Антидемидович 4 - ТФКП (1113365), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Очевидно, что Кр~ "г! Кргьч ~яг и центр круга Кргр! принадлежит кругу К,'„'!. В круге К~в,~ У, = У,. 11ентр», круга К,",,! является предельной точкой множества, на котором У! = Уг, и, таким образом, повторяя предыдущие рассужления, получим, что У! —— У! вК,.
Продолжая этот процесс, после конечного числа шагов постигнем круга К!",', т.е. Ч» б К,'",' Уг(») = Уг(») и, в чаем!ости, У, (»*) = Уз(»" ). ПосколькУ»* б Р— пРоизвольнаЯ точка, то ж» Е Р У!(») = Ут(»). Ь Опртгелевие. Пусть А б С вЂ” нроизнольнвв конечное числа, У вЂ” аналитическая в некоторой области Р функция. А точками функции У называются корни уравнения У(») = А.
Из теоремы единственности следует, что в случае, когда У(») й А, множество А-точек не может иметь ни одной предельной точки, принадлежащей области Р, поскольку допустив противное, получили бы, что У(») ы А. Отсюда, в частности, следует, что любой компакт К С Р может содержать лишь конечное число А-точек для фиксированного А. Действительно, предположив, что К содержит бесконечное множество А-точек, получим, что это множество имеет предельную точку, принадлежащую К.
Пусть», — какая-нибудь А-точка функции У, т.е. У(»,) = А. В окрестности гочки»ь имеем " У'"'( ) У(») = А Ч. ~~' , (» — »ь) =! У! 1(» ) У(») — А = ~~! , (» — »ь)". (!) »=! Если У(») ~ А, то среди коэффициентов правой части равенства (1) найдугся отличные от нуля. Пусть (» — »ь)" — младшая степень» — »ь, коэффициент при которой отличен от нуля. Тогда равенство (1) принимает вид У(») — А = (» — »ь) ~~' . (» — »ь) У" '(»ь) (2) г! у=ь где У!и!(»ь) Ф О. Число й 6 М называется порядком или кратностью А -точки»ь.
В случае, когда й = 1, А-точка называется лростой, в случае, когда й > 1, — кратной. ПРостаЯ точка хаРактеРизУетсл тем, что ллн нее У(»ь) = А и У'(»ь) Ф О. КРатнал А-точка порядка й > 2 характеризуется соотношениями У(»ь) = А, У (»ь) = О, ..., У' (»ь) = О, У ь'(»ь) ~ О. Гл. 5. Рады аналитических функций. Изолированные особые точки 212 Если А = О, то точка го называется нулем функиии У. Она называется нулем крашнпсгли и, если У(ко) = У'(го) = " = У|п '(зо) = О, Ум'(го) Ф О. В последнем случае разложение функции У в ряд Тейлора в окрестности точки г, имеет яид У(г) = ~~' аь(г — го), откуда (3) У(г) = (г о) Р(г), где .(г) ш'.).ау(а - го)' " (4) г= Из формул (3) и (4) следует, что аналитические функции обра|цаются в нуль как целые степени к — го, а из теоремы единственности получаем, что отличные от тождественного нуля аналитические функции не могут иметь нулей бесконечного порядка.
Рассмотрим примеры. 1. Найти область сходимости рида г а-к 1 — г" и при )к! < Г < 1 имеем ~, * „~ < —,"„„= а„. Ряд 2 а„сходится. следовательно, исследуемый ряд абсолютно и равномерно сходится на любом компактном подмножестве единичного круга К| — — (к Е С: (г! < 1). м 2. Доказать, что если радиусы сходимости степенных рядов ~а„г", ~~ Ь„г" соответственно равны В,, В„то: 1) радиус сходимости В степенного ряда ~~г а„Ьаг" удовлетворяе~ неравенству В ) В,В,; 2) ралиус сходимости В' степенного ряда У вЂ”" г" (Ь„ф О) удовлетворяет неравенству В| В' < —; Вг 3) радиус сходимости Во степенного ряда ~ (а„Ь»+ а„,Ь, 4 ...
+ а»Ь„)г" удовлетворяет неравенству Во кз пип(Вп Вг). а 1) Поскольку 1 1лп ~/7аД = —, В|' !пп ~фа„б„) = 1пп ( х/Та„! Хггть„!) < !пп тГГ!а„! 1!гп чу, то 1 1 — < —, т.е. В > В|Вг. В В|Вг Воспользовались неравенством'| !пп а„у„< 1пп к„1пп у„, выполняющимся 'Г(я„) О, у > 0). »а п 2) Так как а„= вп Ь„, то по доказанному в 1) В, ) В'Вг, откупа В' < лз. 3) Оба ряда абсолютно и равномерно сходятся в замкнутом круге К„ш (к б С: |к! < Г), г < пап(В„Вг). Тогда радиус сходимости Во ряда (~а„к") (~~ Ьак") = ~~| (а„Ьа+ап |Ь!+ ... +Ь„ао)г" не может быть меньше ппп(Вп Вг).
а || см., нвпримор, я. и. ломко, л. х юа»раук, я. Г. Гав. Г. и. Го»оа . спр»ванно» шкооио по »мошка магом»вико, моска», "УРСС", |999, т. |, глдн примор |Об. 213 й 1. Ряд Тейлора 3. ДОКаэатЬ, ПО КОГда СуММа т СТЕПЕННОГО ряда ~~г а„(З вЂ” Ь)", Ь Е Ь(, ПрИНИМаЕт дЕйетантельные значения в некоторой действительной окрестности точки Ь, то все а„действительные. М Очевидно, а, = у(Ь) Е )к. Поскольку 1(Ь+ ззз) — 1(Ь), )'(Ь+ гзх) — у(Ь) а~=)(Ь)= !нп = 1пп о* о гзз о* о г3х то аг Е Ж.
Предположим, что а„= )'~"г(Ь) й К. Тогда уыг(ь+ 21*) — уео(ь) а„ю = !пп = т'" '(Ь) й !К. а*-о г.'Зх утверждение доказано с помощью метода математической индукции. М 4. Доказать, что лля коэффициентов степенного ряда ~~г а„з" с радиусом сходимости 11 ) Ь справедлива формула а„= / и(г, !о)е ~ д)г+ — / е(г, ~р)е "г г(уг, зт" / лг ",/ где 0 < г < 22, 1(з) = и+ос = ~ а„з" — суммаряда. =о чо Пусть т„= (з е С: !з! = г), Г, = (у„, Т,") — положительно ориентированная гладкая нли кусочно-гладкая жорданова кривая. Тогда г, г 1 Г т((') 1 г за ге*гетер 1 г о о Применив интегральную формулу Коши прн и > 1, получим. г ~(()( д( 1~(ге )г ег"';дую=О, г.
о или — / у(гезг)е'" г(уг = О. (3) 2лг" „1 о Складывая и вычитая (2) и (3), имеем г г Г г Г а„= — / )(ге'~)соопугг((о = — — / Г(гезг) з!пп(ог(уг. ггг" --/ о о Отсюда, полагая а„= а„+ о)3„, находим: го г 1 г 1 г"а„= — / и(г, уг) созпрг()г = — / е(г, (о) ипп(ойр, о о г г 1 1 г")3„= — / е(г, !о) соя игр оьр = — — / и(г, (о) а!ппугг(ог.
о о С помощью этих равенств получаем формулы (1) 'Фп Е )з). В случае и = О формулы (1) получаем сразу из (2). )ь Гл. 5. Ряды аналитических Функций. Изолированные особые точки 214 5. Пусть сумма степенного ряда у(з) = ~ ~а„х" с кругом сходимостн К, = (з Е С: ф < 1) =о удовлетворяет условию Ке 7(з) ) 0 Ух б К,. Доказать, что )Уп Е М )а„! < 2ио, где ио — — Ке У(0). а Согласно формуле (1) предыдущей задачи имеем 2 Г а„= — / и(г, )о)е '"'* 4()2.
хг" / о Оценим а„, Получим 2 2 2ио !а„! ( — / и(г, (о) 4()2 = —. 2зт",/ ' г" о Принимая во внимание, что г Е (О, 1) — произвольное, имеем )а„~ ( 2ио. ° 6. Найти первые четыре члена, отличные от нуля, разлолсения функции 2 1 У(з) = )4)соя з (7(0) = 1) в окрестности точки з = О. Найти радиус сходимости ряда.
а Воспользуемся представлением функции 7 в виде ) 1 У(з) = чгсозз = (! — (1 — сох 2)) ' = (1 — ю)1. Тогда 4ух Е С получим: 2 4 б ю =- 1 — соб 2 = — — — + — — — + 2! 4! 6! 8! ю 1 2 1, 5 (1 — ю) 2 = 1 — — — — и1 — — ю — — ю — ..., !ю! < 1, 2 8 16 128 б ! )то) 24 720 ''') 8 1 2 24 + 24 720 ) 8 т 4 1 )гх х У(х) = 1 —— 21,2 24 1)' ' = ! 21 2 1 4(х) 1 41 1 з+ — *,+...+ — ',+... 1+-',+ — *,+...+ — ',+ 2' ''' 2 бп! 2' 3' ' ''' 4 бл! Пусть разложение функции 7' в окрестности точки х = 0 имеет вид Тогда з зз х (аз+а,а+а,з'+ ... +а„х + ...) !+ — + — + ... + — + ... =!. 21 3! ' (н+ 1)! Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, пахучим) 1 1 1 ао — +а,— + ...
+а„) — +а„=О, пбр( (и+ 1)! 'и! "" 2! 2 4 10 б =1 — — — — — — —. 4 96 5760 Очевидно, что Н = †, т. к. точка 2 = †" — ближайшая к точке з = О, в которой нарушается 2 2 анзллтичность функции 7. Заметим, что первые четыре члена разложения функции у в ряд можно получить непосредственно, вычисляя ее производные в точке х = О. ь з 7.
Разяожить в ряд Тейлора функцию з 7(х) = в окрестности точки з = О и найти е' — 1 рзлиус сходимости. 4 Имеем 91. Ряд Тейлора 215 Полученные уравнения позволяют последовательно нахолить числа а„. Обозначим В„= и!а„. Коэффициенты В„называются числами бернулли. Для их определения имеем в, в в„ Во -— 1; + — + +...+ — =О. (и + 1)! 1йй 2!(и — 1)! и! 1! Умножив обе части последнего равенства на (и+ 1)! и замечая, что очи~ — у = С„"в„получаем: 14 В~С„'чг 4-ВгС„'чг+ ...
+ „ф"ы = О (и Е РО. С помощью последней формулы находим: 1 1 1 В~= — —, Вг=-, Во=О, Вв= — —, 2' 6' ' ЗО' Искомое разложение имеет вид з В~ В, , В„ =Во+ з+ з + .+ з +.". е* — 1 1! 2! и! Радиус сходимости этого ряда В = 2я, так как ближайшие к началу координат точки, в которых нарушается аналитичность функции 1' — з = х2аг( ~ 8, Найти радиус сходимости и исследовать поведение на границе круга сходимости следуюгцих степенных рядов: г -! „з а) ~(-1)" — (и > 1); 1и гг б) ~ — з ", й=сопзг, йб)4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
