Антидемидович 4 - ТФКП (1113365), страница 55
Текст из файла (страница 55)
4" м а) Очевидно, ( ( — 1)" аь= ~ 1пи О, 1 Я =, = 1пп (1пи)~«-~ = 1. 1пп фа~) ь если й = Зи — 1, если й Ф Зи — 1, 1 1 1 1 В— (~" ) ь 4Г ггп если если ги Ф йи, в г в На границе круга сходимости, т. е. при з = зо-, получаем числовой ряд 2„"— '. Если йг) = 2гх чв (3 Е Е), то он расходится, поскольку превращается в гармонический ряд. Если йр ~ 2гя, то ряд сходится по признаку Дирихле. М 9.
Существуют ли функции У, аналитические в точке г = О, Удовлетворяющие Условиям: ~~(-.) =~<-;) =-',: >~®=~(--.') =3„„2 я а) Существует, это функция з ~-г зг. б) Применим метод рассуждения от противоположного. Предположим, что функция ~ с указанным свойством существует.
Рассмотрим функцию уг, где уг(з) = —,',. Она удовлетворяет условию л ( ~ ) = —,„',, т.е. совпааает с функцией 1' на бесконечной последовательности точек (х„), тле х„= — ' О пРи и со. По теоРеме еДинственности г(а) щ гг(з) в окРестности точки з = О. Олиако, уг ( — -') М вЂ”,',. Получили противоречие, источник которого в предположении, по Функция У с указанным свойством существует.
° На границе круга сходимости з = ег и в этих точках получаем числовой ряд в ав- ! Е' ' ='Е' ( 1) иг ~гв,в ч е' =е' г !пи !пи Если Зг) — х = 2гих (иг Е Я), то ряд расходится. Если 39 — х н 2гил, то ряд сходится по признаку Дирихле. б) Здесь 216 Гл. 5. Ряды аналитических функций. Изолированные особые точки 10. Найти радиусы сходимости следуюших степенных рядов: и! 1) ~~» — "' а"; 2) ~~» з"; 4) ~~» (3+(-1)")"е"; 5) ~~» г соз»п; 3) 6) ~~~ (и+ а")г". и 1) Применим формулу (5), и. 1.6. Пачучим и! (и + 1)""!»г В= 1ип— = 1ип ~1+ -) =е. и" (и+ 1)! !«и) ,л ) 1, если в=и!, 2) Степенной рял имеет вид 2 а»е, где ໠—— ~ О, если я и'.
и!, следовательно, 1 В= =!. 1ип «»га» 3) Аналогично случаю 2) имеем В = 1. л»п ! «»»! »-'!"г=л .- -~.;*к..— ~ ~.,к=!. 5) а„= соз(п = ' ' . Со~ласно формуле Коши — Адамара 1 1 1 Х— !ии -"-' — ~— — — 1, если !а)<1, ( 1, если !а~<1, 6) Так как 1ип " » !и + а" ( = г , то В = 1 !а!, ЕСЛИ !а! > 1, ' 1,»р ЕСЛИ !а~ > 1. а 1 1. Исследовать поведение на границе круга сходимости степенных рядов; 1) ~~» г" 2) ~~» —; 3) ( — 1)" п М 1) Согласно формуле (5), и. 1.6, В = 1ии — "„"' = 1. На границе крута сходимости получаем числовой рял 1 — если й = и!, а»= пг О, если в~п!, следовательно 1 В= = 1ип Х/и! = 1.
!ии «Л» л ! На границе круга сходимости |алг ~ = -.г, поэтому в точках указанной границы рдд сходится л ! абсолютно. 3) По формуле Коши — Адамара 1 В= „=2. йш — """ На границе круга сходимости получаем числовой ряд ~; и, очевидно, расходяшнйся. ~ (-1)"е»зм „соя ар „яппи — ( — П" — +» ~с (-1) и и и Если д = »г, то ряд расходится.
Для всех остальных значений 0 ряд сходится, так как оба числовых ! и" "! ! ряда сходятся по признаку Дирихле. Поскольку на границе круга сходимости ~ ! », ' ~ = —, то ряд в этих точках абсолютно расходится. 2) Записав ряд в виде 2 , 'а„г", видим, что его коэффициенты равны й 1. Ряд Тейлора 217 12. Найти сумму ряда ~~ пг", !4 < 1, им Я. И Пусть 1'(г) = 2; пг". Рассмотрим функцию ог, где )о(г) =! функцию )о в круге схолимости, получим уг'(г) = 2 пг" ' = =! части полученного равенства на г, имеем: 7(г) = г)г ( ) = (1 — г)г 13. Найти сумму ряда хт '-~ и = 2'г" = —,',.
Дифференцируя =о —;-'~~. Умножая левую и правую и Ралиус сходимости ряда й = !. Если 14 < 1, то !п(1 — г) = — 2 — '„. Следовательно, »=! г — = -1п(1 — г). м и г ь! 14. Найти сумму ряда ~ ~' 2п+ ! М Радиус сходимости ряда Я = 1. Если ф < 1, то 1п(1 + з) = ~~! , 1и(! — г) = (-1)" г" п -.7. — ' и Тогда г !-!-! 1и(1 + г) — 1п(1 — г) = 2 ~ 2п+ 1 Таким образом 1б. Разложить в степенной ряд функцию г !-! сй' г. и Принимая во внимание равенство сЬ г = — '+' г' и разложение функции г ! сй г в степенной ряд в п. 1.7, имеем 1 1 22"гг" ! 2г" ггг" 2 2 к-о (2п)! 2 ~К-~ о(2п)! =о =о 17. Разложить в степенной ряд функцию г ! чгг + е При выполнении неравенства !4 < 1 получим (см. и, 1.7): ! ./ ")1='*("-) = — '"-=' И ' ' л/2 ~ 2 ! 2! х(г' г хг )'''(у и+!) Iгт" 1 1+г l х ч — л !(2п — 3)!! Ггт + и! Ы "'/=,У1 ~ У- .
~,~ ) =г г'"+ 1 1 + г = — !и .в 2п+1 2 1 — г =! 15. Разложить в степенной ряд функцию г з!и г. М Воспользуемся равенством и!и'г = ' ', '* и разложением в степенной ряд функции г !-! соз г в п. 1.7. Получим: 2г-! г 2 2 (2п)! (2п)! * =о =! Гл. 5. Ряды аналитических Функций. Изолированные особые точки 218 1 18. Разложзпь в степенной ряд функцию е з-! аз+ Ь м При )4 < ) ь! имеем 1 1 1 1 ч-з „а"е" ,7 ( 1) +Ь Ь !+а Ь Ь" ь =о 19.
Разложить в степенной ряд функцию к з-! е! — 4е + 13 м Раскладывая функцию на простые дроби, получим: 2+ 31 1 з,.з, 2 — Зз 1 —,— ', з! — 4г+ 13 бз з — 2 — Зз' я — 2+ Зз бз При выполнении неравенства !е( < Л3, имеем г ( 1 е! — 4а+ 13 бз ~ 2+ Зз' ~-~ =о + бз ~ ~-~ (2-ь Зз)"+' =о 1 + — з (2+ Зз)" 2 — Зз ~-~ =о (2 — Зз)" Е ',)=— 1 (2 — Зз)"ы !) бз (2+ Зз)"+' — (2 — Зз) Е 13чы =о з с (2 — Зз)" — (2 43з)" г б 13" =о ( 1) о! »о! Е- (-1) пг" (1 + «)! =! ез (14 )! 21. Разложить в степенной ряд Функцию е Ассой г.
Имеем при !с( < 1 ! о! !'й(=~(-1)-' .в о =о з(! Г Атсзйя = / — = / ! ( 1) ! зй -/ +1-/ о о = ~(-1)" =о 22. Разложить в степенной ряд ~ е зй. М Очевидно, Г !2 2 о! о о О ! 20. Разложить в степенной ряд функцию е з-! (1+ е)! м При !з) < 1 имеем —,' = 2 ( — 1)"е".
Дифференцируя, получим: $2. Ряд Лорана н изолированные особые точки аналитических функций 219 Г 51П( 23. Разложить в степенной ряд / — сй. о Ю Имеем 5 2. Ряд Лорана и изолированные особые точки аналитических функций 2Л. Теорема Лорана. где а„определяются по формулам г и) пбХ, 2я( / (( — го)"+' гр Гр — - (7р, 7р ), 7р ю (г б С: 1г — го1 = Р), 1 < Р < 25.
М ФиксиРУем любУю точкУ г б ь„н и РассмотРим кольцо )г„л —— (г б С ! г <!г — го! < Л ) Сь )р,, л. По формуле Коши имеем г(о г г(() г г(() Г()= —, / — д(= — / — дГ- —,/ — д(, б)„, 2111 / ( — г 2я( / ( — г 2ль / Оь„, „, г, г, Здесь кривые Гл и Г„. пололсительно ориентированы. Лля любой точки ( б ул. 1~ — ~й — =а<1.
( — го 25 (2) (3) Отсюда получаем 1 1 ~-» (г — ло)" — (ь — го)"+ (à — го) ~1 — с „) о Рад (4) абсолкьтио и РавномеРно сходитсЯ по й б 7л . (4) Среди функциональных рядов, отличных от степенных, наиболее близким к степенному является ряд вида 2 , ''" „. Его область сходимости — внешность круга радиуса г = 111п "гг~с,| 1 — »1" с центром в точке го, которая прн г = со вырождается в бесконечно удаленную точку, при О < г < »ю — зто внешность круга в собственном смысле слова, а при г = О совпадает с пяоскостью С, из которой выброшена точка г = го.
Если г < со, то ряд сходится абсолютно и равномерно внутри области В = (г б с: 1г — 54 > г), следовательно, его сумма Г является аналитической функцией в 2) и Г(оо) = со. при этом говорят, что функция Г аналитическая е бесконечно удаленной тоюсе. теорема 1 (лорана). Любую функцию Г, аналитическую в кольце )г„, л = (г б С ! г < )г — го( < Я)» г > О, В ~ (со, можно предстаеить в этом кольце как сумму сходящегося ряда Г( ) =,у, а.(г — о)" (1) Гл. 5. Рады аналитических функций. Изолированные особые точки 22О Если ( б тр, то ! ь' — ао г — = — = а < 1. ао (з зо! (ь — ео) (л — зо)ь ы =о (5) Ряд (5) равномерно сходится относительно (' б у, .
Подставив (4) и (5) в (3), получим: ((е) = ~~~ (е — зо) — 1 , + ~~ь (е — зо) " „1 Г У(() д( " „, 1 Г,((() д( 2яо l (( — о)"" 2я(./ (( зо) " =о гн =о г„ или у(з) = ~~ а„(з — зо)" + ~~о аь(е — зо), =о ь= — 1 где (пбйо), ах= —,/ ь (-ЛчМ). Г И)д( 2ло / (à — зо)ьы гр ) и)й( 2я! / (à — зо)ам он' По теореме Коши интегралы по ориентированным окружностям Гн и Г„можно заменить интегралами по любой поло:кительно ориентированной окру:кности Г„= (ур, ул ), где уе (~ЕС:1~ — зо!=р), ~'<р<22'. Ы Ряд (1), коэффициенты которого вычисляются по формулам (2), называется рядом лУорана функция 1 в кольце $'„н Рассмотрим отдельно те два ряда, из которых состоит ряд (!).
Первый из них а (з зо) есть обьячный степенной ряд. Его областью сходимости является круг Кн — — (з б С: |з -ео! < Л), где — „' = !пп ~„4!а„!. Второй ряд а- (з ео) является степенным относительно з' = — '. Выше бьшо указано, что его областью сходимости *-*о является внешность круга радиуса г = 1пп уУ!а „!. Если г > Л, то область сходимости ряда 2,' а„(з — ео)" есть пустое множество. Если же г < Л, то его областью сходимости является кольцо У, и = (з б С ! г < !з — ео! < В).
Из теоремы Абеля следует, что ряд Лорана сходится равномерно на любом компакте, принадлежащем кольцу 1'„л. Согласно теореме Вейерштрасса, сумма ряда Лорана является аналитической функцией в этом кольце, Рлд 2,а„(з — хо)" называется нравильнойчастью ряла Лорана, вряд ) а „(з — ао) " носит название его главной чаевш. Пусть з(а) = ~ с„(а во) и ряд 2, сь(а-ао)" = 2, с „(а-ао) "+ Я с„(а-во)" сходитах еи еао ся равномерно в кольце 1',л. Умнохсив на (а-ло) ь ' обе части равенства у(з) = ~; с„(а — зо)" б 2.
Ряд Лорана и изолированные особые точки аналитических функций 221 и интегРиРУЯ полУченный Рад почленно по оРиентиРованной окРУжности Гя = (7„7лю), 7л (» б». ! !» — »ь! = р), г < р < )2, получим; г, Г(») ч †» Г (» » )й~-! г г, Принимая во внимание, что /' „„,!„ь>, )г О, если Р- (» — »О) й»=1 р е !а!=1 2 . 2л!, если пнй, и = /с, г, имеем /' Г(») сь =— 2л! „1 (» — »о)"+' 2.2. Классификация изолированных особых точек в С.
Определение. Точка а Е С называется изолированнои особой точкой функции Г, есги существует такая проколотая окрестность этой точки, т е. кольцо 5~ л = (» Е С ~ О < !» — а! < )2) с нулевым внутренним радиусом, в котором функция Г аналитическая. Пусть» = а Е С вЂ” изолированная особая точка функции Г. Рассмотрим разложение функции Г врал Лорана в кольце Ъь л Г()=Е -(-) В зависимости от вида разложения (1) различают три типа изолированных особых точек.
1) Если в разложении (1) отсутствует главная часть, т. е. члены с отрицательными степенями, то точка» = а называется устранимой особой точкой функции Г. 2) Если в разложении (1) главная часть содержит конечное число членов, то точка» = а называется полюсом функции Г. При этом, если с, = с, = ... = с <„,! —— О, а с ~ О, то число п называется порндком полюса, Полюс первого порядка называют также простым полюсом. 3) Если в разлохсении (1) главная часть содержит бесконечное число членов, то точка» = а называется существенно особой точкой.
Пример 1. Функция» Г(») = — "",* аналитическая в кольце )а = (» Е С ( О < !4 < оо). Ее разложение в ряд имеет вид 5!и» »з»» — =1 — — + — — — + ..., » 3! 5! 7! из которого следует, что» = Π— устранимая особая точка функции Г. Пример 2. Функция» ! Г(») =;-г»ы имеет две изолированные особые точки», = 2г, »з = -2Е Разложим функцию Г в рлд Лорана в проколотой окрестности точки», гьпь = (» Е С ~ О < )» — 21) < 4]. Получим." 1 ь ! ь 1 ! ~-» (-()" — + — + — + ь — (» — 2!)". »з + 4 4(» — 2ь) 4(» + 2!) 4(» — 2ь) 1б (! + — — * з! ) 4(» — 2!) »-' 4"+з ы »=О Мы доказали следующее утверждение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
