Антидемидович 4 - ТФКП (1113365), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Следовательно, функциональные ряды, подобно числовым, представляют собой особую форму изучения последовательностей функций. 1.3. Равномерная норма функции. Равномерная сходнмость последовательности функций н функционального ряда. Введем в рассмотрение равномерную норму функции, обобщающую модуль числа и совпадающую с ним, когда функция постоянная. Это новое понятие используем при построении равномерного предела функциональной последовательности.
Определение 1. Число зпр !У( )!, (1) :ЕЛг каисчнас или бесконечное, называется равномерной нормой функции у и обозначается ЦТЦ. Отметим основные свойства равномерной нормы функции. Теорема 1. Длл любых функций У ! С С, д: С вЂ” ! С и ЛГЛ Е С сираведливы соотношения! 1) Цг Ц = О ь 1 = О; 2) ЦЛ1Ц = !Л! Цу'Ц; 3) ЦутдЦ < ЦУЦ -Ь ЦдЦ, если РГ и Р фй!. и 1) ЦТЦ=О~ зир !1(г)!=О=' !1(з)!=Оцз ЕРг =.! 1(г)=0 1!з ЕР) ~ 1=0; Епг 2) ЦЛЛ = гвр !Лу(г)! = я!р /Л! !У(з)! = /Л! гир !1( )! = !Л! ЦТЦ. Епг *ЕЛЕ 3) Пусть з е Р! и Р, фс!.
Тогда /1(з) + д(г)! < !Т(з)/+ !д(з)! < Еор !У(1)!+ язр !д(т)! = ЦТЦ е ЦРЦ. сепг ЕЛЕ Сонисно определению точной верхней грани имеем зир !Т(з) +д(з)! < Ц)Ц+ ЦдЦ, т.с. Цу -ЬРЦ < Ц)Ц+ ЦРЦ. И *ЕЛГес Теорема 2. Функция у ! С С ограничена тогда и толька тогда, когда ЦТЦ < +сю. щ Действительно, Цгсй = сир !Т(зН < +со с> ВМ Е Ж ! чл Е РГ !У(с)! . М сз у — ограниченная. и *Епг Для модулей чисел з Е С, в Е С справедливо равенство )згс! = )з)!т!.
Для равномерных норм такого равенства не с!ллсствует, например, пусть у(з) = 1, если !з! < 1, у(з) = О, если !з! > 1, а д=1 — У. Тогда Уд = О, Ц1дЦ = О, ЦУЦ =1 ЦдЦ = 1 т е ЦУРЦ за ЦУЦЦдЦ. Однако справедливо утверждение, Теорема з. Пусть у ! С С, д: С - С. Если Рг О Р фй!, то Цздй<ЦгЦ ЦРЦ (2) т Пусть з Е Рг г! Рв. Тогда )у(з)д(х)! = !У(з)(!д(з)! ~< Ц1Ц ЦдЦ. Из определения точной верхней гРани следует неравенспю зир !1(х)д(х)! < Цу'ЦЦдЦ, т.е.
Цудй < Цу'ЦЦРЦ. И Ептв Оире!млтгие а. Пусть Я = Рг —— РГ„'чл Е р(. Последовательность функций (у„) называетси равномеРно схвдлщвйсл к функции у на мнозкестне Я, если Цу — ТЦ О ири п -! оо. 200 Ггг. 5. Ряды аналитических фуикшгй. Изолированные особые точки При этом функцию / называем равномерным яределом яоследовательности (/„) и пишем / -"ц /, или /„ =з У на Я.
Теорема 4. Если /„ - — х /, то /„ т Пусть Я = Рг = Рп, 'ггя Е р) и г Е Я. Тогда при и оо имеем !У(г) — У.(я)! < !!У вЂ” У.!! О, следовательно, /„У. и Следствие. Если иоследовательногть функций (/„) сходится равномерно, то ее равномерный яредел — единственный. Теорема 5(о линейности равномерного предела). Есги /„=1 /, д„д, Я = Рг —— Рд = РГ = Р гуп Е Гг(, то гул Е С У ф Лд:Г / + Лд.
М Имеем при и со: !!(/„+ лд„) — (/ ф лд)!! < !!/„— /!!+ !л! !!д„- д!! - о, следовательно, /„-г- Лд„ч У + Лд. и Не все теоремы о пределах сходящихся числовых и равномерно схолящихся функциональных последовательностей аналогичны друг другу. Это объясняется тем, что равномерная норма, в отличие от модуля числа, может принимать значение +ос. Приведем пример двух равномерно сходящихся последовагельносгей функций, произведение которых сходится неравномерно. Пусть 1г(я Е Гг( я Е С) /„(г) = г, /(г) = г, д„(г) = — „'. Тогда /„~ /, д„О.
Однако, ч(п Е Нгг Е С) (/„д„)(г) = -*, !!/ д„— О!! = !!/„д„!! = зир (-„' ~ = +со, т.е. сходимость -"ес неравномерная. Определение 3. Пусть /„: С С и гуи Е Гг( РГ„ — — Я. Последователыгость (/ ) называетсв РавномеРно фУндаментальной, если (ггг > 0) (Зп, Е Гч) (ч(п >я игр Е Гг0): |!У чг У !! < г. Числовую последовательность можно рассматривать как частный случай последовательности постоянных фуггкций, прн этом понятия фундаментальности и равномерной фундаментальности совпадают. Теорема 6(критерий Коши).
Последовательность (/„) равномерно сходится тогда и только тогда, когда она равномерно фундаментальна. м необходимость. пусть /„=г / н г > О. пользуясь определением равномерной сходимости, найдем такой номер и, Е 1Ч, что чп > и, !!/„— /!! < -'. Тогда гу(п > п„р Е Ы) !!/„,,р — /!! < -'. Следовательно, У(п > н„Р Е М) !!/„др / !! ( !!/ чр /!!+ !!/ / !! < ь, 'гто означает равномерную фундаментальность последовательности (/„).
Достаточность. Пусть последовательность (/„) равномерно фундаментальная и я Е Я. Тогда из оценки !У. -,(я) — У. (гН < (!/.+. — У )!, (3) справедливой гу(п Е Гг(, р Е Гц), следует фундаментальность числовой последовательности (/„(г)). Согласно критерию Коши, для последовательности комплексных чисел существует 1пп /„(г), который обозначим через /(г). Г!устъ г > О. Поскольку последовательность (/„) равномерно фундаменталъная, то существует такое и, Е Гг(, что Зг(п > п„р Е Гг() выполняется неравенство !!/„чг — /„!! < е, В силу неравенства (3) Й(п > н„р Е Гч(, г Е Я) имеем !У ьд(г) — У (г)! ( г. перейдем в этом неравенстве к пределу при р — оо.
получим зг(п ) п„я е Я) неравенство !/(г) — /„(я)! ( е. Согласно определению точной верхней грани, гдн ) н, ))/ — /„)! ( е, откуда следует, что /„--м У на Я. и Овределеиив 4. Пусть /„: С ' С, Ры = Я чп Е 1Ч, Ряд Я /„ называется равномерно сходят имея, если лоследовательность его частичных сумм сходится равномерно. Сумму равномерно сходящегося ряда назовем равномерной суммой.
б 1. Ряд Тейлора 201 Оиредемние 5. Пусть у„: С вЂ” С, РÄ—т а !Гп Е Гй). Ряд ~ у удовлетворяет равномерному условию Коши, если наследавательнасть его частичных сумм является равномерно фундамгнниыьнай. Критерий Коши, доказанный для равномерно фундаментальной последовательности, сформулируем в терминах теории функциональных рялов. Теорема 7 (критерий Коши для функционального ряда). Пусть У„: С - С, РÄ— — Я !Гп б Г!Г. Ряд ,'г У„сходится равномерно тогда и только тогда, когда он удовлетворяет равномерному условию Коши, 1.4. Нормальная сходимость функционального ряда.
Признаки Вейерштрасса, Абеля и Днрнхле равномерной сходнмостн функциональных рядов. Определение 1. Пусть У„: С вЂ” р С, РЫ = Я чп Е Г!Г. Ряд д,'У называется нормально сходящимся, если сходится ряд ) (!У„(!. Если все члены ряда ~, У„постоянны, то его нормальная сходимость равносильна абсолютной сходимости числового ряда. Теорема Л Пусть У„: С вЂ” ! С, Рг — 2 чп 6 Х Еши ряд ~ У„гхадшися нормальна, то ан является равномерно сходящимся, щ Из сходимости числового ряда ~ (!У„)! следует, что он удовлетворяет критерию Коши: чр (хгг > 0) (дп, Е РО (ч(п ) п„р Е )йО): д, )!Уй!! < г. й= р! Из неравенства йр рр Уй <,) !!Уй !! й= ! й= -! выполняющегося !г(п б Г(, р Е р(), и теоремы 7, п.!лл следует равномерная сходимость ря- да~ У„.м Следствие (мажорантный признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда).
Пусть У„: С -! С, Ры = Я чп Е ГГ. Еии существует такой сходящийся числовой ряд ~ и„, чта 'чп б РГ !!У„(! < а„, то ряд ~ У„сходится равномерно. В качестве примера исследуем на равномерную схоцимость ряд ~ У„, где У„(х) = Г.-„-т-т, 0<» < -роз. Поскольку У„(0) = 0 и 1цп У„(х) = О, то функция У„имеет чп б М локальный максимум, 2 являющийся одновременно ее равномерной нормой. Решая уравнение У„'(х) =;,' лытгр = О, получаем-' х = -т, !!У !! = У (х„) =,!,. Так как числовой рлд,) — !-г сходится, то по теореме 1 ряд ~, У„сходится равномерно.
Если взять а„= -!г, то !!У„!! < а„и ряд д, У„равномерно сходится по мажорантному признаку Вейерштрасса. Пусть Уй . С С (Ь = 1, и), дй '. С С (й = О, г!), Ргй — — Р й = В. Тогда и» Е Я справедливо тождество Абеля — ! Уй(»)(гдй(») — дй-!(»)) = У.(»)д (») — У!(»)дч(») — ~~' 1»Уй+!(») — Уй(»))дй(») (1) й=! й=! Действительно, Я ,Уй(д - дй- ) = Уй(д — дч) + Уз(дз - д!) + " + У.(д. - д. ) = й=! У!дч + (Л вЂ” Уз)д! + " + (У.-! — Ур)д.- + У.д.
= У-д. — Угдч ~л~ (Уйч! Уй)дй й=! тожаество (1) я~ляется источником получения признаков равномерной сходнмости функциональных рядов. 202 Гл. 5. Ряды апалвтических функций. Изолированные особые точки Теорема 2 (о равномерной равносходимости функциональных рядов, связанных преобразованием Абеля). Пусть посзедовательиость функций (7„д„) сходится равномерно на мнозкестве Я.
Тогда функциональные ряды, сходящиеся поточечно на мнозкестве Я, Т (д — д -!), де=0, (2) д(У ! — У) сходятся равномерно или неравномерно одновременно. м Пусть ряд (3) равномерно сходится на множестве Я. Согласно теореме о линейности равномерного предела и тождеству Абеля ~~', Уй(дй — дь-!) = У д — ) дй(Ьь! Уй) уп б р( (4) й=! й=! ряд (2) сходится равномерно на множестве Я.
Аналогично ряд (3) равномерно сходится, если ряд (2) является равномерно сходящимся. ° Определение 2. Последовательность комплексных чисел (х„) называется бимонотониой, если й«(п б М! р б Р)) (3) «.е «р (6) ) !хин! — х«„.! < 2 ) (хйь, — хй) .
(5) й= и! й= ь! Смысл термина "бимонотонность" поясняет следующее утверждение. Лемма. Пусть «Уп б Р( х = х„+ ьу . Если последовательности (х„), (у„) монотонны, то последовательность (л„) является бимонотониой. М Имеем «у(п б р(, р б р)) .!. р «р !хйн! — хй! < ~~! !хй, — хй!+ ~~! !уйь! — уй! = й= ы й= н! й= ь! «р «я «р (хйь! — хй) + ~ь (уйы — уй) < 2 ~~! (хй ! — зй) . и й= «! й= «-! й= Теорема 3. Если йх б Я последовательность комплексных чисел (3„(з)) бимонотоннан и зир !!дй!! 5пр !!Тй — 7„!! = О(1), й> / й,й> то ряд 2 д„((„ь! — У„) сходится равномерно. а Пусть х б Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
