть Р = (К, 1) — некоторый аналитический элемент, К С В, где  — такая аднасвяэная область, чта элемент Р аналитически лрт)сижсается вдоль любой экардановай кривой, лелсагцей в В. Тогда савакулнасть всех аналитических лрадалэкений анределяет в абласти В аналитическую функцию. щ Прежде всего заметим, что любые две жордановы кривые с общими концами, лежащие в области В, гомотопны вследствие односвязности области В. Пусть» Š — произвольная точка.
Рассмотрим множество всех хгордановых кривых, лежащих в В, с общими концами а и», где а — центр заданного элемента Р. Результаты аналитического продолжения вдоль этих кривых по теореме 1 совпадают. Значения этих продолжений в точке» сопоставим ей. Этот закон и определит в области В аналитическую функцию. М Ф 2. Полиые аиалитические фуикдии 52.
Полные аналитические функции 2.1. Покатые полной аыаяитической фупкции. г)у Определеиие 1. Полной аналитической функцией назовем савокуппасть всех канонических элементов, получаемых из пдпаго какого-нибудь элемента Р апалитичвсхими продолжениями его вдаль всех зкордапавих кривых, иачииающихся в цептрв о злемепта Р, для которых такие продолхсгвил возможлы. Покажем, что понятие полной аиалитической фуикции ие зависит то выбора начального элемента Р. Действительно, пусть (г — любой другой злемеит полной аналитической функции, определенной иачальиым элементом Р. Это означает, что О получаем из Р продолжением вдоль некоторой кривой Г = (Т, у„„).
Тогда Р можно получить из ('„З продоюкеиием вдоль кривой Г = ( у , 1,,). Пусть теперь элемент Ф получаем из элемента Р продолжением вдоль пути Г, = (Тп Т~). Тогда, очевидно, получаем Ф из ('„З продолжением вдоль пути Г О Г,. Принимая во внимание теорему о едииствеииости аналитического продолжения вдоль пути, естественно дать следующее определеиие. Опрелелеиве 2.
Двв полные аналитические функции считаются р а в и им и, если аии имеют хотя бы один общий элемент. Теорема Р Обьедипгиие кругов сходимасти элементов, принадлежащих палпаи аналитической фуихции, образует область. щ Пусть Р— это объединение. Оио открытое как объединение открытых множеств, т.е. если вв б Р, то ", б К вЂ” кругу сходимости некоторого элемента и К С Р. Пусть а и Ь— произвольные точки множества Р. Тогда найдутся элементы, для которых а и Ь являются центрами.
Эти два элемента получаем аиалитическим продолжением друг друга вдоль некоторого пути Г = (Т, )т), соедиияюшего точки а и Ь. Ясно, что т С Р. Следовательно, Р является связпым сткрьпым множеством, т.с. областью. Оиа называется естгствгниай областью определения полной илалитичгсвой функции, или областью ег существования. Ы Заметим, что полная анаяитическая функция может ие быть в области Р функцией в обшеприиятом понимании, поскольку ие будет одиозиачиой. Сколько значений функции сопоставляется фиксированной точке из области РУ Ответ иа поставленный вопрос содержится в следующем угверждеиии.
Теорема 2 (Пуаикаре — Вольтерра). Палица аигьтитичвская функция может ииеть пе более чгм счетное множество разных элементов с центром в фиксироваппай точке. щ Пусть полная аналитическая функция определяется начальным элемситом Р с центром в точке а, и г — произвольная точка из области определения Р полной аию~итической функции. Пусть Р. — один из злемеигов с центром в точке г, прииадяежаший полной аиалитической функции. Его можно получить из элемента Р, с помощью конечной цепочки элементов с цеитрами в точках гп г„..., г„„г, в которой каждый следующий элемент является иепосредствеииым аналитическим продолжением предыдущего.
Не ограничивая общности можно считать, что точки х„гг, ..., г„| имеют рациоиальиые коордииаты. Действительно, пусть сначала цситры г'„г,', ..., г'„, произвольные. В как угодно малой окрестности точки хь (й = 1, п — 1) возьмем точку хь с рациональными координатами и заменим элемент Р„злемеитом Р„.
Сов гласио теореме об иивариаитиости аналитического продолжения вдоль пути относительно гомотопиых деформаций путей, при достаточио малых (хь' — гь( результат продолжения по новой цепочке будет совпадать со старым. Множество непосредственных аналитических продолжений Р„ с рациональными центрами элемента Р счетное, точно так же счетное множество и элемеитов Рчи ..., Р,, Задание Р,„, и точки х однозначно определяет элемент Р,. Следовательно, число различных Р, ие более чем счетиое. Ы Вводя в рассмотрение понятие полной аналитической функции, ие обязательно пользоваться лишь каноническими элементами.
Можно брать произвольные злемеиты, рассматривая полную аиалитическузгз функцию как совокупность аналитических злемеитов (Р, )' ), где и пробегает некотоРое множество индексов Л. При этом кяждый из этих элементов получаем из любого другого элемента аналитическим продолжеиием. Гл. 6. Аналитическое продолжение 238 2.2. Примеры полных аиалитичесвжх функций. Функции, аналитические в С, а также аналитические в С за исключением счетного множества особых точек, являются, очевидно, полными аналитическими функциями.
Приведем также пример полной аналитической функции, состоящей из одного канонического элемента. рассмотрим канонический элемент Р = (К, У), где К = (х б С: ~х! < 1), ~(х) = 2, х"'. ю Покажем, что этот элемент не может быть продолжен ни по какому пути с началом в точке х = О. Если бы такое аналитическое продояжение существовало, то некоторая дущ окру:кности у = (х б С: 1х( = Ц состояла бы полностью из точек аналитичности функции 1'. Однако на г любой такой дуге содержится бесконечное множество точек вида хч — — е ч, где р и д — целые положительные числа, которые не могут быть правильными точками функпии 1".
Действительно, положим х = рхч, О < р < 1. Тогда получим: ч-! Для любого натурального числа )ч( > д имеем и ч-> ~У(хН > ~,р"' — ~~,14" >()ч( — 8+1)д" — (д — 1). =ч Отсюда, в силу произвольного выбора Аг > д, приходим к выводу, что функция 1 при приближении к точке хч по радиусу стремится к бесконечности. Следовательно, хч не может быль точкой аналитичности функции (. Изученные в главе 3 многозначные функции ~/х и )лт г, которые рассматривались нами как объединение конечного или бесконечного (однако счетного) множества однозначных аналитических функций, являются полными аналитическими функциями.
Определяя ~/х с помощью канонических элементов, можно в качестве начального взять элемент Оч с центром в точке х = 1, состоящий из круга Кч — — (х б С: ~х — 1( < 1) и аналитической в нем функции ' до(х) = (1 + (х — 1)) " = ~ — — — — 1 " — — й Ч- 1 (х — 1)". Й!пзп ) (п ь=ч При х = х функция д, является биномиальным разложением действительной функции х ъгх на интервале (О, 2), а дч(х) является аналитическим продолжением этой функции в кр)т Кч. Элемент (Гч аналитически продолжается вдоль любого пути с началом в точке х = 1, не содержащего точку х = О (ем.
пример и. 1.! ). Итак, областью определения полной аналитической функции ~/х, порожденной элементом Оч, является область 22 = С\(О). Функцию ~lх можно такке определить как совокупносгь аналитических элементов Р (22 У ),аб)2,где чя Р„= ( — я+а < )з < я+а), )'„(х) = Оггеч, -я+ а < (е < я+а. Действительно, в круге Ко — — (х б С: 1х — 11 < 1) функция Уо(х) элемента Ро — — (Ро, Уо) совпадает с функцией дч(х), определенной формулой (1). Это означает, по определению 2 из предылущего пункта, что полные аналитические функции, определенные элементами Я = (Кч, дч) и Ро = (Юо, Уо). совпадают.
Аналопгчно, полная аналитическая функция (ля может быть определена с помощью канонических элементов, или как совокупность аналитических элеменюв Р = (Р„, 2„), а б К. В первом случае исходным может быть выбран элемент Д = (Кю дч), где д ( ) = ~ (-1)"-,', К, = ( б С: ~. — И < 1). , (х — 1) в 2. Полные аналитические функции 239 Функция до является аналитическим продолжением в Ко из интервала (О, 2) действительной функции х ~-+ 1и х = 1п(1 + (х — 1)) . В другом случае возьмем Р = (-от+ а < ур < ог+ а), у„(х) = 1п г+(ор, -рг+ а < ор < я+ а. Обласп определения 1.па совпадает с областью определения чгг: Примером полной аналитической фунющи также является общая степенная фунюгия и = хи, р 6 Ж (см. п.4,1, гл,3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
