Антидемидович 4 - ТФКП (1113365), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Считаем, что .à — замкнутая гладкая кривая Жордана и (о б у. Пусть Е, = (г б С: )г — Я = г), где г > 0 — произвольное, как угодно малое число, не превышающее стандартного радиуса кривой у (гладкие замкнутые кривые Жордана 7 имеют важное свойство: о7 Лбе > 0 такое, что уго Я 7 окружность с центром в этой точке радиуса б < бо ровно два раза пересекает кривую 7; число бо называется стандартным радиусом кривой у). Часть кривой Г, лежащей вне окружности Ь„обозначим 7,. Интеграл 1 Т У(() Р,((,) = —.
/ — А(, 2я( / ( — (о г, (2) очевидно, существует в обычном понимании. Определение. Если существует 1(ш Р,((о), та этот нргдвл называют интегралом в смы.-оо слв главиага значения на Каши, или главным значением иитгграла тина Коши в точке (о и обозначают Р((о). Обозначение главного значения интеграла типа Коши совпадает с обозначением интеграла типа Коши, поскольку, как правило, если интеграл не существует в обычном понимании, то рассматривают его главное значение.
Для существования интеграла типа Коши в понимании главного значения ЧСо б 7 достаточно, чтобы функция у удовлетворяла на кривой 7 условию Гельдвра с показателем 0 < а < 1 и постоянной М: (иМ > 0): П (О б 7 Ьг б 7)!Х(чо) У(ьгН ч МК~ (г! Действительно, запишем Р,(бо) в виде откуда при достаточно больших Л получим ог > О оценку ! МЛ2я ~Т'(гоЯ <— < г. 2в' (Л вЂ” ~го~)з В силу произвольности выбора г > 0 Т'(го) = О. Поскольку го б С вЂ” произвольная точка, то ((г) = сапог. Ь Теорема 2 (Море р а). Если функция У непрерывная в области Р С С и интеграл ат нгг вдаль ориентированной границы дР любого треугольника 6 С Р равен нулю, та Т б А(Р).
щ ПУсть г, б Р— любав точка. РассмотРим кРУг К„= (г б С: 1г — зо! < г) С Р. Тогда по теореме 1, п, 5.1, функция Р, где $6. Интеграл типа Коши 181 ! — / — (= Р((), 1 Г У(() о2яо/ 6 — (о г, 1 Г У(() ! 1 Г И) У(со) У((о) Г й( ! У((о) !'ап — / о(( = 1'нп 86+в — 2. / (-( - ),2.,/ (-( 2я! / (-(о/ г', г', г', так хзк Г <~( Г У(» — У((о) бгп / — = я(, 1нп / о(Т = О. - / (-~. —./ г', г', Окончательно имеем Р ((о) = — + Р((о).
У((о) 2 Аналогично получаем Р-((.) = -"'"'+ Р(() 2 При доказательстве последнего равенства вместо Ь', берем Е," — часть окружности Г,, содержашуюся в 27+. Тогда г ( 1пп — / яо -о 2ого / ( — (о Равенства Р'((.) =+""+ Р(() 2 в учебной литературе носят название формул Сахацкага. Их открыл в 1873 г. русский математик Ю. В.
Сохоцкий (1842-1927). Формулы Сохоцкого справедливы при более общих предположениях относи~слало функции У. 6.5. Формулы Шварца и Пуассона. Пусть 7я = (( Е С: ф = Н), 6 = Не', О ( ! ( 2л, ио — функция, заданная на окружности 7н, гле ио(» = ио (Не*') = йо(!) Оо(О) = Оо(2я). Формулой Шварца называется равенство Нс' ! 1 Г (+ й( У(в) = — ! ио г(Не'~) оц = —. ( ио(»вЂ” 2я / Н е*' — 2я / гя а интеграл в (!) носит название интеграла Шварца, Рассмотрим свойства функции У.
1) Запишем формулу (1) в виде 2йй 1 Гио(» У(а) = —. / ио(» — — —. / — 4» 2я! / 6 — з 2аъ' / (2) гя гя Второй интеграл в формуле (2) является постоянной величиной, а первый — интеграл типа Коши. ПоэтомУ У аналитическая функция в любой области, не содержащей точек кривой ул и, в частности, У Е д(Кя). где Кл = (а Е С; !а! ( Н) выполняющееся для любого как угодно малого е > О. Поэтому в нем можно перейти к пределу при в О. Получим: Гл. 4.
Интегрирование в комплексной плоскости. 182 2) Пусть оь(() и 1, тогда Г где ! /НГ г(е) = 2я(/ à — з 2ль / гн гн Если ей Кл,то С(е) =2 — ! =1. 3) Найдем Кет(е), считая, что е = ге!г Е Кн. Имеем 2 (йе*~ -1- ге'г) (йе н — ге !и) (Не ) Ш= г(йен — геги) (гйе 'г — ге ег) 1 Г „йе" + ге!г ! Г Ке У(е) = Ке — / иа(йеи), Ж = Ке — / ие 2а / йе" — ге'г 2е / 2 йз — ге+ Нг (еци '! — е цг П) 2к( ' ) йз ч гз нг (евое-г! ! е- н-ю) ь 1 / а Нг гз + 2!Нг е!л(г О Ке — /иь (Не*') Ж= 2я/ ' ) Нг+гз — 2йгсоь(С вЂ” р) е г й — г г — — / иь(йе ) 41 = и (геге) . 2к ! т ) НзЧ-гз — 2йгсоь(! — Р) ь ранено~во 3 1 /' ( Н' — г и(г, (е) = и(г е*г) = — / иь (Не' ) бС 2а ! ' ' Нг + гз — 2Н г соз(С вЂ” (е) О (3) называется формулой Пуассона.
Интеграл в правой части формулы (3) называется интегралом Пуассона. Из свойства 2) функции С следует равенство 1 /' Н вЂ” г г г д(=1, 2к С' йз+гз — 2йгсоь(С вЂ” эг) ь (4) 1 и — / К)П(, ОН( = Ь). с сь 2гг ь выполнаюшееса 1(е Е Кл, е = ге'г. 4) Покажем, что функция (г, (е) ь и(г, )е) непрерывна в замыкании Кл и что и(Н, (е) = иь(йе'"), те. и(г, (е) .=! иь(Н ен) при е = геге ( = Нен вдоль любого пути, лежашего в К„. Для этого нам понадобится следуюшее утверждение. Лемма. Пусть функция (г! С Ж, У = (Г(е, (), где е = ге!', ( = Не!', 0 < г < Н, 0 < Чг < 2к, 0 < С ( 2и, удовлетворяет следующим условиям: 1) она непрерывна и неотрицатеяьна; з 2) те вылаяняется равенство — ' 3' У(я, () дС = 1; ь 3) п я -ь че — — йеиь (чь — любая точка окружности тн) и (;ь ье функция У стремится к нулю равномерно относительно ( (т.е. че > 0 3(р < й, б > 0)(г > Н вЂ” р л !р — Сь~ < б) (ГС:!С вЂ” Сь! < 2б): 0 ( (Г(я, () < е).
Тогда для любой функции и: ь. -ь Ж, еде и = и(Г), кусочно-ненрерывнай с точками разрыва нервога рода, в любой точке ее непрерывности Ге существует предел В б. Интеграл типа Коши 183 < Из условия 2) следует, что и((о) можно представить в виде 2 ! Г и((о) = — / и((о)П(б, () б(б. 2./ о Оценим I ~= — У ( (()- (())П(,()4. 2я / о Из непрерывности функции и в точке (о следует, что 2(е > 0 3 б > 0: !! — !о( < 2е ~ )и(()-и((о)) < е (см. Рис. 77).
Имеем 1 Г 1 О.'2 = — / (и(() — и((О)) (7(бо () о)! + — / (и(() — и((О)) (Г(б, () б(! = 12 + 22, 2я,б' 22г !о- о о!(2б 1о — оо~>22 гле интегралы берутся по дугам окружности тл, для аргумен- тов точек которых выполнены соответствующие неравенства. Оценим Т,: 2 1 Г Е б !7~ ! < — / о!и(() — и((о)о!(7(2, () о)2 < — ~ П(б, () о(! = е. 2я / 2я / )о-оо!<2б о Теперь предположим, что )Р— бо) < б.
Тогда лля всех 1, удовлетворяющих неравенству !! — !о! > 2е, получим, что !)б — Ц > д и в силу условия 3) найдется такое число р < К, что для указанных Е и г > 22 — р выполняется неравенство (Г(б, () < е. Таким образом, для всех б из области, заштрихованной на рис.77, для которых !)б — бо) < б и г > 71 — р, получаем: Р .Ю 1 ( Š— / (и(() — и((о)) (Г(2, () 211 < — 2М(2я — 2б) < 2Ме, 2л !о — оо)>бб М = ибР !а(()), 1Ь! < (1 + 2М)е.
бета В силу произвольности е > 0 имеем 2 1 Г 1пп — / и(()(Г(е, () Ж = и((о). М С-Со 2а' Полагая в условиях леммы „2 (7(а' () 2 (() = "((), 212 + гз — 2Лг соз(Š— (б) РассмотРим пРимеры, получим свойство 4). Проведенные исследования показывают, что формула Шварца определяет аналитическую функцию в круге Хл по значениям ее действительной части на границе круга. Формула Пуассона лает Решешбе задачи ЛиРихле дла УРавнениЯ Лапласа в кРУге 2Тн, состоЯщей в нахождении решения УРавнения Лапласа в круге Хл, непрерывного в замыкании ЕТл и принимающего на границе круов РКл заданное непрерывное значение иоП) 184 Гл. 4.
Иитегрироюеие в комплексной плоскости. где Р(В) = Кеу(а+ ге'о). а По теореме Коши 2л О = / з(х)о(з = (г / /(а+ ге'о) ег~ВВ, 3кл о откуда О = — ((а+ ге'о)е 'ойВ. 2лг ) о С лр)ч ой стороны, по формуле производной от интеграла Коши, получаем 1 / у'(а) = — у (а+ ге' ) е ' о(В. 2лт / о Из последних двух формул имеем г у'(а) = — / Р(В)е ' ВВ. о Аналогично у'(а) = — Я(В)е '~ВВ, О(В) = (гп/ (а+ ге 'о) . лг у о 7. Вычислить соа х — Не, Г = (у, т.р), у = (х Е С: !г — 4 = 1) (х () г а Согласно формуле (2), л. 6.1, находим: сооз 2л( В' о(х = — — сох х = - ог( сох о = - л( сп 1. ° ;)з 21 Ваз г 8. Вычисднть интеграл о(п пто , Ви, -1 < а < 1, у 1 — 2ао(пуо+ а' о и й Я.
а Воспользуемся формулой Пуассона. Получим: 2 2л 1 ~' (1 — а ) 51пп)о 2л 2 др = 1 — аз 2л,/ 1 — 2а соа ( з — (о) + аз 1 — аз о 2 1 /' Ке (-(е*"в) (1 — аз) Вр 2л,/ 1 — 2а сов (к — уо) + аз о з б. Пусть у — функция, аналитическая в круге Кн —— (з В С; ~х — а! < Я). Доказать, что прн О < г < Я т ( )'~(а) = — / Р(В)е ' г(В, о в б. Ивтеграл типа Коши !85 ~ О, 2«г ~, „,„х~ 2«га" пт если и = 2а ()о б )Ч).
° . если и = 2й -Ь 1 9. Вычислить интеграл / !»!» «(», где Г = (у, у„) — кусочно-гладкая, положительно ориенг тированная кривая, 2 = У! «3 Уз, 2! = (» Е С ) -1 < Ке» < 1, 1т» = О), Уз —— (» б С: !»( = 1, (т» > О). ~ Кривая 7 замкнута, а положительная ориентация кривой Г означает, что при возрастании параметра (ца отрезке 7! зто х, а на верхней полуокружности Уз это !) подвижная точка пробегает кривую 7 в направлении, противоположном ходу часовой стрелки. На отрезке 7, !»!» = !х!х, а па полуокружности 7о » = е'о, О ( ! < л.
Следовательно, ~!»~8!»» = / !х!х«(х+ ! / е е «Й = ох. Ь г — ! о 10. Вычислить интеграл / -а», где à — ориентиро!' ванная граница полукольца, изображенного на рнс. 78. Рис. Уа м При интегрировании по замкнутой кривой выбор начальной точки не играет роли. Пусть зто будет точка» = — 2. Получим, принимая во внимание, по на действительной оси» = » = х, гга нижней полуокружности» = е", на верхней — » = 2е", О < ! < «г; -! о 7 — «(» = «(х+ ое! «(!4 «(х+ о2е' Ф = !+ — е' +1+ — е' ,/ / 3, 3 2 4 4 = 2+- — — = —. ь 3 3 3 «=о — з ! о 11.
Вычислить интеграл /(» — а)" «(», об К; Г = (У, 7„): г 1) по полуокружности 7 = (» Е С: !» — а~ = Л, О ( аг8(» — а) ( х) (начало пути в точке »=а+В); 2) по окРУжности Уд — — (» б С: )» — а! = 22); 3) по периметру квадрата с центром в точке а и сторонами, параллелы«ыми осям координат. М 1] Выбор начальной точки кривой 7 определяет ее ориентацию, следовательно, кривая Ь ориентирована в направлении, противоположном направлению хода часовой стрелки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
