Антидемидович 4 - ТФКП (1113365), страница 50
Текст из файла (страница 50)
1 ХУ() 2к(,/ г Следовательгзо аг / (а — Ы " / (а — а) " еа + г(а, (а — а)" (а — Ь)" 1 (а — а)" ) (а — Ь)" г Г, гь где, например, Г и Гь — положительно ориентированные окружности с центрами в точках а и Ь достаточно малых радиусов. Применив формулу (2), п. 6.1, получим: (а — Ь) " 2к(' д" ' 2к( „! (2п — 2)! ! еа = — — ((а — Ь) ") = — (-1)" ., (1) (а-о)" (и- ц! да-- (н — 1)! (и — 1)! (о — 6)з" г.
(а — а) ™ 2зг( „, (2п — 2)! 1 (а — 6)" (и — 1)! (и — 1)! (Ь вЂ” а)з" ' г(а = (-1)" ' гь Из (1) и (2) следует, что в атом случае Х = О. (2) — / Х (а))паг(а = Х(се) — Х(0). в 2я( / г ае 24. Вычислить интеграл Х = / , Г = (7~ 7м) 7 = (а б С: !4 = 1), в Х ( — )-( -6)-' г зависимости от того, будет ли 1) !а( < !Ь! < 1; 2) !а) < 1 < ~6|; 3) 1 < (а) < !6), М !) Точки а и Ь принадлежат внутренности окружности у, в силу чего можно применить теорему 4, п.5.3; Упражнения для самостоятельной работы 2) Пусть |а| < 1 < |Ь|, т.е.
внутренности кривой у принадлежит лишь точка а. Тогда 195 (х — а) " г(а =О, (х — Ь)" (х — Ь) " „, 2я г(2п — 2)! Хм Ыа =(-1)" ' (г — а)" !)~)~(о Ь)з -~ ' г. гг гь г Поскольку справедлива оценка шах |1(а)| 1(х)пх ! 1=а ~( . 2яй, (г — а)(а — Ь) (22 — |а|)()2 — |Ь|) !'и где шах |1"(г)| < М, М = сопя, то 1-"1= а 1(а) Их (1(Ь) — 1(а) !!и = 0 =2к! н ь / (» — а)(х — Ь) З Ь вЂ” а !'л откуда у(а Е С, Ь Е С) 1(а) = ((Ь), т. е, та Е С 1 (а) = сола!. Ы Упражнения для самостоятельной работы 1.
Вычислить интегралы: а) | |х| пх, Г=(7,7р),7=(хЕСДг|= !); г б) | Ке х Иа, Г = (7, у ), 7 = (г Е С:|г — 1| = 1). 2. Вычислить интеграл 1 ег г(а, где г а) Г = (7, 7,р), 7 — ломаная, соединяющая точки О, 1 и ! + г; б) 7 — ломаная, соединяющая точки О, ( и 1+ г. ! 3. Вычислить 1 |а|йа„если путями интегрирования служат: а) прямолинейный отрезок; -! б) верхняя половина единичной окружности; в) нижняя половина единичной окружности. 4.
Вычислить интегралы вдоль отрезка Г прямой с началом в точке х, = О и концом аз = 1 .~з г 3 а+г —, отследующих функций; а) а е!'! Кеа; б) а г е' Кех; в) аь;( —;,'Г 5. Вычислить 1 !ах г(а, Г = (у, у„), где у — дуга параболы у = а~, соединяющая точки г а~ = О и аз 1 + г. а Г,",г=ь,ьх =( а:~ ~=а, ьтхггл ь ьх гьх +3 3) При ! < |а| < |Ь! подынтегральная функция является аналитической в замыкании Л, тле Х = (х е с: |г| < 1).
тогда по интегральной теореме коши 1 = О, а 25, Согласно теореме Лнувилля, функция 1, аналитическая и ограниченная во всей плосг'( ) г(х кости, является постоянной. Доказать эту теорему, вычислив интеграл 11 , Гл = / (х — а)(г — Ь) гл (7л Тл), гле тн = (г Е С: |г| = Л) (|а| < 22, |Ь! < 22) и произведя его оценку при 22 сю. М Пусть Г„и Г, — положительно ориентированные окружности с центрами в точках а и Ь достаточно малых радиусов. Применив интегральную формулу Коши (см. и, 5.4), получим: !96 Гл. 4. Интегрирование в комплексией плоскости.
7. Пусть функция У непрерывная при ~» — ло! > го и г шах )У(»)! — О при г — +со. !»- р!= Доказать, что 1!гп ) У(л)»(л = О, Г = (у, у„), у = (л Е С:!л — »о! = г). + г 8. Пусть функция У непрерывна при О < )л — »о( < Л и г шах !У(»)! О при г — О. ! -*ОН Доказать, что !цп ) У(л)»(л = О, Г = ('у, 'у р), 'у = (» б С; ~л — ло~ = г) . -от 9. Пусть функция У непрерывна на окружности у = (л б С: ~л~ = !). Доказать равенство / У(л) 4» = — ) ~~() 4», Г = (у, у ) г г !О. Пусть а Е С, а функция У вЂ” аналитическая в круге К = (» б С (л~ < !).
Доказать, что / 2»г»У(О), если ~а~ < 1, — 2лр (У(О) — У(-.')), если ~а! > 1. 11. Путем вычисления интеграла —,', / —; — — т-, Г = (7,7„), 7 = (л б С: Ф = 1) г доказать, что при О < а < ! У ш г Г» Р-з а» о 12. Вычислить интегРал ) — г-"! — *~ 4», Г = ('У, 'У„р), 7 = (л б С: (л! = 2). г 13. Пусть Л(л) — правильная рациональная дробь, 7 - кусочно-гладкая замкнутая кривая, охватывающая все нули этой дроби, а точка л лежит во внешности 7.
Доказать формулу з ',) *-< 4» — — Л(()~ 1'= (7 7р). г 14. Пусть функция У вЂ” аналитическая в некоторой области Р с хгорданоаой границей дР, непрерывна в замыкании Р н постоянна на дР. Доказать, что она постоянна и в Р, 15. Найти интегралы типа Коши: а) У(») = л', ) у!охю, Г = (у, у„), "у = (л Е С: !(! = ! ); г о р>=ау оград:-», =! р:~ ~ ° 3 )3 (! ап 16. Пусть функция У вЂ” аналитическая в круге Кя, = (» б С: ~л( < Л,) и ~а! < Л < Ло Доказать, что 2 Х*,— - хят- юУ(»)4», Г = (7, 7»р), 7 = (» Е С ° ~л~ — Л) г Вывести отсюда формулу Пуассона 0 17. Пусть функшоя У вЂ” аналитическая в круге Кя — — (л б С: ~ л — а~ < Л) .
Доказать формулу л У'(а) = — ' / ЙеУ(а+ге»о)е 'РЛУ. о 18. Доказать, что / ей» с!8 »»(л = 2к» вЂ” „— о — (и б гй» Г = (Ъ у,р), 7 = (» б С ' !л( = (и + з) ау г *" Т Глава 5 Ряды аналитических функций. Изолированные особые точки В этой главе изучаются равномерно сходящиеся ряды, членами которых являются аналитические функции. Основное внимание уделяется разложению аналитических функций в ряды Тейлора и Лорана, а также классификации изолированных особых точек аналитических функций, основан- ной на разложении их в ряд Лорана. 91.
Ряд Тейлора 1.1. Обв(ие сведения о рядах. '(г!*! !ПО !.(*! "- К!.(*!), <!! =! =! где х„(у„) называют общим членом ряда, а число (функцию) / к = 2... ° н (* -к!.! - 2. !.<*! ° н) ь=! и=! (2) — его частичной суммой. Предел последовательности (5„) частичных сумм ряда, если он существует, называется суммой ряда и обозначается тем же символом 2, х„(~ у„(з)), что и ряд (1). =! =! Обозначения ряда и его суммы различают по смыслу текста, в котором они встречаются. В частном случае, когда члены ряда — действительные числа, его суммой могут быть символы +оо и -со. Однако, числовой ряд называется сходящимся, если у него существует сумма и она конечная, т.
е. является действительным или комплексным числом. В остальных случаях, когда сумма числового ряда не существует или является бесконечной, ряд называется расхадяи!имся. Лля функциональных рядов рассматриваются понятия поточечной и равномерной сходимости, о чем речь пойдет позже.
В некоторых книгах по математическому анализу появилось формальное определение ряда как пары последовательностей — (~!.!.!='г(и!.<!ь-. (гЗ !.!*!) )). и! но для ряла и его суммы сохраняется одно и то же обозначение. Определение Ряла Равенством (3) не являегся единственно возможным.
Чиглаеий (функциональный) ряд можно интуитивно понимать как последовательность (х„) комплексных чисел (последовательность (Г„) функций), которые строятся по определенному закону и последовательно складываются. В соответствии с этим числовой (функциональный) ряд записывают в виде Гл, 5. Ряды аналитических функций. Изолированные особые точки 198 В настоящей книге ряд будем обозначать специальным символом 2,' х„(~ („) и опрелелять не как пару двух последовательностей, а как последовательность чисел (функций) вида (2): (4) Для суммы ряда, когда она существует, сохранено прежнее обозначение (5) Таким образом, символы ~ , 'х„и 2,' г, имеют различный смысл. Первый из них обозначает =! ряд, а второй — сумму ряда, когда она существует.
Здесь проводится аналогия с обозначениями функции Т и ее значения г(х). Теорема 1 (необходимый признак сходи мости ряда). Если ряд сходится, то носгедовательность его членов стремится к нулю. м пУсть Рад 2, х„(~ Т„) сходитсЯ, Я вЂ” его сУмма (Я(х) — его сУмма в точке х б пз), (Я ) ( (Я (х)) ) — послеловательность его частичных сумм. То~да л„= ߄— Я„, -! Я вЂ” Я = 0 ((„(х) = Я (х) — Я„!(г) -! Я(з) — Я(х) = 0). М Теорема 3 (критерий Коши).
Ряд 2 х„(~ У„) сходится (сходится в точке г Е 2)г„) тогда и только тогда, когда .ьр ьр н ьчэ, п(чь ) „Хь): г ' .~ ( г г,(*! ). (ы ь= -ь! ь= ы т Условие теоремы означает, 'по последовательность (Я„) ((Я„(л)) ) частичных сумм ряда фундаментальна. Поэтому утверждение следует из критерия Коши для числовой последовательности. М Если числовой ряд сходится абсолютно, т.е. сходится ряд 2 ~з„~, то его сумму будем обозначать символом ~ з„, подчеркивая этим, что любая перестановка ряда имеет ту же сумму, что ен и сам ряд. Этим свойством не обладают условно сходящиеся ряды.
Поскольку последовательность компяексных чисел может рассматриваться как ряд, то они являются различными названиями лля одною и того же объекта — отобрюкения множества М в С. Поэтому с рядами мспкно производить те же операции, что и с последовательностями. 1.2. Последовательность функций н функциональный ряд. Поточечная сходнмость. Определение 1. Отображение Ф множества (Ч в множество всех функций называется функциональной носледовательностью.
Значение отобразкения Ф(п) = („ называется ее п-ным членом. Для последовательности функций примем обозначение ((„). Определение 2. Пусть У: С С, („: С С и !уп Е (ч( )9(„м Р) — — Я, Последовательность ((„) называетсн ноточечно сходяигейся к функции (, если!Ух б Я ((х) = йш У„(х). Если последовательность ((„) поточечно сходится к функции (, то пишем У„У. В случае, когда важен сам факт поточечной сходимости и не играет роли функция (, будем писать У„ Определение 3. Пусть ((„) — носледовательность функций („! С С, 2)Г„= Я. Функциокольная лосяедовагпельность (Я„), где Я„(х) = 2 (ь(х) чх б Я, называется функциональным ь ! рядом и обозначается аинволом 2 („. Функция Я„называется п-частичной суммой реда 2 Т„, а Т вЂ” его п-членом. Ц 1.
Ряд Тейлора 199 Определение 4. Паточечной суммой ряда ',г г„на множестве и называется иоточечный иредел ега частичных сумм, если ан существует. Ряд называется латочвчна сходящимся, если ега иатачсчная сумма существует и явплется конечной. Поточечная сумма ряда 2 у„обозначается символом ,') у„. Таким образом, у„~(з) = 1!щ ~! !/Е(г) !уз Е Х =! ь=! ПУсть Рч„= Я !Гп Е !Е(. Тогда последовательность фУнкций (Я„) можно РассматРивать как ряд 2 (а„— Я„!), где дс(з) = О !Уг Е Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
